考慮二階發電機模型的非線性水輪機調節系統動力學分析

曹林寧，吳道科，李 兵，張 赫

(1.河海大學能源與電氣學院，南京210098；2.安徽績溪抽水蓄能有限公司，安徽 績溪 245300)

0 引 言

水輪機調節系統實質上是一種非線性非最小相位系統，涉及水力、機械和電氣等諸多非線性因素[1, 2]。作為水電站整體結構中的一個關鍵部分，水輪機調節系統的穩定性問題引起水電行業內的眾多關注，關系到發電機組甚至是所在電網的安全運行[3, 4]。以往的線性控制理論可近似處理水力發電機組小波動分析情況，但是當系統處于較大擾動時則需要采用更貼近實際的復雜非線性水輪機調節系統。Hopf分岔作為非線性系統動態特性中的一種重要分岔問題，在電力系統的分岔與混沌問題等非線性動力學研究中得到廣泛應用[5-7]。1992年IEEE在單機單管無調壓室基礎上提出了一種非線性水輪機調節模型[8]；凌代儉等則將Hopf分岔理論應用到非線性水輪機調節系統中，得到了系統關于PID控制參數的穩定域并為水電站中的低頻振蕩問題提供了一種合理解釋[9, 10]；陳帝尹、把多鐸等建立了復雜管系和帶簡單調壓室的水輪機調節系統模型，并以調速器參數進行非線性動力學分析[11, 12]；張醒、曹春建等建立了考慮分數階PID調速器模型的水輪機調節系統并對其進行穩定性分析[13, 14]；郭文成、楊建東等則基于變高頂尾水洞模型建立非線性水輪機調節系統并對該系統進行Hopf分岔分析[15]。這些研究中大都關注于引水管道和水輪機部分的非線性特性，對于發電機部分往往僅考慮其轉動慣量而選擇采用簡單一階模型從而忽略了發電機非線性本質的影響。為了進一步的體現水輪發電機調節系統的非線性特質，本文在考慮彈性水擊和非線性水輪機特性的基礎上，引入發電機轉子二階動態模型，綜合考慮了水輪發電機調節系統各個方面非線性因素的影響，建立了一個全新的非線性水輪發電機調節系統模型，并運用Hopf分岔直接判據結合數值模擬分析了不同調速器PID參數下的水輪發電機調節系統動態特性。

1 非線性水輪機調節系統建模

本文建立的非線性水輪機調節系統模型結構如圖1所示，其中水輪機、引水系統和發電機及負載部分均采用非線性方程表示。根據水力學知識，不論是水體本身還是管道都是具有彈性的，所以當引水管道較長時，需要考慮彈性效應對水輪機調節系統的動態性能產生的影響。本文采用的彈性水擊模型中，有壓過水系統的傳遞函數為非線性雙曲正切函數：

Gh(s)=-2hwth(0.5Trs)

(1)

式中：hw為引水管道特性系數；Tr為水擊相長。

為了便于研究，將上式泰勒展開并忽略高階次數項得：

(2)

將上式改寫成微分方程式：

(3)

用狀態空間式表示為：

(4)

且有：

(5)

對于混流式水輪機，通常可以用含有六個傳遞系數的式子來表達其動態特性：

(6)

在線性水輪機模型中一般認為上式中六個傳遞系數為常數，本文采用的非線性水輪機模型中將這六個傳遞系數改寫成非線性表達式[16]：

(7)

式中：eym、eqym、eωm、eqωm、ehm和eqhm可由水輪機力矩特性求得。

將式(6)中的第二式兩邊同時對時間求導并結合式(5)可得：

(8)

對于發電機部分，本文采用一個發電機轉子二階動態模型，該模型在研究機電聯合過渡過程和電磁暫態過渡過程中被廣泛使用，模型如下：

(9)

式中：δ為發電機轉子的角度；ω為發電機轉速相對偏差值；ω0=2πf0；D為發電機阻尼系數，取值范圍一般在0～3.0；Tab為機組慣性時間常數。

若在發電機阻尼系數中考慮轉速變化對力矩的影響，則可以近似認為發電機電磁功率和電磁力矩相當，即：

me=Pe

(10)

其中電磁功率為：

(11)

液壓隨動系統動態特性為：

(12)

式中：Ty為接力器反應時間常數；u為調節器輸出。

本文考慮實用并聯PID型水輪機調速器，其輸出形式為：

(13)

式中：r為水輪機調節系統轉速(頻率)參考輸入；kp、ki、kd分別為比例、積分和微分增益。

假設r=0，即在不考慮頻率擾動情況下研究非線性水輪機調節系統動態特性，則式(13)可改寫為：

(14)

綜合式(4)～(14)，得到本文的六維水輪機調節系統非線性模型為：

(15)

2 數值模擬分析

2.1 六維自治系統Hopf分岔直接判據

λ6+p5λ5+p4λ4+p3λ3+p2λ2+p1λ+p0=0

(16)

如果當v=v*時有：

(1)Δi>0(i=1,2,3,4)，Δ5=0，式中Δi(i=1,2,3,4,5)為該特征方程的Hurwitz行列式；

(2)k02UZ≠VW，其中：

(17)

則當|v-v*|充分小時，該系統將會在v*的某一側出現Hopf分岔現象。利用該直接判據分析本文提出的六維非線性水輪機調節系統隨PID控制參數變化的分岔特性以及穩定性。

2.2 系統穩定域分析

將以上數值代入式(15)并在平衡點x=(0;0;0;0;0;0)處求取系統的雅可比矩陣(該矩陣過于繁冗此處暫不列出)，該雅克比矩陣對應的特征方程式各項系數如下所示：

(18)

根據六維Hopf分岔直接代數判據可以得到系統發生Hopf分岔時調速器PID參數kp、ki、kd臨界值所構成的空間曲面。為方便分析，現將其投影到二維平面上觀察。如圖2所示，即為在kp-ki平面上不同kd取值時分岔臨界點所構成的曲線。

圖2 不同kd取值下系統分岔臨界點構成的曲線

通過計算該非線性系統在分岔點處的曲率系數β2<0可知此時分岔為超臨界Hopf分岔。對于超臨界Hopf分岔，在分岔參數v-v*>0時將會出現穩定極限環而當分岔參數v-v*<0時系統則穩定。根據圖2可知：在分岔臨界點構成的分岔曲線內側即為系統穩定域，此時的平衡點是一個逐漸穩定的平衡點，而在分岔曲線外側的附近范圍系統將收斂至穩定極限環。當調速器的PID參數從穩定域穿過分岔曲線至極限環區域時，系統就會產生Hopf分岔。從圖2還可以看出，當系統參數kd逐漸增加時，系統的穩定域范圍也會增大。這說明微分增益增加能夠在一定程度上提高系統穩定性，原因是微分環節具有超前調節功能，能夠有效的抑制誤差變化。

2.3 系統Hopf分岔分析

圖3 ki=0.2時系統分岔臨界點構成的曲線

對系統(15)用ode45函數進行數值求解并采用局部最大值法作出系統狀態變量分岔圖。如圖4所示，圖中縱坐標選擇水輪機調節系統轉速偏差相對值ω來觀察系統分岔特性，橫坐標即為分岔參數kd。

圖4 機組轉速ω隨kd變化的分岔圖

在圖3所示的PD平面上選擇幾個不同位置的點，分析無頻率擾動非線性水輪機調節系統轉速時域響應和相軌跡變化。當kp=6、ki=0.2，分岔參數kd=5時，系統的狀態變量時域響應和相軌跡圖如圖5所示，從圖5中可以看出系統在經過一段時間后最終收斂到平衡點位置，表示在此PID調速器控制參數下的非線性水輪機調節系統的穩定性較好，在系統受到擾動時能夠在一定時間內重新達到穩定狀態。

圖5 穩定域內系統動態特性

當分岔參數取kd=6.5時，系統的狀態變量機組轉速時域響應和相軌跡圖如圖6所示，機組轉速最終處于等幅振蕩的狀態，而系統相軌跡也將收斂至穩定極限環。

圖6 極限環時系統動態特性

2.4 系統混沌特性分析

從圖7所示的分岔圖可以看到，當分岔參數kd在超過分岔臨界值而繼續增大時，系統狀態變量會經歷Hopf分岔、倍周期分岔直至混沌的變化過程。選擇參數kp=6、ki=0.2、kd=8.5時分析機組轉速時域響應和系統相軌跡曲線如圖8所示。從圖8中可以看到，當非線性水輪機調節系統進入混沌狀態后，系統不再收斂至穩定狀態而表現出復雜的動態特性，從相軌跡曲線看，系統雖然保持在一定的范圍內運動但是在局部區域卻又表現出嚴重的無序性，說明系統此時是不穩定的，所以在電站實際運行中需要防止調速器參數處于混沌區域從而提高水輪機調節系統在大小波動過渡過程中的穩定性，避免事故的發生。

圖7 混沌區域系統分岔圖

圖8 混沌區系統動態特性

混沌現象體現了非線性系統中類似隨機的復雜狀態，隨著時間的推移系統表現出不可預測性，即系統的演變過程對于初始狀態異常敏感。如圖9所示，選擇用機組轉速相對偏差ω作為系統狀態變量來觀察混沌區域系統的初值敏感性。選用兩組區別很小的系統初值(0.01,0.01,0.01,0.01,0.01,0.01)和(0.01,0.01,0.01,0.01,0.0101,0.01)進行時域響應分析，結果顯示即使很小的初值變化也會導致機組轉速隨時間變化的巨大差異。

圖9 初值敏感性分析

3 結 語

本文在考慮引水管道和水輪機非線性因素的基礎上，引入發電機轉子二階動態模型同時忽略系統頻率擾動，從而建立了一個完整的六維水-機-電聯合非線性調節系統，該非線性水輪機調節系統相較于一般的線性水輪機調節系統能更好地體現出水輪機調節系統的復雜特性，對電站實際運行具有更優的指導和參考價值。文中選擇以常見的PID調速器參數為控制參數，利用六維非線性系統Hopf分岔直接判據得到了能使該系統穩定運行的參數范圍即系統穩定域，并通過分岔圖以及系統動態仿真表明隨著PID參數逐漸超出分岔點，系統的拓撲結構將會發生變化，原本漸進穩定的非線性水輪機調節系統會出現等幅振蕩甚至是嚴重失穩的現象。因此，為了提高非線性水輪機調節系統運行的穩定性和避免機組振蕩問題的發生，控制參數的選擇應盡量遠離分岔點。

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