數學建模教學改革研究
——以憶阻型神經網絡建模為例

蔡佐威，黃立宏

(1.湖南女子學院 信息科學與工程學院，長沙 410002； 2.長沙理工大學 數學與統計學院，長沙 410114)

數學建模通過數學語言能對社會生活和經濟活動中的許多現實問題進行描述，以尋找變量之間的關系來建立函數或方程等數學模型。目前，很多高校在本科生和研究生培養過程中都開設了數學建模課程。數學建模課程的開設旨在培養學生的科學計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力、解決實際問題的能力。例如，對計算機專業的學生開設數學建模課程可以提高軟件開發能力，解決IT行業中存在的實際問題，提高經濟效益。

1 數學建模教學存在的問題

一是數學建模課程教學沒有充分緊密聯系當前的社會生產和經濟需求，與前沿的科學問題有些脫軌。課程的開設最終都是為了使人才培養服務于社會生產和經濟發展，如果高校教學研究者在數學建模教學中沒有準確把握好這點，那么數學建模教學將很難起到最大限度的作用，還會對相關專業的學生造成困擾。二是數學建模教學過程中的專業性沒有得到應有體現。這其中的原因是多方面的，比如數學教師的素質提升沒有得到應有的保障，數學教學團隊的專業性建設存在不足，高層次的跨專業型教學人才較為缺乏。三是數學建模課程的教學模式比較守舊，教學方式方法也比較單一。目前，高校數學教師大多采用傳統的講授型教學模式，該教學模式的特點是以教師為主導，很難充分發揮學生的主觀能動性。如果這種單一的傳統教學模式沒有融合信息技術和多媒體技術，教學質量會大打折扣。在信息技術飛速發展的今天，數學建模教學模式的改革已刻不容緩。本研究將以憶阻型神經網絡數學建模為例來對數學建模改革的重要性與手段進行分析。

2 憶阻型神經網絡數學建模

2.1 意義

人工神經網絡(Artificial Neural Networks)是一種模擬人類或動物神經網絡行為且進行分布式并行處理的算法數學模型，在人工智能領域起著非常重要的作用。在許多本科生或研究生的數學建模課程學習與實踐中，神經網絡數學建模是非常熱門的研究方向之一。神經網絡模型主要是模擬大腦的神經元突觸結構及功能，這類神經網絡是通過把大量的神經元節點相互連接而建立出數學模型，每個具體的神經元節點代表了特定的信號輸出函數，節點之間的連接表示連接信號的權重。從某種意義上來講，神經網絡模型模擬了大腦的記憶功能。根據基爾霍夫電壓定律(KCL)，目前所建立的神經網絡電路模型通常由微分方程進行刻畫。自1971年美國華裔科學家Leon Chua提出了記憶的電阻—憶阻器(Memristor)這一概念以來，基于憶阻器的神經網絡建模就引起了越來越多學者的關注。在憶阻型神經網絡的建模及模擬實現過程中，憶阻器可通過改變其阻態把經流過它的電荷數量進行記憶，以此達到記憶過去狀態的目的。憶阻器是最有可能實現人類大腦中突觸功能的電子元件，憶阻器的結構如圖1所示。

圖1 憶阻器元件的結構圖[5]Fig.1 Structure chart of Memristor element

在神經網絡數學建模過程中，根據憶阻器元件的特征與性質，如果把神經網絡中傳統的電阻器元件替換為憶阻器這種新型的電路元件，則通過右端不連續的微分方程可建立出憶阻型的神經網絡數學模型，這類神經網絡模型也可視為隨狀態變量切換的動力學數學模型。

Leon Chua教授所提出的憶阻器(Memristor)不同于傳統的電阻(Resisitor)、電感(Inductor)和電容(Capacitor)這三種電路元件，它是第四種無源性電路元件。電流(Current)、電壓(Voltage)、電荷(Charge)、磁通量(Flux)這四種電路元件之間的關系式均由微分方程來刻畫。憶阻器、電阻器、電感器、電容器具有各自的電流-電壓特征。理想憶阻器的電流-電壓特征從數學函數表現來看是一條“8”字形的滯回曲線，這條曲線在坐標原點處自交叉。Leon Chua教授自提出憶阻器概念后的幾十年里，因為人們未能研制出憶阻器的實體元件，所以憶阻器沒有被引起足夠的重視。直到2008年，美國惠普實驗室的R.S.Williams研究組首次證實了納米電子系統中憶阻器的實體存在，并建立了憶阻器的數學模型，進行了物理模型仿真實驗，他們的成果發表在了Nature雜志上。隨后，越來越多的科研與教學工作者開始對憶阻型神經網絡數學建模問題進行研究。憶阻型神經網絡數學建模不只是前沿的科學問題，它在本科生和研究生的畢業設計與數學建模教學中也引起了廣泛關注。

2.2 建模過程

憶阻型神經網絡數學建模不僅會運用到數學理論和方法，還將涉及物理學和計算機等相關專業的知識。神經網絡建模首先要符合客觀物理規律，以第i個子系統作為分析單元。據基爾霍夫電壓定律，第i個子系統可由下列時滯微分方程來進行刻畫：

(1)

(2)

2.3 數值模擬分析

對憶阻型神經網絡數學建模進行數值模擬分析的過程中，單一采用傳統的教學方法是不夠的，必須用到計算機軟件和多媒體技術等教學手段，建模過程中的實踐環節也顯得非常重要。由于時滯、不連續性和周期性等因素的存在，使得憶阻型神經網絡模型具有復雜的動力學性質，所以有必要對憶阻神經網絡的動力學進行數值模擬和分析。例如，在憶阻型神經網絡模型(2)中取n=2，τ=1，fj(θ)=1.2tanh(θ),j=1,2，J1(t)=sint，J2(t)=cost，

初始值條件為φ(t)=(-1,1),t∈[-1,0]。借助MATLAB進行數值模擬實驗發現，該二維的時滯憶阻型神經網絡模型具有復雜的周期動力學行為，如圖2所示。人類大腦通常都處于周期性的振蕩或混沌狀態，對周期性質的憶阻型神經網絡數學建模及其數值模擬進行分析能更好地幫助人們理解人類大腦的運行機制。在高校數學建模課程中開展神經網絡的數學建模及數值模擬分析能幫助學生解決工農業生產中的實際問題。

圖2 時滯憶阻型神經網絡模型的周期動力學行為Fig.2 Cycle dynamics behavior of Memristor-based neural network model

3 數學建模教學改革措施

3.1 結合工農業生產和前沿科學問題建設現代化數學建模教學模式

數學建模與社會生產、工程技術和經濟發展有著密切聯系。在數學建模教學過程中，應利用經典的數學理論和方法來解決當前信息時代的工農業生產及前沿的科學問題。例如，在人工智能神經網絡領域，可借助現代微分方程理論和定性分析等數學方法來進行人工神經網絡數學建模與分析。在漁業和牧業領域，為了維持生物種群的可持續發展并產生經濟效益，可引進不連續型捕獲管理策略建立生物數學模型，還需引進穩定性理論來進行動力學分析。

3.2 采用多樣化教學手段

數學建模課程比較抽象、枯燥，需在教學過程中引進多樣化的教學手段，激發學生學習興趣。例如，可把傳統的“黑板+粉筆+講授”的教學方式與多媒體教學手段結合起來，這種改進后的數學建模教學模式可使學生在充滿趣味的學習環境中進行學習，能夠達到良好的教學目的。

3.3 組建專業型教學團隊并結合學科專業加強實踐教學

數學建模往往涉及不同學科之間的交叉，擁有跨學科與高素質教師的專業型教學團隊對于數學建模課程的開展非常有利。神經網絡數學建模要求教師不僅要具有扎實的數學理論知識與方法，還應具有現代物理學和控制理論方面的知識以及計算機技能。數學建模與傳統的數學課程存在很大區別，為了解決實際問題，數學建模教學的實踐環節必不可少，需要用到MATLAB和Mathematic等計算機軟件來進行編程和數值模擬分析，并對學生進行技能培訓和社會實踐訓練。

3.4 鼓勵學生在畢業設計中融入數學建模思想并參加數學建模比賽

理工科和財經類學生可把數學建模思想融入到所在專業的畢業設計或畢業論文中。學校要積極組織學生參加校級、省級和國家級的數學建模競賽，這會對提高學生的科研能力、綜合素質、適應社會能力等方面起到積極作用，開闊了學生的視野。