腦洞大開 一題多解

阮萍揚

(福建省泉州師范學院附屬中學 福建 泉州 362000)

2019年泉州市二檢中，有一道題吸引了筆者的眼球，乍一看切入點不好找，思路不清晰，但仔細思考后會發現有多個角度可以入手分析，隨著思考廣度的不斷拓展，一題多解，腦洞大開。

題目:如圖，在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a，b，c，a+b=5，(2a+b)cosC+ccosB=0,若點D為AB的中點，∠ACD=30°，求a,b的值。

1.向量方向

總結:向量用來解三角問題，經常要用到模長平方，向量的夾角公式，或向量點乘的幾何意義、極化恒等式等等，這是一個研究解三角形問題的方向，是一種常見的方法。

2.解三角形方向

總結:此題的參考答案解法也非常漂亮，利用△ACD和△BCD面積相同可以輕易得到b=2a；參考答案還給了另外一種解法，在△ACD對∠ADC用正弦定理；在△CBD對∠CBD取正弦值；聯立后，即可以得到b=2a。而筆者的這個解法主要受到2017年全國卷1卷三角函數大題的啟發，條件可以二次應用，得到新的條件，這也不失為一種好的解法。解三角形問題，用正余弦定理、面積公式等，這種解法中規中矩，套路化模式化是最重要的一種基本方法。

3.解析幾何方向

總結:利用建系，運用代數的方法解決幾何問題，這是解析幾何神奇之處，常常有化難為易，化繁為簡的功效，并且思路簡單，入手容易，是解決三角問題的好方法。解法5，利用條件a+b=5，構造一“橢圓”，再利用橢圓的性質去解決問題。這種解法在此例中運算量較大，“小題大做”，但巧在構造的模型。值得一提的是，另外一種常見構造結構圓，也是解決三角問題的一種好模型好方法。

4.平面幾何方向

總結：利用平幾知識點解決問題，是非常好的一個思路，并且解法不唯一。此題也可以過點A做直線與BC相平行，利用中位線解決問題。也可以過點D做AC的垂線，用相似解決。平面幾何的分析方法越來越重要，也是近幾年的國考卷中常見的命題手法。

5.聯立方程解方程組方向

總結

假設未知數求解未知數，假設兩個變量，那么只需要找到兩個等式，聯立求解即可。此題解法，刻意的選擇“公差”作為其中一個變量，計算過程略顯麻煩。實際上對于變量的選擇還可以有其它選擇，可設邊長，可設角度，有了變量再去尋找等式。這種方法較為“笨重”，盡管計算量大，但思簡單，入手容易，因此成為解決三角問題，最值問題常用解題策略。