基于意義聯結，助推思維進階

劉霞

一、思維生長點：從計數走向計量，幾何直觀支撐計數單位到計量單位的轉換

三年級學生的思維能力處于從具體到抽象過渡的初期，也是思維進階的轉折點，此時幾何直觀更有利于學生進行知識的關聯溝通。設計如下的對比體驗素材，讓學生經歷關聯教學過程，鍛煉思維能力。

【題組1】

問題：一共有多少個雞蛋？（圖略）先估一下，再寫出算式，用豎式幫助解答。

追問1：為什么列出乘法算式？

追問2：擺豎式的時候，先算的是什么，再算的是什么？（豎式略）

追問3：結合圖形說一說你對這個乘法算式意義的理解。

追問4：13、22分別表示什么，286表示的是什么？

追問5：3×22=66和10×22=220分別表示什么？請在圖上圈出來，并說一說。

【題組2】

問題：這個盒子的面積是多少？（圖略）請寫出算式，并借助豎式解答。

追問1：為什么列出乘法算式？

追問2：擺豎式的時候，先算的是什么，再算的是什么？（豎式略）

追問3：你能結合圖形說一說對這個乘法算式意義的理解嗎？

追問4：一個小正方形的面積是多少？13指的是什么？22指的是什么？286表示的是什么？

追問5：3×22=66和10×22=220分別表示什么？請在圖上圈出來，并說一說。

對比追問：不變的是什么，變的是什么？

兩份對比素材，分別是點狀的雞蛋圖和面狀的格子圖。每份素材設計相似的問題，每個問題都承載了各自的設計意圖。追問1：倒逼學生思考乘法的意義和本質，從乘法意義的角度進行思考，一個是計數單位的累加，一個是計量單位的累加，都是求積的過程。追問2：從意義出發關聯算理。追問3：被動思維呈現，評價學生的理解程度。追問4：對比體驗，一個表示的是計數單位的個數，一個表示的是計量單位的個數，建立知識的關聯點。追問5：深度挖掘豎式計算在不同情境中所承載的不同意義。對比追問：在思考變與不變中，體驗計數到計量的聯結點。

上述問題的引導要達成兩個層次的目標。第一層次：乘法運算意義與算理的進一步理解溝通;第二層次：體驗變與不變。不變的算式，變的是單位和具體問題承載的意義。從熟悉的計數問題到不熟悉的計量問題，讓知識找到生長的土壤，促成思維在溝通關聯中發展。

二、思維拔節點：從意義走向圖式，任務驅動探究兩位數乘兩位數的分與合

思維的發展是縱橫交錯展開的，在縱向打通計數和計量的聯結點后，橫向拓展練習恰是思維生長的拔節點。首先設疑“這個圖式你可以看懂嗎”（圖1），給學生鍛煉思維的空間。承接此任務，再設計三個層次的探究性任務。

第一層次，操作載體為點狀雞蛋圖，設計兩個問題，先是由圖到式（圖2），讓學生從圖上去發現一個乘法算式基于意義可以分成哪兩部分。再由式到圖（圖3），讓學生主動構建分的方法，然后在分的基礎上，得出分的圖式。兩個問題承載不同的思維含量。第二層次，操作載體為面狀長方形圖（圖4），從點狀圖到面狀圖，問題雖然一樣，但思維層次有著很大的跨越。第三層次，操作載體為抽象的圖式，意在培養學生們的抽象概括能力。拋出問題“你能有序地對這個算式分一分嗎？”（圖5）從圖到式，再圖式聯合，最后到抽象的圖式，這樣的進階讓學生的思維有所倚靠又有所發展。

從第一次以雞蛋圖為載體的點狀探究到以長方形為載體的面狀探究，再到基于圖式的抽象概括，學生經歷了從模型初探、模型再探到模型建立的過程，是一次深度學習的過程。

三、思維綻放點：從圖式走向問題，問題解決疏通兩位數乘兩位數的意義

高階思維的養成需要訓練學生思維的靈活性和敏捷性。具體表現為能迅速地對具體問題做具體分析，采取靈活的方法來思考問題。本課后續教學以前面的圖式分解為基礎，在意義思辨、圖式思辨和批判思辨中，培養學生形成解決問題的策略，達成思維的綻放。

問題：欣欣農場里有一片蔬菜種植區，它的長和寬剛好是1、2、6、8四個數字組成的兩個兩位數，且這兩個兩位數的乘積最小，請幫忙找到它的長和寬。

意義思辨：基于乘法意義或是乘法算式乘積的特點，可以得出兩種可能，分別為16×28和18×26。

師：請想一想，第一步我們要做什么？可以得到什么？

生1：可以根據乘法的意義，先把最小的數字放在十位，另外的兩個數字分別放在個位，然后再計算比較。

生2：也可以根據我們前面探究的規律——和相等，差越小，積越大。

這一環節考查學生們是否養成遇到問題逐步思考的好習慣。學生根據乘法算式的意義想到第一步對策，先將兩個最小的數字1和2，分別放在兩個數的十位。

圖式思辨：在乘法意義深刻建構的基礎上，結合圖形對兩個算式分別進行分解，判斷出乘積的大小。

問題：16×28、18×26兩個算式乘積的大小，不借助豎式計算，可以判斷出它們乘積的大小嗎？

師：請觀察格子圖中的兩個圖形，比較16×28、18×26兩個算式乘積的大小，并完成填空。（格子圖略）

直接將兩組數據對應的圖形畫在格子圖中，留給學生足夠的思考時間，讓他們先根據圖形得出結論，再來完成分一分，降低他們思考的難度。此環節要讓學生們通過觀察格子圖得出，兩個長方形有一部分是重疊的，所以只要比較未重疊部分就可以得出結論。接著，再引導學生完成從格子圖到算式的分解，使圖與式對應（圖6，格子圖略），讓算理與算法融合。

批判思辨：兩個數的和不相等時，不能基于“周長相等，長和寬相差越小面積越大”的規律得出答案，但基于乘法意義進行分解的方法可行。

問題：欣欣農場計劃建造一個游樂區，有兩種方案，請你幫忙選出面積最大的方案。方案一為長72米，寬33米;方案二為長71米，寬34米。

師：這題還能用規律解決嗎？試試看。

師：可以用什么方法解決？（方法如圖7所示）

從周長相等到周長不等，培養學生借助學過的知識，批判性地思考問題，不拘泥于固定的形式和結論。三次思辨，三次成長，在問題鏈的引導下，促成學生的高階思維在不斷思辨中成長。

（作者單位：浙江省杭州市富陽區靈橋鎮中心小學本專輯責任編輯：王彬）