認(rèn)知發(fā)展觀視域下分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見(jiàn)錯(cuò)誤分析

于桓

摘?要：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在。初學(xué)者在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題方面會(huì)由于數(shù)量關(guān)系分析不得當(dāng)、誤判單位“1”、分量與分率理解不到位、量率不對(duì)應(yīng)等導(dǎo)致各式各樣的錯(cuò)誤。根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展觀理論，錯(cuò)誤的主要原因是由于學(xué)生已有圖式無(wú)法修改，新的圖式尚未建立，同化—順應(yīng)—平衡未實(shí)現(xiàn);已有圖式不足以支撐新情境下的問(wèn)題解決;已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)干擾;新知識(shí)不牢固;直覺(jué)等因素影響學(xué)生的判斷。學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見(jiàn)錯(cuò)誤以及錯(cuò)誤原因值得一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)注與反思，旨在為教師教學(xué)設(shè)計(jì)提供支持。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知發(fā)展觀;分?jǐn)?shù)應(yīng)用題;常見(jiàn)錯(cuò)誤;成因分析

【中圖分類號(hào)】G648?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A?【文章編號(hào)】1005-8877（2020）27-0179-02

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有非常重要的地位，是教師教學(xué)的重點(diǎn)，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題一向是小學(xué)生的老大難問(wèn)題，題目難度大，問(wèn)題情境復(fù)雜，數(shù)量關(guān)系不易厘清，計(jì)算步驟繁瑣等特點(diǎn)，給人一種枯燥、乏味、不好切入的印象，學(xué)生常常會(huì)在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中栽跟頭，教師面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，常常伴隨著苦惱和無(wú)奈的心情。無(wú)論分?jǐn)?shù)應(yīng)用題如何講解，仍然有學(xué)生出現(xiàn)各種各樣的問(wèn)題。學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤是什么？有哪些常見(jiàn)的錯(cuò)誤類型？錯(cuò)誤的原因是什么？學(xué)生在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的思維規(guī)律是什么？這些問(wèn)題顯得尤為重要了。本研究基于皮亞杰認(rèn)知發(fā)展觀重新審視學(xué)生在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的學(xué)習(xí)困難、障礙、錯(cuò)誤類型，成因分析，這應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教育工作者不斷反思的議題。

1.皮亞杰認(rèn)知發(fā)展觀理論

皮亞杰，瑞士?jī)和睦韺W(xué)家，建構(gòu)主義認(rèn)知理論的先驅(qū)。皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展觀中涉及到了圖式、同化、順應(yīng)、平衡幾個(gè)核心概念。其中，圖式是指活動(dòng)的結(jié)構(gòu)和組織，是一種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一種有組織的、可重復(fù)的行為或者思維模式。兒童先天具有遺傳圖式，隨著兒童通過(guò)活動(dòng)，有機(jī)體不斷變化，豐富已有圖式，這些變化包括同化和順應(yīng)兩個(gè)方面。具體而言，學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，起初是平衡狀態(tài)的，當(dāng)新知識(shí)進(jìn)入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，如果能被順利地吸收，則新知識(shí)順利地被同化。當(dāng)然，還可能是學(xué)生自認(rèn)為同化成功了，但是出現(xiàn)了誤解，事實(shí)上并沒(méi)有同化成功，那么就需要澄清誤解，修改圖式，把新的元素加入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，從而達(dá)到平衡。（見(jiàn)圖1）如果不能被同化，這時(shí)候就產(chǎn)生了認(rèn)知不平衡的狀態(tài)，教師需要修改學(xué)生頭腦中的圖式或者創(chuàng)建新的圖式，幫助學(xué)生同化新的知識(shí)，當(dāng)新的知識(shí)能夠進(jìn)入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，那么新知識(shí)就被很好的順應(yīng)，再次達(dá)到了平衡的狀態(tài)。如果學(xué)生不能夠創(chuàng)造新的圖式或者舊的圖式?jīng)]有被很好地修改，那么新知識(shí)就沒(méi)有被學(xué)生吸收，也就沒(méi)有順應(yīng)的過(guò)程。同化實(shí)際上是主體能夠利用已有圖式或者認(rèn)知結(jié)構(gòu)把刺激整合到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。順應(yīng)就是結(jié)構(gòu)受到了它所同化元素的影響而發(fā)生了改變。換言之，同化即將客體納入主體已有的圖式之中，引起圖式的量變;順應(yīng)即當(dāng)主體的圖式與客體發(fā)生沖突時(shí)，就調(diào)節(jié)原有的圖式，創(chuàng)立新的圖式，從而引起質(zhì)變。最后，個(gè)體在與外界環(huán)境的不斷接觸中，通過(guò)同化和順應(yīng)兩種變化來(lái)達(dá)到某種相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，即平衡狀態(tài)。學(xué)生自身未能實(shí)現(xiàn)同化的，出現(xiàn)各式各樣的誤解或者錯(cuò)誤，這正是教師教學(xué)需要下功夫之處。

2.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見(jiàn)錯(cuò)誤及成因分析

學(xué)生解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見(jiàn)錯(cuò)誤有數(shù)量關(guān)系分析不得當(dāng)、誤判單位“1”、分量與分率理解不到位、量率不對(duì)應(yīng)、計(jì)算等導(dǎo)致錯(cuò)誤等，具體分析如下。

（1）數(shù)量關(guān)系分析不得當(dāng)

例題1：有兩包糖，甲包比乙包多千克，如果從乙包中取出千克放入甲包，這時(shí)甲包比乙包多多少千克？

是沒(méi)有仔細(xì)分析清楚數(shù)量關(guān)系，憑借直覺(jué)簡(jiǎn)單的對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加;學(xué)生感知到兩個(gè)分?jǐn)?shù)，但僅僅感知了兩個(gè)分?jǐn)?shù)，沒(méi)有理解數(shù)量關(guān)系背后的意義。即感知到了數(shù)字，沒(méi)有感知到問(wèn)題情境的真實(shí)含義。在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生沒(méi)有理解清楚從乙包中取出五分之一放入甲包，并非僅僅意味著甲包增加了，還有一個(gè)情況是乙包也面臨減少了五分之一，學(xué)生頭腦中已有的圖式未被準(zhǔn)確的同化、順應(yīng)、平衡，于是出現(xiàn)了錯(cuò)誤，此題正確答案是，，所以甲包比乙包多，為了提高小學(xué)生的認(rèn)識(shí)以及正確率，此題可以通過(guò)畫(huà)圖的方式給小學(xué)生演示甲包、乙包取出和放入的過(guò)程。

（2）誤判單位“1”

例題2：一臺(tái)電腦5000元，先降價(jià)，再漲價(jià)，小紅說(shuō)：這臺(tái)電腦現(xiàn)價(jià)與原價(jià)相等。小明說(shuō)：這臺(tái)電腦低于原價(jià)。誰(shuí)說(shuō)的對(duì)？現(xiàn)價(jià)是多少元？

學(xué)生的錯(cuò)誤答案是小紅對(duì)，現(xiàn)價(jià)和原價(jià)相等。此題從直覺(jué)角度看，兩個(gè)十分之一會(huì)給人一種誤解，誤認(rèn)為是一樣多。另外，從學(xué)生已有的整數(shù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，如果題目改為一臺(tái)電腦5000元，先降價(jià)500，再漲價(jià)500元，問(wèn)現(xiàn)價(jià)與原價(jià)之間的關(guān)系，那么這樣是一樣多的。學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤的原因還有一種可能是，已有的圖式在遇到新情況時(shí)不能被很好同化與順應(yīng)，也就是學(xué)生意識(shí)到了此題的情況與整數(shù)情況是不同的，但是無(wú)法找到變化后的單位“1”，于是做出了錯(cuò)誤的判斷。正確的解法是：兩次單位“1”不同。第一次的單位1是5000元，第二次的單位“1”是5000×（1-）=4500元，所以，4500×（1+）=4950，4950<5000，所以小明說(shuō)的對(duì)。

（3）分量與分率理解不到位

例題3：兩根同樣長(zhǎng)的繩子，從第一根截取它的，從第二根上截取米，余下部分哪個(gè)長(zhǎng)？

學(xué)生的經(jīng)典錯(cuò)誤答案是認(rèn)為兩條繩子余下的部分是一樣長(zhǎng)的。學(xué)生已有的整數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)表明，如果此題改為兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截取3米，第二根上截取3米，剩下的部分哪個(gè)長(zhǎng)？如果改為這樣的題目，兩根繩子余下的一定是一樣多的，但是如果是分?jǐn)?shù)，雖然分?jǐn)?shù)都是，但是一個(gè)表示分率，一個(gè)表示分量，量是有單位的，率是沒(méi)有單位的，學(xué)生出錯(cuò)是因?yàn)槭艿搅艘延兄R(shí)經(jīng)驗(yàn)的影響;還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了和米之間的區(qū)別，但是因?yàn)槲茨茼樌倪M(jìn)行同化和順應(yīng)，不知道此題應(yīng)該如何下手分析，即整數(shù)經(jīng)驗(yàn)的圖式在新的問(wèn)題情境下已不適用了，需要修改圖式以適應(yīng)新的問(wèn)題情。所以正確的答案是兩根繩子無(wú)法比較，從情感角度來(lái)看，小學(xué)生更希望做出具體答案，比如，第一根長(zhǎng)、第二根長(zhǎng)或者同樣長(zhǎng)，學(xué)生更不愿意選擇無(wú)法比較這樣的選項(xiàng)。為了準(zhǔn)確的做出判斷，通常會(huì)用設(shè)數(shù)的方法來(lái)解答此題，設(shè)繩子長(zhǎng)1米和7米進(jìn)行分析判斷。

（4）量率不對(duì)應(yīng)

例題4：一輛車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，如果把車(chē)速減少，那么要比原定時(shí)間遲到1小時(shí)到達(dá)，如果以原始行駛180千米，再把車(chē)速提高，那么可以比原定時(shí)間早1小時(shí)到達(dá)。甲、乙兩地之間的距離是多少千米？

此題是小升初考試的一道原題。學(xué)生處理此題時(shí)，能夠正確計(jì)算第一種情況下原定時(shí)間1÷×（1-）=9小時(shí)，或者計(jì)算V原：V現(xiàn)=10：9，T原：T現(xiàn)=9：10;第二種情況中，V原：V剩現(xiàn)=5：6，T原：T?，F(xiàn)=6：5，學(xué)生的錯(cuò)誤在于用180對(duì)應(yīng)的是先行的路程，而前邊討論的剩下部分的速度和時(shí)間問(wèn)題，所以，不能用量“180”除以率，量率是不對(duì)應(yīng)的，如果此題教師講解后學(xué)生仍找不到量率對(duì)應(yīng)關(guān)系，教師可以通過(guò)畫(huà)圖的方式輔助學(xué)生理解。

（5）逆向思維

例題5：孫悟空從山上采回一堆桃子，打算四天吃完，第一天吃了全部桃子的又3個(gè)，第二天它吃了剩下桃子的又2個(gè)，第三天吃了這時(shí)剩下的又一個(gè)，第四天正好只能吃1個(gè)。孫悟空從山上采回了多少個(gè)桃子？這道題目是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中非常經(jīng)典的一道題，通常學(xué)生習(xí)慣于正向的數(shù)量關(guān)系來(lái)分析，嘗試列方程解應(yīng)用題，但是，列式過(guò)于復(fù)雜，計(jì)算量過(guò)大導(dǎo)致各式各樣的錯(cuò)誤。當(dāng)然，學(xué)生拿到之后會(huì)感到無(wú)從下手，即頭腦中已有的圖式不足以分析解答孫悟空采桃子的問(wèn)題。這道題和以往的題目不同的是，要逆向思維從第四天開(kāi)始分析，倒推第三天、第二天、第一天最后求出所有的桃子總量。（1+1）÷（1-）=4（個(gè)） 4+2=6（個(gè)） 6÷=9（個(gè)） 9+3=12（個(gè)） 12÷=16（個(gè)）

學(xué)生在初學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題會(huì)出現(xiàn)各式各樣的錯(cuò)誤，教師可把學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行收集、歸納、分類、整理，分析，真正實(shí)現(xiàn)“預(yù)測(cè)錯(cuò)誤—辨別錯(cuò)誤—解釋錯(cuò)誤—應(yīng)用錯(cuò)誤?！鳖A(yù)測(cè)錯(cuò)誤是在學(xué)生未發(fā)生錯(cuò)誤之前，教師進(jìn)行的預(yù)判，出現(xiàn)錯(cuò)誤之后，教師需要辨別錯(cuò)誤，呈現(xiàn)錯(cuò)誤，澄清誤解，修正錯(cuò)誤，解釋?xiě)?yīng)用，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“誤”到“悟”的轉(zhuǎn)變。

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