高中數學函數最值問題求解思路之我見

吳焱焱

【摘 要】 高中數學中的函數是一個重點和難點，也是充分考查學生核心素養的關鍵所在，而函數的最值問題更是重中之重，對此，在這個環節，如何引領學生突破思維瓶頸，達成解題方法和解題策略的融會貫通，成為我們數學教育工作者的一項研究課題。

【關鍵詞】 函數;高中數學;策略

函數屬于高中數學知識體系中的重要內容，歷年來都是高考中的一個熱門考點，其中，求函數最值問題考查得最為頻繁，這類題目的靈活性、綜合性與概念性較強，對學生的邏輯思維、推理能力與分析能力要求較高，還與其他方面的知識相結合。高中數學教師需要指導學生準確運用所學知識求解函數最值問題，幫助他們優化解題思路，找到合理的解題方法。

一、科學運用配方法迅速求解函數最值

在高中數學函數教學中求解最值問題時，在各種求解方法中，配方法是最為常見的一種，即將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形轉變成完全平方式或幾個完全平方式的和，能發掘出題目中的隱性條件。運用配方法求解函數最值問題時，關鍵在于轉變之前的函數式，高中生需科學使用配方法轉化題設中的函數式，轉化完后就能求出函數特定的取值范圍，再結合題目中給出的定義域，快速求解函數最值問題。

比如這道題目：已知f（x）=2+log3x，x∈[1，3]，求函數y=[f（x）]2+

f（x2）的最值。解析：學生在處理這類函數最值問題時，第一步需要做的是利用配方法把函數式變形，由f（x）=2+log3x，x∈[1，3]，得到y=[f（x）]2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（log3x）2+6log3x

+6=（log3x+3）2-3，由于函數f（x）的定義域是[1，3]，則函數y=[f（x）]2+f（x2）的定義域是，解得1≤x≤，得出log3x∈[0，]，根據二次函數的單調性可得6≤y≤，所求函數的最大值ymax=，最小值ymin=6。反思：運用二次函數性質求解最值問題時，一定要注意到自變量的取值范圍以及對稱軸和區間的相對位置關系。

在上述案例中，學生運用配方法求解函數最值問題時，應當密切關注函數的對稱軸，以此為前提設置與其對應的取值范圍，相當于把握住題目中的隱性條件，最終迅速求出答案。

二、合理應用換元法簡化求解函數最值

換元法即為面對結構比較復雜的多項式時，如果把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替，就能把復雜式子變得明朗化、簡單化，達到化難為易、化繁為簡的效果，確定快捷的解題思路。教師可指導學生處理函數式時引入特定的變量取代某些代數式或變量，簡化函數式，促使整個解題流程也變得簡單化，同時要提示學生不能忽視定義域與取值范圍，以此為基礎求解函數最值問題。

換元法主要有代數換元與三角換元兩種，其中，形如y=ax+b+

（a、b、c、d均是常數，且a≠0）的函數，常用代數換元法求解。例如：求函數y=2x+的最大值。解析：在這里可設t=（t≥0），那么x=，y=-t2+t+1=-（t-）2+≤，則該函數的最大值ymax=。解題中學生要注意換元前后的等價性，題目中t=（t≥0），并非求t的取值范圍，而是需注意換元后的可操作性。三角換元則是用三角函數代替函數表達式中的某個字母，然后利用三角函數的關系，解決問題。例如：求函數y=的最大值與最小值。解析：先把函數式化簡，得到y=+=+，此時令x=tan，

則f（x）=f（θ）=cos2θ+sinθ=-sin2θ+sinθ+1=-（sinθ-）2+，

所以，當sinθ=時，f（x）有最大值，ymax=，當sinθ=-1時，f（x）有最小值，ymin=-。

如此，學生根據具體題目選用代數換元法或三角換元法解決函數最值問題，把函數式化簡，使解題過程由復雜變得簡單，提升解題正確率。

三、大膽采用判別式法準確求函數最值

判別式法在解決數學題目時經常會用到，通過直覺對式子進行直接判斷，優化解題思路。在學習數學知識過程中，直覺可謂是一項相當重要的能力，高中生已經積累了不少知識與學習經驗，形成了一定的思維與判斷能力，求解函數最值問題時，教師需鼓勵他們大膽采用判別式法，調動自身的數學直覺，采用變形整理的方式全面轉化函數表達式，判斷出實根條件所對應的函數最值。

例如，在求函數最值問題時，假如能把已知函數式經過適當的代數變形后，轉化成一元二次方程的形式，即a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，a（y）≠0，通過對方程有無實根的直覺判斷來求得函數的最值。如：已知x、y∈R，且滿足x2+y2+2xy+x-y=0，求x的最大值與y的最小值。解析：根據題目中的已知條件，將原函數式變形后得到y2+（2x-1）y+（x2+x），y∈R，則Δ≥0，那么有（2x-1）2-4（x2+x）≥0，得到-8x+1≥0，即x≤，則x的最大值xmax=。運用同樣的方法，原式變形為x2+（2y+1）x+（y2-y）=0，x∈R，則Δ≥0，那么有（2y+1）2-4（y2-y）≥0，得到8y+1≥0，即y≥-，則y的最小值ymin=-。

對于上述案例，教師指導學生大膽采用判別式法求解函數最值問題，綜合考慮多個因素，從而求出準確答案。

綜上所述，在解答高中數學函數最值問題時，學生要牢固掌握基礎知識，同時認真審題，了解題目條件與要求，根據實際情況確定求解思路，找到正確的解題方法，最終順利解決問題。