有關旋轉體體積問題的多種解法

鞠銀

（上海電機學院文理學院，上海 201306）

旋轉體是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體。掌握旋轉體體積的計算具有非常重要的實際意義，并且有助于學生分析和解決問題的能力。本文以旋轉體的體積為例，介紹多種方法，使學生能夠更好地理解微元法，并能熟練地求解各類旋轉體的體積。

求拋物線x=y2與直線y=x所圍的區域D,計算將D繞直線l:x=1旋轉一周所得到旋轉體的體積。

解：方法1 采用截面法，用垂直于旋轉軸的面積元素繞旋轉軸所得的體積看作旋轉體的體積元素

選y為積分變量，y∈[0,1]

方法2 柱殼法：用平行于旋轉軸的面積元素繞旋轉軸所得的柱殼體(將柱殼體展開，

可以近似成一個很薄的長方體)的體積看作旋轉體的體積元素。

選x為積分變量，x∈[0,1]

解：方法1 采用截面法，選x為積分變量，x∈[-a,a]

方法2 采用柱殼法，選y為積分變量，y∈[0,b]

方法3 采用三重積分的先二后一的方法計算體積，

解：此題可以采用前面介紹的截面法或者柱殼法都可以求得旋轉體的體積.這里我們介紹另一個方法.根據古希臘數學家Pappus總結出的一個旋轉體的體積公式,d為區域D的重心到旋轉軸的距離，S為區域D的面積.圓的面積為π，重心到y的距離d=2.

由這個公式我們發現對于一些重心比較好求的圖形繞平面內某一條直線旋轉一周而成的旋轉體的體積是比較容易求得。

解：此題和前幾例的不同點是旋轉軸不和坐標軸平行。此題我們采用Pappus定理來解非常方便。這里我們介紹一下Pappus定理：

首先要解出交點