課改20年小學數學統計與概率教學的發展研究

張 沖，尚鷹飛

（1.長春吉大附中力旺實驗小學，吉林長春130000；2.東北師范大學附屬實驗學校，吉林長春 130000）

2001年，《全日制義務教育數學課程（實驗稿）》（以下稱2001版《課標》）首次將“統計與概率”作為獨立課程內容納入義務教育階段課程標準，這標志著“統計與概率”成為義務教育階段數學教學內容的一個獨立領域。

一、我國小學數學統計與概率教學的發展歷程

（一）基于“雙基”的“統計觀念”教學開創階段（2001—2010年）

2001版《課標》開創性地將“統計與概率”作為獨立的教學內容編入了義務教育階段課程標準，并提出以發展“統計觀念”為核心的教學理念。

1.“統計觀念”下統計與概率認知發展水平的研究

隨著研究的深入，國內外學者逐漸將目光投向概率認知和統計認知領域，統計與概率教學研究與改革方興未艾。

（1）概率認知發展水平的研究

近20年來，國內學者對于概率認知領域開展了多角度、深入細致的研究。在“概率概念錯誤認知”“概率認知發展水平”“概率認知特點”“概率認知策略”等研究問題上取得了一些成果。

李俊（2003）作為早期關注學生概率認知特點的專家，較為系統地給出了概率認知的發展框架，其研究在一定程度上填補了我國這一領域的空白，對編制課程、指導教學、評價學生具有直接的參考價值。后有學者進一步探究了低學段概率認知領域方面的特點［1］。

（2）統計認知發展水平的研究

這一時期，統計認知研究在國內剛剛起步，多數是圍繞某些統計概念的理解展開，而關于小學生認知發展階段、認知發展水平的研究并不多見，對認知特點、認知策略領域的研究較少。有學者建立了數據分觀念發展水平的框架，但是其維度劃分的科學性、有效性還未經過大規模檢驗。

巴桑卓瑪（2006）以“中小學生對統計的認知水平”為主題進行了相關研究［2］，比較系統地研究了學生因為學習統計而產生的差異，為后續研究留下了重要的研究方向。

2.“統計觀念”下課程標準的制定

2001版《課標》在繼承原有大綱的教學指導思想的同時，對“統計初步知識”的教學框架做出了重大改革［3］，引入了“可能性”的內容，明確提出“統計觀念”并界定其內涵，強調要讓學生經歷完整的統計過程［4］。“可能性”的加入和“統計觀念”的提出標志著“統計與概率”成為義務教育階段數學教學內容的獨立領域，它與“數與代數”“圖形與幾何”“綜合與實踐”共同組成了義務教育階段的四大教學內容。

3.“統計觀念”下教材內容的編排

2001版《課標》總體目標指出，“統計與概率”的內容主要研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象，通過對數據收集、整理、描述和分析以及對事件發生可能性的刻畫，來幫助人們做出合理的推斷和預測。

我國教材主要采取螺旋式和直線式兩種組織形式進行編排。統計教學內容作為獨立單元被編排在教材中，統計知識學習也較低齡化和過程化，一至六年級每學期均涉及統計學習內容。從教學內容結構可以看出，統計教學內容設計有一定彈性，并引導學生對數據進行分析，滲透函數的思想，凸顯圍繞落實教學“雙基”的內容進行編排的特點。

4.“統計觀念”下教學策略的選擇

21世紀初，教學理念的主流是“回歸兒童生活”，史寧中（2008）強調“統計與概率”的教學內容要與日常生活相結合才能得到良好的教學效果，發展數據分析觀念才是這部分內容的教學核心［5］。2001版《課標》指導下的教學實踐關注結合生活情境培養學生初步的統計意識和解決簡單問題的能力。

鞏子坤、宋乃慶（2006）提出要處理好活動性與思辨性的關系，可以通過大量的重復試驗讓學生體會頻率的穩定狀態——概率［6］。鮑建生和周超（2009）參考眾多文獻總結得出：首先，許多專家學者認為，統計與概率的內容可以較早地進入中小學課程；其次，教師在課堂中應該多采用實驗方法，使學生體會統計與概率的意義；第三，要強調直覺的作用；第四，要讓學生自己去收集真實的數據，而不是僅僅分析現成的數據；第五，要合理地利用計算機及信息技術［7］。張丹（2010）提出：發展學生的統計意識要鼓勵學生有效地從數據中提取信息，體會數據蘊涵的信息，體會數據的隨機性。重視應用貼近生活、強調學生經歷完整的統計過程，進而培養學生的統計觀念是專家學者的共識［8］。

（二）基于“四基”的“數據分析觀念”教學探索階段（2011—2017年）

經歷了10年的實驗與探索后，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱2011版《課標》）延續了“統計與概率”領域的改革，同時將“統計觀念”改為“數據分析觀念”。課標中添加的“基本思想”“基本活動經驗”豐富了原有“雙基”的概念，為統計與概率的教學與研究帶來了更加深刻的變革。

1.“數據分析觀念”下統計與概率認知發展水平的研究

（1）概率認知發展水平的研究

林泳海等人（2011）運用實驗法，對60名5.5～7.5歲兒童的概率認知發展特點及發展趨勢進行了研究。其貢獻在于發現了隨年齡增長，兒童概率認知的變化情況以及兒童在各階段的認知發展水平［9］。

（2）統計認知發展水平的研究

童莉等人（2014）建構了義務教育階段學生數據分析觀念的評價框架，將學生數據分析觀念分為3個維度以及11個發展水平，并以此給出了數據分析觀念的評價框架和測試樣題［10］。

張丹（2015）將數據分析觀念分為3個不同的維度，又將每個維度劃分為3個不同的要素。除了“數據意識”以外，又按學生作答水平的高低順序劃分為4個水平［11］。這一框架為分析和評價學生數據分析觀念提供了有力支撐，便于教師據此制定相應的教學目標，選擇合適的教學策略。

童莉等人的研究框架不但包含數據分析的過程描述，而且包含數據隨機性的考量。但張丹的研究框架更為細致，建立了數據分析觀念的評價框架，評價框架既有國內外研究比較多的“了解數據中蘊含著信息”的維度，也有研究成果較少的“認識到需要收集數據”和“體會數據的隨機性”的維度。這一框架的提出為分析和評價學生數據分析觀念提供了有力支撐，便于教師據此制定相應的教學目標，選擇合適的教學策略。但需要注意的是現有框架的有效性還需要進行檢驗，框架自身也需要不斷完善。

2.“數據分析觀念”下課程標準的制定

2011版《課標》將“數據分析觀念”作為核心概念，強調在數學課程中發展學生的數據分析觀念，并從數據信息、基本方法、數據隨機性三個層次闡述“數據分析觀念”的涵義，將數據分析過程概括為：收集數據、整理數據、描述數據和分析數據。統計學研究的基礎是數據，“統計觀念”涵蓋“數據分析觀念”，將“統計觀念”修改為“數據分析觀念”，凸顯了統計的研究對象。

課標基于“數學分析觀念”的學段要求也逐步加深。例如：2001版課標中第一學段關于對全班同學的身高進行調查分析的內容，要求“了解、調查、測量收集數據的簡單方法”［12］；2011版課標第一學段中要求在學習分類方法的基礎上能用自己的方式（文字、圖畫、表格等）呈現整理數據的結果，而不是學習正式的統計圖表或者統計量［13］。

3.“數據分析觀念”下教材內容的編排

2011版《課標》頒布后的教材在教學時數及編排方式上都有調整，除了對“統計觀念”兩個具體內容進行了調整外，還增補了“體驗隨機性”的學習要求。數據分析根據是否考慮數據的隨機性可分為描述統計和推斷統計，滲透了偶然和必然的關系，也凸顯了由“雙基”到“四基”的教學目標的轉變。

課標內容從只關注知識技能，到除知識技能外，還滲透統計的思想和方法，淡化了繪制統計圖表的技能要求，由數據處理與統計圖表向描述統計與簡單統計量轉變。

從教材編排來看，以北師版教材為例：第一學段刪除了隨機現象發生的可能性，用定性方式描述可能性的大小；概率知識在第二學段分兩個階段呈現，第一階段（4上）重點感受簡單的隨機現象，能夠列出可能發生的所有結果，通過隨機現象來體會可能性大小的區別，第二階段（5上）對可能性大小進行定性描述。兩個學段都對收集、整理數據有要求，重視讓學生親自參與數據的收集、整理，體會數據是怎么產生的，關注數據的背景。各版本教材都設計了具體的問題情境，引導學生在具體活動中完整地經歷收集、整理、表示和分析數據的過程。

4.“數據分析觀念”下教學策略的選擇

在“數據分析觀念”提出后，許多學者都不約而同地對統計教學的真實性和統計教學的過程性進行了強調。教師在教學時，數據最好來源于生活，貼近生活；學生在學習統計時要盡可能參與統計實施過程的每個環節［14］。

吳正憲（2013）指出要提高“數據分析”在課堂教學中的比重，實現從“重結果、輕過程”到“重結果、更重過程”的轉變［15］。曹培英（2017）提出統計圖的教學重點在圖的閱讀、圖的分析與圖的評價（包括質疑）。培養學生的數據分析觀念，首先要注重課內外統計活動資源的開發，其次要關注統計活動的內涵本質，讓學生接觸不同的調查方法，體會統計的真實價值［16］。

一線教師也將任務驅動式教學策略和數學實驗教學策略應用到實踐中。隨著現代教育技術的發展，計算機輔助教學給一線教師提供了一種新的教學輔助手段。焦立新（2015）針對教學需要，開發了“統計與概率”輔助教學系統［17］。

（三）基于“核心素養”的“數據分析觀念”教學發展階段（2018年至今）

2018年，中國基礎教育邁入了核心素養時代。“數據分析”作為數學的六大核心素養之一被納入《普通高中數學課程標準（2017）》。義務教育階段的學科核心素養不可能拋開高中階段的學科核心素養而“另起爐灶”，因此關于小學統計領域的相關問題研究也離不開“數據分析”素養。圍繞“核心素養”的“概率與統計”教學研究正逐步開展。

1.“核心素養”背景下的統計與概率認知發展水平的研究

（1）概率認知發展水平的研究

何聲清（2018）研究了高階概率內容的認知。結果表明，學生在“理論計算”任務上的表現欠佳，學生的概率直覺在“數量估計”任務中扮演著重要角色。該研究成果對概率教學的啟示是：學生高階概率內容認知的潛能與局限并存，教師在教學中應該呵護學生的概率直覺，可通過計算機等直觀模擬技術滲透概率思維［18］。

（2）統計發展水平的研究

李化俠（2019）利用學習進階方式研究學生統計思維發展水平及特點，發現：小學生統計思維的發展總體呈上升趨勢，主要處在過渡化、數量化特征水平，還達不到分析水平，不同年級學生思維發展的特點及規律不同，學生基于統計量的預測和判斷發展水平低［19］。李紅云等人（2019）認為在面對隨機現象及產生的數據做出合理判斷和決策的過程中，統計思維尤為重要。其研究從統計和思維兩個視角嘗試構建統計思維測試框架并設計測試題目，將統計概念、統計判斷、統計推斷均分為5個水平等級進行具體描述［20］。

綜上所述，國內對小學數學統計認知的研究維度較少，而且多是停留在認知表層，并沒有深入挖掘認知領域的相關問題。

2.“核心素養”背景下的教學策略

李星云（2018）根據教學內容的不同，分別給出了統計圖的教學策略、平均數的教學策略、可能性的教學策略［21］。

曹培英（2019）提煉出培養學生數據分析觀念的主要策略有：讓學生親歷通過統計解決問題的全過程；讓學生親近數據、感悟數據；讓學生親身體會根據問題背景選擇合適方法；讓學生親臨隨機現場，感悟統計數據的隨機性；啟發學生對數據統計的合理質疑；啟發學生體會大數據的現實意義［22］。

二、關于我國小學數學統計與概率教學的思考

（一）關注大數據對小學統計教學改革的影響

自2012年聯合國發布《大數據促發展——挑戰與機遇》白皮書起，我國也開始重視大數據。“數據分析觀念”的提出對教學實踐有著重要的現實意義。從學習意義的角度看大數據，意味著個性化與智能化的并包，教師可以向學生列舉或讓學生搜集大數據資料，讓學生在其中感受大數據的特點，經歷基于大數據層面的分析，從中體會大數據的意義與價值，在過程中逐步形成并發展數據分析觀念。

（二）基于核心素養把握統計與概率整體標準

史寧中（2018）將數學核心素養定義為：具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力。其認為數學教育的終極目標是：會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界［23］。在落實“數據分析”素養的背景下，在未來課程標準的制定中，可以思考：1）在目標確定、內容選擇、課程編排與實施中考慮幼小和小初之間相關內容的銜接；2）在教材編排上關注教育質量均衡下教學情境的選擇，在豐富統計活動資源的同時適當考慮地域差異；3）加強對一線教師的培訓與指導，使教師厘清統計學與概率論方面的核心概念的內涵；4）調整統計與概率領域教學課時，開發統計主題的項目式學習，通過任務驅動完成教學目標；5）建立評價學生數據分析觀念水平的指標體系。