考慮巖體自重的下伏溶洞巖石地基沖切分析

劉澤宇，雷 勇，鄧加政，劉一新，譚 豪

(1. 湖南科技大學 巖土工程穩定控制與健康監測湖南省重點實驗室，湖南 湘潭 411201；2.廣東中科華大工程技術檢測有限公司，廣東 廣州 511458)

0 引言

為實現全面建成小康社會的目標，近年來我國基礎建設向地質條件更為復雜的西南地區延伸。由于西南地區廣泛存在的巖溶地質條件，橋梁樁基穿越或置于溶洞巖石地基之上難以避免。一般認為當溶洞頂板巖體質量較好且超過一定厚度時，頂板尚具有一定的承載力，可將樁基置于溶洞頂板之上。這種設計既可節約橋梁建設成本，同時大大降低樁基的施工難度。故此眾多學者對下伏溶洞巖石地基極限承載力問題開展了廣泛研究。

張慧樂等[1-2]通過室內模型試驗，揭示了頂板厚度、荷載偏移等因素對下伏溶洞樁基樁端承載力的影響規律。胡慶國等[3]、李仁江等[4]運用數值分析軟件對影響下伏溶洞頂板極限承載力因素進行了分析，研究表明：頂板跨度、頂板厚度及溶洞形狀對地基極限承載力影響較大。劉之葵等[5]利用彈性理論分析了含溶洞的巖石地基穩定性。雷勇等[6]基于極限分析法結合H-B準則研究了頂板厚度、GSI等因素對下伏溶洞巖石地基極限承載力的影響，而后[7]基于溶洞頂板的沖切破壞模式得到了沖切體的底部直徑和三維下伏溶洞巖石地基極限承載力顯示公式。劉一新等[8]從極限分析上限法出發引入Hoek-Brown準則，得到了非對稱荷載下下伏溶洞巖石地基極限承載力計算方法。

上述研究加深了對下伏溶洞巖石地基的承載機理的認識，然而上述研究都未考慮自重對極限承載力的影響，有關自重對下伏溶洞地基極限承載力影響研究較少且不充分。

柏華軍[9]在采用極限平衡法計算溶洞頂板安全厚度時考慮了巖體自重，但其表達式較為復雜，未對不考慮自重和考慮自重時溶洞頂板的安全厚度進行比較。李亮[10]、曾中林[11]等采用兩種不同非線性準則研究了二維狀態下的下伏溶洞巖石地基極限承載力，雖然在求解過程中考慮了自重因素但未指明自重對于下伏巖石溶洞地基極限承載力的具體影響。YANG X L[12]和嚴若明[13]等同樣采用極限分析法研究了隧道垮塌機制，研究表明：在巖體質量較差的情況下巖體自重可致使溶洞頂板發生垮塌或坍塌。換言之，當巖體質量較差時下伏溶洞巖石地基有可能承載力極小或無法承載上部結構的附加荷載。由于實際工程中巖溶區巖體質量存在的缺陷，因而研究考慮自重時不同巖體質量情況下下伏溶洞地基極限承載力變化規律更能安全地評估下伏溶洞巖石地基的承載力。

針對上述下伏溶洞巖石地基承載力研究中對巖體自重考慮的不足，在前人研究基礎上，本研究基于極限分析上限法[14]，建立了考慮自重下下伏溶洞地基極限承載力的三維功能方程，推導出沖切體母線方程及下伏溶洞巖石地基極限承載力表達式，并通過室內模型試驗進行了驗證。最后編程分析了自重對下伏溶洞巖石地基極限承載力及溶洞臨界跨徑的影響，以期為巖溶區基礎工程設計提供參考。

1 Hoek-Brown強度準則

目前Hoek-Brown準則廣泛應用在巖體工程中，為適應不同的研究需要，一些學者將Hoek-Brown強度準則[15]的應力形式用其他參數表示，其中A.Serrano等[16]采用巖體瞬時摩擦角ρ表示的Hoek-Brown強度準則得到了廣泛的應用。為便于分析本研究選取無量綱應力，其破壞面上的切向應力和法向應力分別為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，σn，τn分別為巖體破壞面上的法向應力、剪應力；β為強度模數；ζ為抗拉強度系數；RMR為巖體地質力學分類指標；σc為完整巖塊無側限抗壓強度;m0為巖體類型參數。

(5)

式中，A，B兩參數可由擬合求解，其取值與研究目標應力范圍相關。文獻[6]與文獻[16]分別給出了高應力與低應力條件下A，B的值。

聯立式(2)、(5)可解得τ*的表達式為：

(6)

2 溶洞地基極限承載力上限分析

2.1 基本假定

一種合理的破壞機制是求得下伏溶洞巖石地基極限承載力上限解的必要條件。雷勇[17]等通過試驗研究證實：溶洞巖石地基沖切破壞體是一個以曲線為母線的對稱旋轉體而非標準的圓錐臺形。基于前人[18-20]的研究及極限分析相關聯準則的要求和溶洞頂板沖切破壞的特點，假定下伏溶洞巖石地基破壞模式如圖1所示。并做如下假設：

(1)荷載為中心荷載，溶洞頂板厚度為h溶洞跨徑足夠大，發生的都為自由沖切破壞；

(2)當作用在頂板上的荷載值到達極限承載力時，沖切體由破壞面內部和外部兩個剛性區、破壞面周圍的塑性區3部分組成。δ表示塑性區的厚度當發生塑性破壞時符合相關的流動法則；

(3)巖體的破壞機制符合Hoek-Brown準則且為性質均一的理想剛塑性材料。

圖1 沖切體破壞模式

2.2 沖切體破壞面功能方程的建立

下伏溶洞巖石地基極限承載力的求解關鍵在于利用外荷載所作功率與外部損耗率功率相等[14]。即：

(7)

外荷載所做功率：

(8)

破壞體在自重應力作用下所做功率：

(9)

式中，d，D分別為沖切破壞體上下直徑；l為溶洞跨徑；x為其任意h時的半徑；f(x)為沖切體母線方程；γ為重度。

當塑性區發生破壞時，內能損耗率為：

(10)

其中：

(11)

(12)

圖2 Hoek-Brown強度準則剪應力(應變)形式

由圖2可知應變率和運動速率的關系可表示為：

(13)

(14)

若材料服從關聯流動法則及Hoek-Brown準則，其塑性勢可表達成下式：

(15)

可由式(15)求得相應的塑性應變率：

(16)

(17)

式中λ>0為比例系數。

由式(1)、(2)、(6)和式(13)～式(17)可得：

σn=β[ABf′(x)]1/(1-B)-βζ，

(18)

τn=Aβ{[ABf′(x)]1/(1-B)}B。

(19)

塑性區發生塑性破壞時，其單位體積內能損耗率可由式(18)和式(19)代入式(12)中求得：

(20)

將式(11)和式(20)代入式(10)可得：

(21)

聯立式(7)～式(9)和式(21)整理可得：

γxf(x)}dx-πD2hγ。

(22)

由于式(22)中含有f′(x)，f(x)和x，其實質為求解泛函的極值問題，可通過變分法求解。

2.3 溶洞巖石地基極限承載力的求解

運用變分原理求解式(22)極值，首先定義：

F[f(x)，f′(x)，x]=[(ABβf′(x))1/(1-B)(B-1-1)+

βζ]x+γxf(x)。

(23)

根據歐拉方程：

(24)

將式(23)代入式(24)進一步解得：

(25)

(26)

(27)

(28)

對式(28)求解得：

(29)

式中C1為待定系數。

由f′(x)，t，w和x的關系可以得到：

(30)

對式(30)進行積分可以得到沖切體的母線方程，將其代入式(22)即可求解得到考慮自重的下伏溶洞巖石地基極限承載力表達式。由于式 (30)較為特殊，僅當(1-B)/B為整數時才能積分，否則母線方程和溶洞巖石地基極限承載力表達式無法顯式求得。

為求得任意參數下的溶洞巖石地基極限承載力，可采用差分法對沖切體母線的函數f(x)進行求解。原理為將母線函數在二維坐標系中分解為若干微段，根據積分原理知可由直線替代微段。結合邊界條件，逐段積分求和，得到不同參數B下的沖切體母線函數。而后積分迭加可求得溶洞巖石地基極限承載力Pb。

差分法基本原理：

(31)

給定式(30)中參數C1，γ，A,B和β，可求得任意xi的導數值。由微積分知識知任意一段曲線可劃分成無數微段直線，假定每一微段為xi+1-xi=Δx，則將每點的導數值可視兩相鄰點函數值連接直線的斜率。根據式(31)可得：

Δf(xi)=Δxf′(xi)。

(32)

將式(32)迭加計算，可求任一點的f(xi+1)值，其表達式為：

f(xi+1)=f(xi)+Δf(xi)。

(33)

由于無法得到該曲線的精確解析解，因此可用同樣的方法推導出溶洞巖石地基極限承載力Pb。每一微段直線對應的薄層極限承載力Pb(i)的積分表達式：

(34)

于是整個溶洞地基極限承載力Pb的表達式為：

Pb=∑Pb(i)-πD2hγ。

(35)

基于上述推導過程，利用數學軟件Matlab進行編程，可得到Hoek-Brown準則下任意參數組合的溶洞巖石地基極限承載力Pb具體表達式及沖切體母線函數。

選取B=0.5進行分析，B=0.5時,式(30)：

(36)

(37)

(38)

式中,C1，C2為待求參數，可由邊界條件f(d/2)=0，f(D/2)=h確定，其中D為沖切體底部直徑，也是滿足假設條件的臨界跨徑，求得各參數的表達式為：

(39)

(40)

可得：

(41)

將式(41)代入式(22)得到極限承載力Pb為：

(42)

當式(42)中γ=0時便可退化為不考慮自重的溶洞地基極限承載力Pb，其表達式為：

(43)

式(43)中只有沖切體底部直徑D為未知數，可運用數學上常用求解極值方法進行求解。首先對D求偏導并令偏導數為0，此時得到的D對應于沖切體底部直徑。將所求解D代入極限承載力函數中，便可求得溶洞巖石地基極限承載力Pb。可求得底部沖切體直徑D具體表達式為：

(44)

式中，LambertW為朗伯函數，具體應用參見文獻[21]。

2.4 極限承載力求解過程

當考慮自重時，無法用?P/?D=0求得D的具體顯式表達式，進而無法求解出溶洞巖石地基極限承載力。為求解溶洞頂板承載力極值及沖切體底部直徑D，給出求解過程如圖3所示。

圖3 極限承載力求解流程圖

3 試驗驗證

3.1 模型試驗

為驗證理論方法的合理性，進行了下伏溶洞巖石地基及基巖極限承載力室內模型試驗。溶洞基巖由水泥、石膏、砂和黏土按一定比例配制。溶洞直徑l=33 cm，拱高15 cm，分別進行頂板厚度為1d，2d，3d的小型荷載板試驗，以及相應的基巖極限承載力試驗，其中d=5.75 cm。通過試驗測得基巖試塊單軸抗壓強度為2.97 MPa，內摩擦角φ=30°。試驗加載系統及模型試驗如圖4所示。

圖4 加載系統及模型試驗

按采用的配比材料的性質及完整性，采用Hoek-Brown強度準則時，相關計算參數及實測巖體材料參數取值按以下原則[22]：因為為室內試驗，可認為無節理，RMR可取值100，m0取7.0，然后將其代入式(3)和式(4)可得β為2.6，ζ為0.16。擬合參數A取值為0.52，其他參數取值見表1。

3.2 極限承載力

根據實測的荷載-位移曲線關系，得到溶洞頂板厚度為1d，2d，3d和4d時，溶洞頂板的極限荷載分別為10，28，40和60 kN，且頂板都發生沖切破壞。由式(42)和式(43)計算的理論值極為接近，其原因是室內模型試驗巖體比較完整，沖切破壞面抗力較大，且沖切體自重相較沖切荷載可忽略不計。理論計算結果與實測值對比曲線如圖5所示。

表1 相關計算參數

圖5 Pb的理論值與實測值對比曲線

由圖5的對比曲線可知按式(42)、(43)計算的理論結果是合理的，能夠運用于溶洞巖石地基的極限承載力計算。

然而由于實際工程中巖溶巖體質量并不好，且完整程度也不如室內模型材料理想，因此可以開展參數分析，以獲得實際工程巖體中巖體自重對下伏溶洞巖石地基承載力及相關參數的影響。

4 參數分析與對比驗證

4.1 參數分析及取值

由式(42)可知改變擬合系數A、擬合系數B、巖體地質力學分類指標RMR、巖體重度γ及巖體的單軸抗壓強度σc中任一參數，溶洞地基極限承載力會隨之改變。文獻[23]建議化學沉積巖類的m0取值范圍為3～15，本研究巖體類型參數m0取7.0，A取0.88、B為0.5。相關分析參數的取值范圍見表2。

表2 相關分析參數范圍

4.2 自重γ和巖石單軸抗壓強度σc對Pb的影響

本節對考慮自重γ和巖石單軸抗壓強度σc對溶洞巖石地基極限承載力進行研究。溶洞頂板厚度h取1d，不同巖石單軸抗壓強度σc下溶洞地基極限承載力隨RMR值變化規律如圖6所示。由圖6可知巖石單軸抗壓強度σc,RMR對極限承載力的影響規律與是否考慮自重一致。當巖體其他參數相同時，隨著RMR值的增加,溶洞巖石地基極限承力呈非線性增長；巖石單軸抗壓強度σc愈高溶洞巖石地基極限承載力愈強。但二者都隨著自重γ增加溶洞地基極限承載力Pb減小，變化并不明顯。當RMR值和巖石單軸抗壓強度σc均較小時，溶洞巖石地基極限承力極小，接近于0。該現象說明巖體質量較差和強度較低時，溶洞巖石地基不具備承載能力，甚至可能坍塌。

圖6 RMR和σc對極限承載力的影響

4.3 自重γ和頂板厚度h對Pb的影響

根據文獻[24]對RMR值大小的分級，可將巖體質量分為5個等級。選取RMR為40(差巖體)、60(一般巖體)、80(好巖體)、100(非常好)4個值分析當單軸抗壓強度σc為70 MPa且不同頂板厚度下的溶洞巖石地基極限承載力Pb。根據式(42)和(43)計算的不同頂板厚度下的溶洞巖石地基極限承載力值繪成如圖7所示。

圖7 頂板厚度對Pb的影響

圖7表明：隨著溶洞頂板厚度h的增加溶洞巖石地基極限承載力Pb基本呈線性增加；當考慮巖體自重γ，頂板厚度h為3d且RMR<40時溶洞巖石地基極限承載力為負值。該現象說明考慮自重時，巖體質量較差和頂板厚度較大時的溶洞巖石地基不具備承載能力。

結合公式(42)和圖7分析可知巖體質量等級為差巖體及以下巖體時(RMR<40)，當頂板厚度增加時其內能耗散功率增量小于重力功率增量,因此出現隨頂板厚度增加溶洞出現自然垮塌現象。巖體質量等級為一般巖體及以上巖體時(RMR>60)，隨著頂板厚度增加內能耗散功率增量大于重力功率增量且內能耗散功率增量較快故溶洞巖石地基極限承載力增加。

4.4 自重γ對溶洞臨界跨徑D的影響

本研究采用編程計算出是否考慮自重下的溶洞臨界跨徑，二者差值見圖8。由式(44)可知，巖石單軸抗壓強度σc對未考慮自重的溶洞臨界跨徑無影響，因此針對不考慮巖體自重時的溶洞臨界跨徑D只選取單軸抗壓強度σc=70 MPa、γ=0與考慮巖體自重時的溶洞臨界跨徑D進行對比分析。對比分析圖如圖8所示。

圖8 自重對溶洞臨界洞徑的影響

由圖8可見：RMR和溶洞頂板厚度h對溶洞臨界跨徑D影響較大。考慮自重時，當RMR<40且頂板厚度h>2d的情況下，Pb計算值為負值，此時會出現溶洞頂板發生自然垮塌，D的取值不是明確意義上的溶洞頂板沖切跨徑；當RMR>60單軸抗壓強度和自重對溶洞臨界跨徑影響值較小，考慮自重與否的溶洞臨界跨徑二者差值在3%以內；當RMR>90時，二者溶洞臨界跨徑取值一致。

4.5 考慮自重時γ的Pb

表3給出了是否考慮自重、不同溶洞頂板厚度h及單軸抗壓強度σc下溶洞巖石地基極限承載力隨RMR變化情況。表3數據顯示：當RMR≤40時計算溶洞巖石地基極限承載力是否考慮自重γ差值較大。在h=1d及巖石單軸抗壓強度σc=30 MPa時差值最大可達到11.11%。在h>2d時考慮溶洞自重時，Pb的計算值會出現負值，溶洞頂板出現垮塌。而不考慮自重則溶洞頂板均具有一定極限承載力，且不會發生溶洞頂板坍塌。故在實際工程中RMR≤40時，需要考慮自重對極限承載力的影響，偏于安全；當RMR≥60時，即對于一般級別以上的巖體(中風化、微風化、未風化)計算溶洞地基極限承載力時是否考慮自重的誤差在3%以內。

表3 不同工況下考慮自重與否的極限承載力(單位：kN)

5 結論

本研究構建了考慮自重的沖切體三維功能方程，并通過編程得到了自重對溶洞巖石極限承載力等因素的影響，得到如下結論：

(1)巖石RMR值、單軸抗壓強度對溶洞巖石地基極限承載力影響規律與是否考慮自重因素無關，均隨著單軸抗壓強度σc和RMR值增加而提高，反之亦然。二者均隨著自重增加溶洞巖石地基極限承載力減小，但變化并不明顯。當RMR值和巖石單軸抗壓強度σc均較小時，溶洞巖石地基極限承力極小，接近與0。該現象說明巖體質量較差和強度較低時，溶洞巖石地基不具備承載能力，甚至可能坍塌。

(2)隨著溶洞頂板厚度h的增加溶洞巖石地基極限承載力Pb基本呈線性增加；當考慮巖體自重γ，頂板厚度h為3d且RMR<40時溶洞巖石地基極限承載力為負值。該現象說明考慮自重時，巖體質量較差和頂板厚度較大時的溶洞巖石地基不具備承載能力。當考慮自重和頂板厚度時，溶洞巖石地基極限承載力的變化主要取決于內能耗散功率增量與重力功率增量之間的差值。當內能耗散功率增量大于重力功率增量時溶洞巖石地基極限承載力增加，當內能耗散功率增量小于重力功率增量溶洞巖石地基極限承載力減小。

(3) 當RMR<40時自重對溶洞臨界跨徑影響較大，當頂板厚度h>2d時會出現自然垮塌；當RMR>60時單軸抗壓強度和自重對溶洞臨界跨徑影響值較小，考慮自重與否的溶洞臨界跨徑二者差值在3%以內；當RMR>90時，二者溶洞臨界跨徑取值一致。

(4)實際工程中RMR≤40時，需要考慮自重對極限承載力的影響；當RMR≥60時，計算溶洞巖石地基極限承載力時是否考慮自重其值差別較小一般在3%以內。