猜想、說理、例證活動設計：意義、內涵與維度

宋煜陽，浙江省寧波市奉化區教師進修學校小學研訓部主任，浙江省特級教師，正高級教師。在期刊上發表論文150余篇，在全國各地做專題報告100余場，多次執教省市級觀摩課。主編或參與編寫教輔用書5本。主持省市級科研課題5項，多次獲評省市教育科研優秀成果獎。個人專著《學習進階視域下的核心概念教學——以“圖形與幾何”為例》被國家圖書館收藏。

摘 要：

猜想、說理、例證既是推理能力表現水平的重要元素，又是推理學習過程的核心活動。活動設計內涵包括基本要素和表現水平模型兩部分，表現水平模型分為數學內容、能力成分和表現水平三個維度，表現水平又劃分為記憶與再現、聯系與變式、反思與拓展三個層次。活動設計包含專項活動與綜合活動兩個維度，其中專項活動包括不同猜想活動類型設計、說理話語系統序列訓練、自主舉例解釋說明等，綜合活動包括模塊組合、一課多式對比兩條基本路徑。

關鍵詞：猜想;說理;例證;活動設計

一、猜想、說理、例證活動設計的意義

（一）猜想、說理、例證是構成推理學習過程的核心活動

推理是數學的基本思維方式，是促進數學內部發展的重要思想，貫穿于數學教學的整個過程。推理能力作為小學生必備的數學核心素養之一，它是學生數學學科能力中的一項核心能力。推理能力的培養對于學生的終身發展有著不可估量的作用，是提升學生學科核心素養的關鍵。

關于推理能力，《義務教育數學課程標準（2011年版）》在第一、第二學段目標中給出了“提出簡單猜想”“猜想、驗證”“有條理思考、比較清楚表達”等要求。可見，猜想、說理、例證，既是推理能力表現水平的重要元素，又是推理學習過程的核心活動。

猜想是合情推理的關鍵與核心，是合情推理的具體方法和必要環節。猜想的提出是對推理思維過程的概括和推理思維內容的提煉，能獲得數學發現的機會，能鍛煉數學思維。“猜想—驗證”是合情推理的基本路徑，驗證是指以數學事實為依據，運用數學語言有根據、有邏輯地解釋結論和確認結論的過程，是對說理和例證的綜合運用。其中，數學事實依據就是例證，有根有據、邏輯表達與解釋就是說理活動。數學推理能力培養的本質是提高學生運用例證說理的能力，形成科學精神。

（二）小學階段亟須開展猜想、說理、例證活動設計專題研究

文獻資料顯示，一線教師向來關注推理能力的研究，在不同時期都有關于推理能力的相關研究成果。理論研究成果偏向推理的價值功能和要素分析，教學實踐層面結合偏少;實踐研究成果多數基于課例，在整體性觀念上提出推理能力培養策略，猜想、說理、例證專項操作活動研究偏少。

在以猜想、說理、例證為關鍵詞的文獻中，猜想的研究成果居多，雖然明確提出了猜想能力的要素與類型，但對猜想活動內容、水平層次劃分和學習路徑較少提及。少量說理、例證文章停留在活動意義、價值取向的闡述上，缺乏對一線教師實踐層面的深入指導。

為此，在推理能力培養策略研究中，亟須開展猜想、說理、例證核心活動實踐研究，從活動內涵出發，劃分類型、流程、組織形式和適用范圍，結合課例進行活動設計與組合，形成專項活動、綜合活動設計范式，提煉出具有可操作性的設計策略。

二、猜想、說理、例證活動設計的內涵

猜想、說理、例證活動設計的內涵有活動設計的基本要素和表現水平模型兩部分。一個完整的活動設計包括活動設計原則、活動目標確定、活動內容選擇（核心任務設定）、活動組織實施（活動流程與組織形式）、活動評價（能力水平）等基本要素。

表現水平模型分為內容、結構、過程三個維度，分別為數學內容、能力成分和表現水平（如圖1）。其中，數學內容以課程領域分類為依據，表現水平以徐斌艷等研究成果中的數學學科核心能力模型為理論基礎，能力成分借鑒浙江省關鍵能力學業水平質量監測評價框架，并結合推理能力含義而形成。其中，表現水平結合課程標準及學情從記憶與再現、聯系與變式、反思與拓展三個層次，來構建小學生兩個學段推理能力表現水平指標，從而將推理能力學段課程目標進一步具體化（如表1）。

具體課例的表現水平劃分，一般基于課例內容，圍繞水平層次、包含的內容要素、具體描述三項內容展開。以“多邊形內角和”推理表現水平為例（如表2）。

三、猜想、說理、例證活動設計的維度

（一）猜想、說理、例證專項活動設計

1.猜想活動類型與活動流程設計

猜想活動類型與活動流程設計包括活動類型和活動流程路線分析、活動方案設計、活動內容選擇、課型和組織形式等。

根據合情推理分類，猜想活動類型可劃分為歸納猜想、類比猜想和直覺猜想三類。活動流程有“情境觀察—對比歸納—形成猜想”“直覺猜想—情境觀察—二次猜想”兩條路線。其中情境觀察活動板塊包括實物觀察、圖表觀察、實驗觀察、題組觀察等多項活動;對比歸納活動板塊包括歸納和類比兩項活動。

由于猜想活動大多數集中在數學規律、定律、性質、公式、概念特征等學習內容，具體到課型以概念課、計算課和綜合實踐課為主。而猜想主要指向探究結論的猜想和探究方法的猜想兩大類。

探究結論的猜想一般有兩種情形。第一種是形成性結論的歸納猜想，主要是根據已有的部分數學事實觀察分析，歸納形成一般結論的猜想，課堂組織形式主要為情境觀察、自主猜想。比如，積的變化規律就是基于題組中“因數”“積”的觀察，形成“因數與積變化”結論的猜想。第二種是預見性結論的類比猜想，主要是根據已有的規律和知識內在聯系，快速得出預見性的結論猜想，課堂組織形式主要為聯系比較、類比猜想。如學習2和5的倍數特征后，容易快速得到3的倍數特征的猜想。

探究方法的猜想，重在對原有探究思想方法進行遷移，對新猜想提供基本活動經驗支持。課堂組織形式主要為經驗激活、方法猜想，比如學習加法交換律后，可以對減法、乘法、除法等運算交換律內容以及探究方法進行猜想。

2.說理話語系統材料開發與訓練序列

說理話語系統材料開發與訓練序列包括目標序列構建、內容材料開發、技能規范建立、訓練方法探索等。

目標序列構建把課程標準學段目標具體化，建立年級訓練目標序列。將課標要求“能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果”劃分為三個層次，明確年級訓練要求。第一層次，訓練對象為一二年級學生，要求“說完整”“說準確”;第二層次，訓練對象為三四年級學生，要求“說簡單、清晰”“有條理表達”;第三層次，訓練對象為五六年級學生，要求“有根據地解釋和說明自己的觀點”“質疑和反駁他人的想法”，結合課例內容，進一步給出具體訓練和評價要求。

內容材料開發包括邏輯語言詞匯、推理常用句式、符號語言和圖文直觀說理表征方式的材料開發。邏輯語言詞匯，如序列關系連接詞“第一、第二、第三”;遞進關系連接詞“不但……，而且……，甚至……”;推理常用句式，如三段論的“因為……，又因為……，所以……”;符號語言，如“38<40，40×5=200，38×5<200”;圖文直觀說理包括幾何直觀、直覺判斷說理、圖文轉換等。

技能規范建立是指針對各種推理類型，明確說理活動中的標準語言和格式規范。訓練方法探索內容包括說理訓練組織形式、學生自主訓練方式等。

3.例證性質數量與路徑調用

例證性質數量與路徑調用，主要包括例證材料開發與運用、學生舉例和辯論專項活動開發等。

例證的類型、數量是指推理中正例和反例的數量。正例包括材料的性質，主要表現為舉例的廣度與深度。比如，加法交換律舉例的廣度上涉及整數加法、小數加法和分數加法，整數加法中要考慮一位數、兩位數和多位數的材料。

例證路徑調用主要是指例證調用的主觀能動性和靈活性，如能否主動調用例證，辯論中能否抓住對方事例的靈敏性等。比如，在論證“三角形內角和是180°”時，鼓勵和引導學生從特殊的直角三角形、等邊三角形內角和多個例證來說明。

（二）猜想、說理、例證綜合活動設計

猜想、說理、例證綜合活動設計有模塊組合、“一課多式”對比兩條基本路徑。

綜合活動模塊組合選取推理不同類型課例，對猜想、說理、例證活動模塊進行組合，開發出不同學習路徑，提供綜合活動范式。綜合活動模塊組合主要包括歸納推理綜合活動模塊組合、類比推理綜合活動模塊組合、演繹推理綜合活動模塊組合。

綜合活動的“一課多式”對比圍繞同一節課，基于推理類型、學情從不同角度對猜想、說理、例證活動模塊進行多種方式組合，以“一課多式”的對比研究，探索推理不同學習路徑，促進合情推理和演繹推理的融合共進。如基于推理類型，“分數的基本性質”“一課多式”的路徑可以有合情推理與演繹推理兩類。合情推理路徑為“操作觀察—對比歸納—形成猜想—例證說理—確認結論”;演繹推理路徑為“銜接聯想—形成猜想—例證說理—確認結論”。又如基于學情，“長方體體積計算公式”推導可以圍繞“實驗—猜想—說理—結論”和“猜想—實驗—說理—結論”進行多式對比。

需要指出的是，本文只是圍繞推理能力的核心活動猜想、說理、例證活動設計的意義、內涵和維度進行了架構，操作層面的策略仍需借助具體課例的實踐來進一步提煉。

（作者單位：浙江省寧波市奉化區教師進修學校）

參考文獻

1.曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

2.喻平.數學核心素養評價的一個框架[J].數學教育學報，2017（4）：19-23.

3.徐斌艷，朱雁，鮑建生，孔企平.我國八年級學生數學學科核心能力水平調查與分析[J].全球教育展望，2015（11）：57-67.

4.張丹.推理能力的內涵及教學建議[J].小學教學，2018（5）：9-12.

投稿郵箱：405956706@qq.com