三角幻方的研究

陜西省漢中市漢中中學 周小文

三角幻方的研究

陜西省漢中市漢中中學 周小文

三角幻方是從三階幻方當中脫衍出來的，大家耳熟能詳的九宮格就是三階幻方。三階幻方其實是正方形的，而三角幻方則不然，其本體是三角形的。最簡單的三角幻方是1～6構成的三角幻方，實質就是由1～6六個數字構成的等邊三角形。筆者主要研究的是1～9這九個數字構成的等邊三角形。

一、三角幻方的相關定義

三角幻方的定義與三階幻方的定義類似：將X個數字（X必須為3的倍數且最小為6）均勻填到三角形三邊中，使得三條邊上的數字之和剛好相等，我們就稱這個三角形為三角幻方。但是這里還有一個問題，同一組數字有兩種不同的填法，都能構成三角幻方，所以在命名三角幻方的時候，筆者總結出一種方式：X-Y-S-三角幻方。其中X是三角幻方的三個頂點，Y是三角幻方的幻和（三角幻方的幻和就是其邊長），S是三角幻方的階數。如圖1就叫作（1，5，9）-20-四階-三角幻方。

二、構造三角幻方的一般方法

先從最簡單的三角幻方談起。最簡單的三角幻方是由1～6構成的三角幻方。在開始之前，要介紹一下研究幻方的方法，或者說1～6的數字組合為什么能夠構成一個幻方。

筆者在研究三角幻方的時候用到了一種方法：先確定頂點數以及幻和，然后根據差值以及剩下的數來確定最后的三角幻方到底是哪一種。這種方法的根本是差值法。首先，我們如果確定了頂點的數字，那么這個三角幻方的幻和以及總和我們也就知道了，然后根據剩下的數字來最終確定這個三角幻方。但是，頂點上的數字也不是隨便填的，頂點上的數字之和必須是3的倍數（因為所有的數字加起來要是3的倍數，而1～6里面有三個數用了兩次，其余的數用了1次，所以1+2+3+4+5+6=21是3的倍數，剩下的三個數的和也必須是3的倍數），所以可以填的數字的組合只有1、2、3；1、2、6；1，3，5；1、5、6；2、3、4；2、4、6；3、4、5；4、5、6。

確定了頂點數，那么相對應的幻和也就確定了。以1、2、3為例，其幻和就是，那么1和2之間就差9-1-2=6，2和3之間就差9-2-3=4，1和3之間就差9-1-3=5。那么最后的三角幻方就是（1，2，3）-9-三階-三角幻方（如圖2所示）。

同樣的，用這樣的方法也就能夠確定剩下的幾組三角幻方是否存在了。經過驗證，以（1、3、5）；（2、4、6）；（4、5、6）為頂點的三角幻方都是存在的，而其他的都不存在，具體如圖3、圖4、圖5。

（1，3，5）-10-三階-三角幻方

（2，4，6）-11-三階-三角幻方 （4，5，6）-12-三角幻方

1～6這六個數字所組成的三角幻方只有這些，并且也沒有太多的性質可以進行研究，所以接下來研究的是1～9這九個數字構成的三角幻方，如圖6。

那么我們可以把 分成三個部分：A={1,4,7}（1～9中能被3除余1）；B={2,5,8}（1～9中被3除余2）；C={3,6,9}（1～9中能被3整除的數）。

那么我們就可以有三個取三角幻方頂點數的取法：

取法一： ,那么要么a，f，i都屬于A，要么a，f，i都屬于B；

取法二：a,d,g中只有一個屬于C,那么其余兩個數一個在A中取，一個在B中取；

共有30種取法，但30種取法里面又有多少種可以構成四階三角幻方呢？

（1，2，3）-17-四階-三角幻方、（1，4，7）-19-四階-三角幻方、（2，5，8）-20-四階-三角幻方、（2，3，7）-19-四階-三角幻方、（3，6，9）-21-四階-三角幻方、（4，5，6）-20-四階-三角幻方、（7，8，9）-23-四階-三角幻方是兩種填寫方式；而（1，5，9）-20-四階-三角幻方、（3，5，7）-20-四階-三角幻方只有一種填寫方式。