建構數學模型　促進學生發展

黃天配

乘法分配律是小學數學中非常重要的運算律，有的學生在課堂上懂得觀察、比較、發現規律，但在實際應用中卻常出錯。本文以北師大版四上“乘法分配律”為例，談談如何在教學中引入幾何模型支撐，滲透模型思想，使抽象的數學知識變得“可見”，促進學生的數學理解。

一、借助幾何直觀，豐富數學模型的表象建構

小學生的思維以直觀形象思維為主，在教學中借助圖像或幾何圖形，通過引導學生對直觀的“形”的觀察、思考、分析、比較，可讓他們在感知數學模型的同時，為后續模型的建立積累豐富的素材。

例如，許多教師從乘法分配律的外形特征出發，借助情境的創設，展示多個有其特征的等式，再引導學生觀察這些等式，發現其相似之處，再利用不完全歸納方法抽象出乘法分配律。這樣的教學重外形記憶，輕本質理解，學生往往只知其然，而不知其所以然。筆者在教學“乘法分配律”時，創造性使用教材，以三個遞進的情境切入：

（1）現實原型：學校為學生購買運動服，上衣需45元，褲子35元，5套運動服需要多少元？

（2）幾何模型：計算兩個場地總面積。

（3）點子圖形：計算排隊的總人數。

在第一個情境中，筆者先讓學生獨立思考、交流得出：①（45+35）×5，45+35表示先求一套運動服的錢，再乘5表示5套運動服的錢。②45×5+35×5，先求5件上衣和5條褲子各多少錢，再相加，也能得出5套運動服的總價。

在第二個情境中，學生觀察交流后，表達出各自不同的想法：12×6+8×6和（12+8）×6。筆者接著讓他們結合示意圖說一說兩道算式有什么相同點和不同點。學生在交流中得出：12×6是左邊長方形的面積，8×6是右邊長方形的面積，再把兩個長方形的面積相加，就是大長方形的面積。（12+8）×6是把大長方形看成一個整體，12+8表示大長方形的長，再乘寬就得到了大長方形的面積，也就是說方法不同，但結果相同。

在第三個情境中，筆者讓學生觀察隊形圖，并討論交流能否用8×6+5×6和（8+5）×6這兩個算式來解決。最后，再引導學生觀察、對比三個算式：（45+35）×5=45×5+35×5，（12+8）×6=12×6+8×6，8×6+5×6=（8+5）×6。讓學生結合情境說一說三個等式有什么相同點和不同點，引導學生發現等式的結構特征。

筆者以三個遞進的教學情境為切入點，以“5套衣服多少錢（現實模型）—長方形面積（幾何模型）—點子圖形”等素材為載體，讓學生對乘法分配律的學習有了“圖”的支撐，學生容易將“分開算”和“合起來算”這兩種思路建立起聯系，再運用乘法的意義結合“點子圖”進行解釋。這樣的學習，學生經歷了從具體問題到類比推理，再到感知模型的過程，從“形”到“義”，實現了在思維層面上的逐步抽象，并積累相關的感性經驗，豐富學生對于乘法分配律的模型特征的感知與建構。

二、依托探究過程，經歷數學模型的抽象建構

抽象性是數學學科的一個重要特征，讓學生學會以數學的方式進行思考，首要的就是讓學生學會數學抽象，而從問題的現實情境過渡到抽象的數學模式是學生學會數學抽象的關鍵。教學中，只有引導學生對數學問題進行對比分析，讓學生充分感知、體驗知識的形成過程，才有利于學生把握數學問題的本質。

在學生初步感知乘法分配律的模型特征的基礎上，筆者提出：“你能寫出幾組像這樣的式子嗎？”學生交流并舉例：（5+4）×2=5×2+4×2、（40+60）×5=40×5+60×5……接著，筆者讓學生不計算，用乘法的意義解釋左右兩個算式是相等的，讓學生再次經歷從“具體事物—個性化符號表示—數學化表示”這一逐步符號化的過程，經歷模型的抽象建構。在此基礎上，筆者提出：“這么多算式，你能只用一個算式表示出所有的等式嗎？”引導學生交流并統一字母式：（a+b）×c=a×c+b×c，最后再引導學生回顧前面的“場地面積”，讓學生說一說這里的a、b、c分別代表什么，除了能表示長方形的長與寬，還能表示什么？學生各抒己見：可表示任意一個自然數，也可表示任意一個數……筆者最后再適時小結：“像這樣相等的式子其實我們以前也有接觸過。”然后課件出示以下圖片，讓學生交流圖中的內容，從中找出乘法分配律。

（2）長方形的周長：（長+寬）×2=長×2+寬×2。

在這一教學過程中，讓學生通過舉例來驗證與說理，感受到用數字表示的局限性，從而產生新的需求，學生經歷了從實際問題過渡到抽象概括的探索過程，這時用字母表示乘法分配律也就水到渠成了。緊接著適時出示舊知，引導學生進行回顧，溝通知識之間的內在聯系，使之形成一個有機整體，更是把學生的認知再次推向深入，學生的數學認識從“具體經驗”提升到“理性層面”，深化了學生對數學知識的本質理解。

三、深入辨析內化，充盈數學模型的本質建構

教學時，我們常常會忽視學生對乘法分配律“最本質”意義上的理解，只關注外在變化的“形”，而忽視對內在不變的“理”的探究。因此，在教學中需要借助問題情境，引導學生深入辨析，這樣才能既及時檢測學生對分配律的理解，又讓學生在豐富的鞏固拓展中充分感知模型思想，從而不斷完善對乘法分配律本質特征的理解。

如在學生對乘法分配律有了一個初步的理解后，筆者接著課件出示：

（1）請填寫完整算式：8×（125+9）=8×（ ）+8×（ ）;7×（+）=7×48+7×52。

（2）辨一辨：（7+3）×8〇7×8+4×8，這兩個算式得數相等嗎？調整兩個算式中的哪個數等式就能成立？

（3）想一想：（103-3）×8〇103×8-3×8，乘法分配律在減法中可以適用嗎？

在第一題中，學生作答并交流后，筆者接著提出：“你會用哪種方法進行計算？”學生交流得出：前一道題用8×125+8×9，后一道題用7×（48+52）計算比較簡便。最后筆者再適時小結：有時合著算比較好算，有時分開算比較好算，看來，乘法分配律能夠使計算簡便。隨后通過辨一辨、想一想的交流活動，學生對分配律的本質與非本質特征得到進一步的理解與強化。第三道題適時地類推“求和-求差”問題，既溝通了乘法與加減法之間的聯系，又使減法中同樣適用乘法分配律這一知識潤物細無聲地得到滲透，并使乘法分配的基本模型再次“生長”，進一步建構對其規律的本質理解。

（作者單位：福建省晉江市東石鎮金山小學）