非線性項變號的分數階微分方程的邊值問題

閆璐

摘 要 首先，介紹了非線性項變號的分數階微分方程邊值問題解相關的定義及重要引理。討論Caputo型非線性項變號的分數階微分方程邊值問題解的存在性以及利用Green公式求邊值問題的解;最后，對該問題上一些理論進行推廣與展望。

關鍵詞 Caputo型非線性項分數階微分方程 Green函數

中圖分類號：O175.8文獻標識碼：A

0引言

近年來，分數階微積分在物理學領域的量子力學方面和固體力學方面應用、環境力學領域諸多涉及反常擴散的問題、在黏彈性材料的本構關系研究領域中應用;信號處理領域、天氣預報領域、生物醫學領域、地震奇異性分析領域等。

非線性分數階微分方程邊值問題是目前一個重要的研究方向。二十世紀以來，針對分數階非線性微分方程邊值問題的主要工具有：Green函數、Laplace變換、上下解法、Adomian分解方法、Schauder不動點定理、Guo-Kransnoselskii不動點定理法、Banach不動點定理、Leggett-Williams不動點定理等。

本文考慮Caputo型分數階非線性微分方程的邊值問題，

1預備知識

引理（一）：Green函數滿足下面三個條件：

（1）對任意的，;

（2）;

（3）。

則稱為分數階微分方程的Green函數。

這里是一些R-L型分數階算子的線性形式。

引理（二）：設函數定義在區間上，則其階左Caputo型分數階導數的Laplace變換公式為：

，。

引理（三）：如果滿足：任意的常數，存在，屬于所有實數，則滿足，且，那么在區間上存在唯一解。

引理（四）：令，如果，則分數階微分方程。

有唯一解，，，其中

2主要結果

考慮線性項變號的分數階微分方程的邊值問題

（1）

定理（一）：分數階微分方程（1）在（0，1）上取值，那么方程（1）的唯一解可表示為：，

其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

證明：微分方程（1）的解

，

將邊值條件代入上式，

，。因此，微分方程（1）的唯一解可表示為：

定理（二）：根據以上定理，下面我們給出兩邊邊值Green函數具有的性質：

（1）;

其中

（2）;

其中

定理（三）：Caputo分數階微分方程式兩點邊值問題：

（2）

當，（2）式的解為，其中

例1：求解分數階微分方程的邊值：

（3）

解：該方程的解可表示為：，其中，

代入方程（3）

（下轉第277頁）（上接第225頁）

求出方程（3）邊值問題解為：

例2：求解分數階微分方程的邊值：

（4）

解：該方程的解可表示為：，，其中，

則，

由已知，，，從而

于是，所求Caouto型分數階微分方程（4）邊值問題的解為：

基金項目：2018年陜西省教育廳科研計劃項目資助（項目編號：18JK0987）。

參考文獻

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