一類平方立方非線性耦合系統主共振解析近似解的研究

李 潔

宿遷學院建筑工程學院（223800）

0 引言

式中 α1和 α2不必限制為小參數，（′）=d（）/dτ，（′′）=d2（）/dτ2系統參數均為無量綱參數。令，

于是方程式（1）變成

大多數非線性微分方程都沒有準確解析解的經典的攝動技術如多尺度法[1]、平均法[2]等，通常僅限于小參數非線性方程組的分析，難以適用于強非線性振動系統。

廖世俊提出的同倫分析法通過引入輔助參數和輔助函數來調節和控制級數解的收斂區域和收斂速度[3]。工程技術中的許多非線性問題應用該方法已經成功解決，如求解非線性動力系統極限環[4]、非牛頓流體的磁流體動力學[5]等。李永強等人應用同倫方法研究了單自由度和多自由度系統的立方非線性受迫振動系統主共振問題[6-10]這些成功應用的例子表明,同倫分析方法可以有效地解決許多非線性問題,但該方法在平方和立方非線性耦合系統主共振方面的應用卻未見報道。

文章應用同倫分析法研究了如下一單自由度平方立方非線性耦合系統的主共振問題[11]。

式中（′）=d（）/dτ，（′′）=d2（）/dτ2（下同）。

1 同倫分析法的基本原理

同倫分析法的基本思想[4]是來自于代數拓撲中的連續映射，希望構造一個聯接方程式（3）的解u（τ）和一個給定函數 u0（τ）之間的同倫 Φ（τ；q），q[0，1]，使得 Φ（τ；0）=u0（τ），Φ（τ；1）=u（τ）。 首先，需要確定一組基函數，顯然，單自由度系統主共振可由

為此解表達式可選為

式中Ak是未知的復函數，Ak是Ak的共軛。令Ω0為頻Ω率之初始猜測值，選取

作為 u（τ）的初始猜測值，根據解表達式（5），選取

為輔助線性算子， 其中 λ[ Ce x p（iτ）]=0，C∈R.根據方程（3），定義如下非線性算子[15]。

式中，Φ（τ；q）為依賴于 τ和 q 之函數，（q）為 q之函數。令?表示非零輔助參數,構造如下零階形變方程

這樣，當q=0時，由式（9）可以得到

當 q=1時,由于 ?≠0，式（9）等同于原方程式（3），從而

因此，當 q從 0增大到 1時，Φ（τ；q）從初始猜測解 u0（τ）變化到精確解 u（τ），同時 λ（q）從初始猜測解Ω0變化到物理頻率Ω。利用式（10）和泰勒展開定理,將 Φ（τ；q）和 λ（q）展開成如下 q 之冪級數。

式中

由于零階形變方程式（9）中包含輔助參數?，因此只要選擇適當的?值，就可保證級數（12）和（13）在q=1時收斂，從而有級數解

將級數（12）和（13）代入到零階形變方程式（9）中，令q相同次冪之系數為零，就可得到高階形變方程

式中cc表示前面各項的共軛，消去式（21）中的長期項，令式（21）中 exp（±iτ）的系數為零，從而得到方程

由于 A0不為 0，因此由式（22）可得

根據式(17)可得一階形變方程

即

方程（25）的解為

為了避免高階形變方程解表達式中出現長期項，必須強迫式（27）中 exp（±iτ）的系數為零，從而得到方程

式中α和β是實函數，將式（29）代入到式（28）并將結果分成實部和虛部，得到

由式（30）和式（31）可得

由式（30）就可確定出Ω1和a的關系，消除高階形變方程式（27）中的長期項,再根據式（17）可求得u2（τ）。 根據式（6），（23），（26）和式（29）可得 u（τ）的一階近似解為

由于u（τ）中含有輔助參數?，在同倫分析法中起著控制和調整收斂范圍的作用，可以通過一些相關級數（如 u′（0），u′′（0）等）的函數曲線來確定合適的?值，因為只要取合適的?值使級數解收斂，那么所得到的級數解就必是原方程的一個解,從而在u′（0）、u′′（0）等函數和 ? 的曲線中存在一條水平線段，其對應的?取值區域就是?的有效區域。

2 數值計算

采用上述同倫分析法對式（1）進行計算，取μ=0.01，ω0=1.0，F=1.0，Ω=1.0。 非線性系數分別為 α1=α2=1.0 和 α1=α2=5.0 時級數 u（τ）給出的 u′（0），u″（0）和 u?（0）之 ? 曲線如圖 1 所示，很明顯 α1=α2=1.0時級數 u′（0），u″（0） 和 u?（0） 在-1.5≤?≤-1.0 時收斂；α1=α2=5.0時在-1.6≤?≤-1.4時收斂。通過計算發現,若級數 u′（0），u″（0）和 u?（0）收斂，級數 u（τ）在整個區域τ∈[0，+∞)上收斂，因此在下面的計算中 α1=α2=1.0 時取 ?=-1.0，α1=α2=5.0 時取 ?=-1.5，當非線性系數 α1和 α2為其他值時可通過 u′（0），u″（0）和 u?（0）和 ?的關系曲線確定出適合的值。

圖 1 u′（0），u″（0）和 u?（0）～? 關系曲線（2階近似）

圖2 為系統在不同a1和a2下的主共振頻率響應曲線，曲線中的空心圓為相應的數值解.數值解采用四階Runge-Kutta算法。由圖2可知，應用同倫分析法得到的解析近似解與數值法求得的解是相當吻合的，但由于數值解只能計算穩態解，而同倫分析法不僅適用于強非線性而且也能計算非穩態解。

圖2 主共振時的頻率響應曲線（2階近似）

3 結論

文中應用同倫分析方法獲得了單自由度平方和立方非線性耦合系統主共振的解析近似解。同倫分析方法通過引入輔助參數可以調節和控制級數解的收斂區域和收斂速度，這是同倫分析方法和其他方法的根本性區別。從同倫分析法與四階龍格庫塔法的比較表明，同倫分析法不僅能求解穩態解而且也能計算非穩態解并且具有較好的計算精度。