淺談數(shù)形結(jié)合在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

楊 莉

（山西省 臨汾職業(yè)技術(shù)學(xué)校041000）

前言：簡單來說，數(shù)形結(jié)合思想就是將數(shù)學(xué)圖形與數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來，通過相互轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)化來分析、解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含著十分豐富的數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)觀念，加之高等數(shù)學(xué)本身具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，故而在教師的具體教學(xué)工作中，引導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)用數(shù)學(xué)思想則是幫助學(xué)生掌握相應(yīng)數(shù)學(xué)知識的關(guān)鍵所在[1]。通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，并將其運(yùn)用優(yōu)勢充分發(fā)揮出來，不僅能夠有效地降低高等數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)難度，還能夠進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)學(xué)科素質(zhì)。在下文中，筆者以數(shù)形結(jié)合思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值為論述切入點(diǎn)，并探究了數(shù)形結(jié)合思想的相關(guān)應(yīng)用策略。

1 數(shù)形結(jié)合在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價值

1.1 深化理解數(shù)學(xué)概念

在學(xué)生們學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中不難發(fā)現(xiàn)，不少數(shù)學(xué)概念都是通過抽象的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)的，此時，在理解數(shù)學(xué)概念的時候不少學(xué)生都較為吃力。但借助數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行概念理解的話，則可以很好的幫助學(xué)生加深對于數(shù)學(xué)知識的理解及記憶[2]。例如，教師在為學(xué)生講解“導(dǎo)數(shù)”的相關(guān)概念時，教師可以先從變速直線運(yùn)動的瞬時速度、平面曲線的切線斜率等實(shí)際問題著手，從變化的曲線、直線運(yùn)動中概括出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，使得學(xué)生可以初步形成“導(dǎo)數(shù)的概念為變化率的極限”這一基本認(rèn)識。又或者是教師在為學(xué)生們講解雙曲拋物面的相關(guān)內(nèi)容時，由于學(xué)生們剛剛接觸這部分內(nèi)容，他們比較難以去理解雙曲拋物面在笛卡兒坐標(biāo)系中的方程及其構(gòu)成圖形。此時，教師則可以運(yùn)用平行切割法將雙曲拋物面形成的動態(tài)過程為學(xué)生們進(jìn)行展現(xiàn)分析。高等數(shù)學(xué)知識概念相對抽象，且具有一定的邏輯性、層次性，因此教師在教學(xué)時，可以積極地借助幾何圖形來引導(dǎo)學(xué)生逐步觀察、分析，最終以形助數(shù)，使其完全掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)概念與知識。

1.2 直觀解釋數(shù)學(xué)定理

大多數(shù)學(xué)生們認(rèn)為高等數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)難度較大通常是因?yàn)檫@門課程的相關(guān)內(nèi)容與知識點(diǎn)相對繁瑣，所要求積極、理解的定理、公式更是數(shù)不勝數(shù)。但在數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式時，教師則可以將抽象性的內(nèi)容以具象化的情境或過程呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，達(dá)到輔助學(xué)生學(xué)習(xí)的目的。例如，羅爾定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理的結(jié)論都是切線平行于弦，教師在為學(xué)生們講解“羅爾定理”的相關(guān)內(nèi)容時，則可以運(yùn)用微課教學(xué)形式將相應(yīng)的定理文字以直觀形象的圖例進(jìn)行展示說明，以此有效激發(fā)學(xué)生們的探究興趣，活躍其思維。接著，為順利地引出“拉格朗日中值定理”，教師還可以運(yùn)用flash動畫演示軟件傾斜圖形，此時，學(xué)生們則能夠更加積極地認(rèn)識到“拉格朗日中值定理的一般情形是羅爾定理”、“拉格朗日中值定理更一般的情形是柯西中值定理”等數(shù)學(xué)根本。由此可見，借助數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，可以有效地反映出圖形與數(shù)量之間的關(guān)系，而通過這樣的教學(xué)形式，學(xué)生們對于各定理之間的聯(lián)系也或更加了然于心，這對于提升其數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)效率、質(zhì)量均具有重要推動作用。

1.3 增強(qiáng)學(xué)生求簡意識

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行數(shù)學(xué)問題分析與解答，更有利于指導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化，從而提升解題效率，強(qiáng)化學(xué)生自身數(shù)學(xué)問題解題思路的形成[3]。例如，“已知：函數(shù)f（x）=（x+a）2+|x+a|在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍?”在解答這一函數(shù)問題時，f(x)=(x+a)2+|x+a|可改寫為f(x)=|x+a|2+|x+a|，改寫后的函數(shù)又可以看成是由函數(shù)y=|x|2+|x|經(jīng)過坐標(biāo)平移得來的。此后，學(xué)生們則可以在不同的取值條件下，如當(dāng)x≥0時、x<0時分別畫出該函數(shù)的圖像，將兩個函數(shù)合并在一起后，我們則可以發(fā)現(xiàn)，圖像的最低點(diǎn)為x=-a,在x<-a時，函數(shù)單調(diào)遞減，在x>-a時，函數(shù)單調(diào)遞增。結(jié)合已知條件給出的區(qū)間范圍，則可以得出a的取值范圍為a≥-3。又或者是“求解函數(shù)z=x+y在約束條件下x2+2y2=4時的最值”，通過題干可知，解答這一問題時可以采用拉格朗日乘數(shù)法，但運(yùn)用代數(shù)關(guān)系進(jìn)行最值求解，這一過程無疑較為繁瑣。此時，為了有效地簡化解題過程，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想發(fā)掘題目中所蘊(yùn)含的幾何規(guī)律。x2+2y2=4可以轉(zhuǎn)化為橢圓軌跡理解，那么這一題目中函數(shù)z=x+y則可以理解為一條斜率為-1的直線，即整個題目可以視為“橢圓上的任意P點(diǎn)沿橢圓運(yùn)動時，在x軸與y軸的截距最值問題”。當(dāng)題目被簡化之后，學(xué)生只需求解直線x＋y=z與橢圓x2+2y2=4相切的值即可。由此可見，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，借助圖形直觀或幾何理念可使數(shù)量關(guān)系形象化，此時，數(shù)學(xué)問題的解答也會變得更加簡便。

2 數(shù)形結(jié)合在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

2.1 強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)

在進(jìn)行具體的高等數(shù)學(xué)知識教學(xué)是，教師自身應(yīng)當(dāng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想分析、解決數(shù)學(xué)問題，無論是在講解數(shù)學(xué)概念、解釋數(shù)學(xué)定義、推導(dǎo)定理還是在解題計算時，教師都可以強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合可有效降低學(xué)習(xí)難度、強(qiáng)化知識點(diǎn)記憶理解的應(yīng)用優(yōu)勢[4]。同時，在布置相應(yīng)的數(shù)學(xué)習(xí)題時，教師也可以強(qiáng)調(diào)學(xué)生多運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來思考問題，以此加強(qiáng)教學(xué)引導(dǎo)來培養(yǎng)學(xué)生們主動使用數(shù)形結(jié)合思想的習(xí)慣。

2.2 利用信息化技術(shù)

信息化教學(xué)手段深受廣大教師的喜愛，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作中，教師也應(yīng)當(dāng)善于借助微課、云課堂等教學(xué)工具，以圖像、視頻、動態(tài)圖等多樣化的信息手段來培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合展開教學(xué)。在信息化學(xué)習(xí)模式中，原本抽象畫的內(nèi)容變得具象，而數(shù)量關(guān)系與數(shù)學(xué)圖形的結(jié)合、動態(tài)與靜態(tài)的結(jié)合都使得所學(xué)的高等數(shù)學(xué)內(nèi)容生動起來，有效降低了相關(guān)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)難度，學(xué)生們在理解與接受后續(xù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用中也會更加得心應(yīng)手。從另一角度上說，學(xué)生也可以根據(jù)自身的實(shí)際學(xué)習(xí)需求來調(diào)整學(xué)習(xí)速度、演示進(jìn)度等，此時，圖形的動或靜、數(shù)和形的潛在變化都可以清晰、直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前。

2.3 形成常態(tài)化教學(xué)

數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)不應(yīng)當(dāng)是局限于某一知識點(diǎn)或者是某一教學(xué)單元中，而是應(yīng)當(dāng)涵蓋學(xué)生整體的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，將數(shù)形結(jié)合教學(xué)形成常態(tài)化，此時則更有助于促使學(xué)生形成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。而在教師的教學(xué)過程中，則應(yīng)當(dāng)善于挖掘出教材中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，并切實(shí)地從教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)經(jīng)過、課后練習(xí)等諸多緩解有層次地、分階段地滲透數(shù)形結(jié)合思想。

結(jié)語：綜上所述，作為數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作中有機(jī)融合、滲透數(shù)形結(jié)合思想是每位教師都值得深切思考的重點(diǎn)課題，而利用數(shù)形結(jié)合開展高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作，無疑也是極大地優(yōu)化了學(xué)生們的學(xué)習(xí)過程，幫助其充分提升了學(xué)習(xí)效率及質(zhì)量，對于培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)科素質(zhì)具有重要的意義與價值。