帶有丟失數據補償的高速公路入口匝道MFAC方案

閆帥明，卜旭輝，朱盼盼，許漂漂

(河南理工大學 電氣工程與自動化學院，河南 焦作 454000)

0 引言

目前，城市高速公路是現代城市地面交通系統的重要組成部分之一。它被用于居民在城市快速旅行，提高車輛效率并有一定的可靠性[1-3]。然而，隨著經濟的發展，車輛保有率的增高，快速公路承受越來越大的交通壓力[4]。入口匝道控制是高速公路交通控制中最有效的控制方法之一。目前有許多關于高速公路的先進控制算法，如時序控制算法[5]，感應控制算法[6-7]，迭代學習控制(ILC)[8]，ALINEA控制算法[9-11]和瓶頸路段匝道控制算法[12]等。通過建立高速公路精確交通流模型的方法，針對入口匝道的控制已有很多研究結果。其中文獻[13]基于交通流模型，利用遺傳算法提出具有遞歸環節的動態模糊神經網絡實現城市高速公路的入口匝道智能控制，并通過仿真對比驗證了算法優越性；文獻[14]通過使用模型預測的方法，以平均速度為控制標準提出了多交通的協同控制方案，并通過仿真驗證該方案的有效性。在精確的高速公路交通流模型下，上述方案對高速公路控制達到了期望控制效果。

由于高速公路系統結構復雜，道路中行駛車輛的交通機制有所不同，難以用精確的模型描述系統的運行特性。而且，現代高速公路交通控制系統在控制中心和執行器之間傳輸交通流量輸入數據時，可能會由于網絡控制中網絡擁塞、通信沖突和連接中斷等現象造成交通控制中的數據丟失，最終影響控制效果。上述文獻大多基于精確交通流模型進行控制且未考慮高速公路網絡控制系統中存在的數據丟包問題。

考慮上述問題，本研究基于宏觀交通流模型和一般非線性系統無模型自適應控制[15](MFAC)方案，提出了一種在數據丟失的情況下具有丟失數據補償的MFAC方案。針對在高速公路入口匝道網絡控制中存在的隨機數據丟包問題，首先，將高速公路車流量密度數據丟失現象描述為取值0/1的伯努利序列，并提出僅利用系統輸入和數據丟包下輸出數據構造的控制器。其次，考慮到數據丟失對系統控制性能的影響，進一步設計了數據丟失補償算法。最后通過MATLAB仿真表明，該方案能保證在數據丟失下高速公路輸出密度收斂于期望值。

1 系統模型和問題描述

1.1 系統模型

交通流模型描述了隨著時間的變化交通流狀態變量和交通控制變量之間的關系。宏觀動態交通流模型可以準確地描述高速公路各段的交通狀況[16]。

本研究采用Papageorgiou[17]提出的宏觀交通流模型。圖1為高速公路段的劃分示意圖。

圖1 高速公路各路段示意圖

快速道路宏觀交通流模型的離散化可以如下表示：

(1)

qi(t)=ρi(t)vi(t)，

(2)

(3)

(4)

式中，t∈{0,1,…,k}為第k個采樣間隔；i∈{1,…，N}為第i個高速公路路段；N為路段的總數；ρi(t)為在第k個時段，路段i上交通流的平均密度；vi(t)為在第t個時段，路段i上車輛的平均速度；qi(t)為在第t個時段，從路段i到路段i+1的交通流量；ri(t)為入口匝道流量，指在第t個時段從入口匝道進入路段i的交通流量；si(t)為出口匝道流量，指在第t個時段從出口匝道駛出路段i的交通流量；Li為高速公路路段i的長度；vf為自由流速度(當車輛密度為零時車輛的最大允許速度)；ρm為臨界密度，即該路段的最大車流密度；T為采樣周期；τ，γ，κ，l,m為常數，為交通特定參數。

注1：模型滿足當車輛以最大速度通過檢測區域時所用的時間應該小于等于采樣周期。即，T≤Lmin/vf，其中Lmin為檢測區域的最小值。

假定在第t個到第t+1個采樣時間內進入第1個路段的車流量為q0(t)，車輛的平均速度等于第1個路段上車輛的平均速度，即v0(t)=v1(t)，且進入第N+1個路段的車輛平均速度和密度分別等于路段N上平均速度和密度，即:

vN+1(t)=vN(t),ρN+1(t)=ρN(t)。

(5)

那么，上述高速公路交通流模型的邊界條件可歸納為:

ρ0(t)=q0(t)/v1(t)，

(6)

v0(t)=v1(t)，

(7)

ρN+1(t)=ρN(t)，

(8)

vN+1(t)=vN(t)。

(9)

通過上述的模型描述發現，在以緩解交通擁堵的目的下，可以通過限制高速公路入口匝道的車流量來達到控制目的。即，在數學描述中，以入口匝道流量ri(t)為系統的控制輸入信號、該路段的車流密度ρi(t)為系統的輸出信號。

根據式(1)～(4)，高速公路系統第i個路段的非線性離散時間模型如下表示：

ρi(t+1)=f[ρi(t),ri(t)]，

(10)

式中f(…)為未知非線性函數。

假設1 除有限時間點外，f(…)關于第2個變量的偏導數是連續的。

假設2 非線性函數f(,)滿足全局Lipschitz連續條件，|ρi(t+1)-ρi(t)|≤b|ri(t)-ri(t-1)|，其中b>0。

1.2 問題描述

現代高速公路交通控制系統可用于在現場數據獲取單元和控制中心之間傳輸交通流量輸出數據，并在控制中心和執行器之間傳輸交通流量輸入數據。但是，在網絡控制中網絡擁塞、通信沖突和連接中斷等現象是不可避免的，最終導致交通數據丟失。交通數據的丟失將直接影響控制中心對交通系統的控制效果。

由于在本研究交通流密度ρi(t)為控制輸出，所以在網絡中密度將是控制中心與控制現場之間傳遞的主要數據。因此，考慮輸出的車輛密度ρi(t)在網絡傳輸過程中出現丟包現象，并假設道路交通控制器可以實時監測到高速公路車輛密度是否丟失。本研究將車輛密度數據丟失現象描述為概率已知的伯努利序列[18]α(t)，當系統檢測到交通流密度數據丟失時α(t)取值為0，否則α(t)取值為1，其定義為：

(11)

由此，本研究的控制目標是，針對式(5)，設計合適的控制算法，當測量密度ρi(t)存在部分數據丟失情況時，通過調整輸入車輛ri(t)使得輸出車流密度能夠收斂于期望密度ρd。使控制路段密度能夠穩定在期望值附近。

2 控制方案設計

根據上節對問題的描述和控制目標的分析，本節給出具體的控制方案設計。

定理1[15]對于滿足假設1和假設2條件的快速交通流量式(5)，當|Δri(t)|≠0時有一個稱為偽偏導數(PPD)的時變參數φi,c(t)∈R，可以把式(5)轉化為以下模型：

Δρi(t+1)=φi.c(t)Δri(t)，

(12)

且φi,c(t)為對于任意時刻t收斂。

定理2[15]對于滿足假設1和假設2的高速公路式(5)，如果存在一個正數t0>1使得：

(13)

那么對于任意t≥t0總可以找到一個有界的整數δ，使得：

(14)

同時存在一個偏導數(PDD)φi,c使得式(5)轉換成如下形式：

ρi(t+1)-ρi(t-δt+1)=φi,c(t)[ri(t)-

ri(t-δt)],

(15)

并且對于任意時刻t，φi,c(t)有界。

故系統可以轉換成如下數據模型：

ρi(t+1)=ρi(t)+φi,c(t)Δri(t)。

(16)

(17)

當出現數據丟失時，可以利用式(11)對ρi(t)進行估計，表達如下：

(18)

通過以上描述，可以給出在高速公路系統中，出現測量交通流密度丟失情況下帶有丟失數據補償的MFAC方案：

(19)

(20)

(21)

式中λ>0，μ>0，ρ∈(0,1]，η∈(0,1]，ξ為一個小正數。

該方案的實現流程如圖2所示。

圖2 具有數據丟失補償控制方法流程圖

3 收斂性分析

假設3:在高速公路系統中，給定期望密度ρi,d(t+1)，總存在一個有界的輸入ri(t)，使得高速公路系統的輸出ρi(t+1)等于期望密度。

ρi(t+1)=ρi,d(t+1)。

(22)

定理3：在滿足假設1,假設2，假設3和假設4的條件下，在車輛輸出密度丟失的情況下應用方案(14)～(16)，當期望密度ρi,d(t)=ρi,d為常值時，則系統的輸出誤差是收斂的。

對于輸出數據丟失時刻kz-1+2有:

(23)

以此，對于輸出數據丟失時刻tz-1+1有：

Δri(tz-2)。

(24)

對于數據丟失時刻tz-1

(25)

定義系統跟蹤誤差為：

ei(t)=ρd-ρi(t)。

(26)

利用式(4)，式(21)寫為：

(27)

?

(28)

根據上式可推得：

(29)

若ei(tz-1)≠0由式(29)可得:

Δri(t)≠0，

其中，tz-1

ρi(t)=ρi(t-1)+φi,c(t-1)Δri(t-1)

?

=ρi(tz-1)+φi,c(tz-1)Δri(tz-1)+…

+φi(t-2)Δri(t-2)。

(30)

將式(29)、(30)代入式(26)得：

ei(t)=ei(tz-1)-φi,c(tz-1)Δri(tz-1)-…-φi,c(t-2)

Δri(t-2)-φi,c(t-1)Δri(t-1)=ei(tz-1)·

(31)

(32)

(33)

(34)

若選擇ρ∈(0,1]，λ>(b+b1)2/4，可得

(35)

由式(35)可知，存在一個正數d′(t-tz-1)，使得：

(36)

對式(31)取絕對值，則式(36)可改為：

(37)

如上結果可以證明，當輸出密度出現丟失的時候，式(19)～(21)能夠保證輸出誤差收斂且有界。

4 仿真研究

本研究仿真設計一條6 km的單車道高速公路，有12個路段，每個路段的長度為0.5 km，所需密度(期望密度)為ρd=30 veh/km。進入第1段的交通流量是1 500 veh/km。 其中，第4路段有個入口匝道，第7路段有一個出口匝道，入口匝道交通流為r(t)=250+10 sin(t×pi/n)，其中n為采樣間隔。 表1中列出了每個參數的值和變量的初始值。其中，T滿足T≤Lmin/vf。

當在輸出數據沒有丟失時，MFAC方案用于控制高速公路匝道。其中參數分別為ρ=5，η=0.07，μ=0.09，λ=15，ξ=5×10-5，仿真結果如圖3～4所示。

表1 模型參數以及各路段交通流密度和速度的初始值

圖3和圖4顯示了使用MFAC方案時第7路段上數值交通流密度的跟蹤誤差和跟蹤效果。仿真結果表明，隨著時間的增加，在沒有輸出密度丟失的情況下，交通流密度逐漸收斂到期望值。該方案利用高速公路運輸系統的輸入輸出數據，調整入口匝道路段的車流量，使主干道上的交通流密度連續接近所需密度，達到期望的控制效果。

當出現交通流輸出密度數據丟失的情況下，使用沒有丟失數據補償的MFAC方案和具有數據丟失的丟失數據補償的MFAC方案式(19)～(21)，研究輸出數據丟失率為70%時的跟蹤誤差和跟蹤效果。仿真結果如圖5～6所示。

圖3 交通流密度的跟蹤誤差

圖4 交通流密度的跟蹤效果

圖5和圖6顯示出了當交通流量系統的輸出數據丟失率為70%時兩種方案下路段7的交通流信息。圖5(a)和圖6(a)分別為當輸出數據丟失率為70%時，沒有數據補償的MFAC方案的跟蹤誤差和跟蹤效果。 圖5(b)和圖6(b)顯示了通過數據補償獲得的跟蹤誤差和跟蹤效果。通過對比發現，在沒有改進的算法中，仿真進行到800個采樣周期左右跟蹤誤差可以收斂到零，此時跟蹤效果收斂于期密度。在丟失數據補償的結果中，仿真到500個采樣周期時跟蹤誤差收斂于零，跟蹤效果收斂于期望密度。通過對比驗證了算法的收斂性和算法的優越性。

圖7(a)、(b)顯示了當數據丟失率為80%時沒有數據丟失補償的MFAC方案和具有數據丟失補償MFAC方案的交通流密度跟蹤誤差。 圖8(a)、(b)顯示了當數據丟失率為80%時，沒有數據丟失補償的MFAC和具有數據丟失補償的MFAC的交通流密度跟蹤效果。從圖7可以看出，在1 300個采樣周期左右MFAC方案的跟蹤誤差收斂于零，跟蹤效果收斂于期望密度。在700個采樣周期左右改進算法的跟蹤誤差收斂于零，跟蹤效果收斂于期望值。通過對比可知，在任何丟失率下帶有數據丟失補償方案的跟蹤誤差和跟蹤效果要優于普通MFAC方案。

圖5 數據丟失70%的交通流密度跟蹤誤差

圖6 數據丟失70%的交通流密度跟蹤效果

圖7 數據丟失80%的交通流密度跟蹤誤差

圖8 數據丟失80%的交通流密度跟蹤效果

從圖3～圖8可以看出，當系統輸出數據丟失時，隨時率的增大系統的跟蹤誤差和密度跟蹤效果雖然都能達到收斂但速度會越來越慢，可以看出數據丟失的情況會對系統的穩定造成一定的影響。又通過圖5～圖8的對比不難看出，該補償方案很大程度上削弱了數據丟失對控制系統的影響，從結果可以看出該補償算法已經達到期望效果。

5 結論

基于宏觀交通流模型，將一般離散非線性系統的MFAC方案應用于快速道路交通系統，并通過仿真驗證。考慮到高速公路交通控制中的輸出交通流密度數據丟失情況，提出了具有丟失數據補償的MFAC方案。該方案利用MFAC算法內部的偽梯度估計值、輸入流量和輸出密度歷史值構造丟失數據補償算法對數據丟失時刻交通流密度進行補償。仿真結果表明，該方案將交通流密度收斂到預期值，而且隨著丟失率的增加變化該方案都能達到理想的控制效果。仿真結果驗證了該方案的有效性和普遍性。