淺析復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

陳保進(jìn)

摘 ?要：對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講，函數(shù)是非常重要的教學(xué)內(nèi)容，函數(shù)的單調(diào)性能夠反映函數(shù)圖像的發(fā)展趨勢(shì)，也能夠表示自變量和因變量之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合思想的重要基礎(chǔ)內(nèi)容。而且對(duì)于函數(shù)來(lái)講，奇偶性和單調(diào)性成并列的關(guān)系，從不同角度展示函數(shù)自身的性質(zhì)，在函數(shù)性質(zhì)教學(xué)過(guò)程中占據(jù)著非常重要的地位。研究函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)內(nèi)容，也是高考的重要考點(diǎn)。本文對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的判斷來(lái)講，具有非常重要的意義。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù);單調(diào)性;判斷方法

引言：

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要知識(shí)內(nèi)容，也是教學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于高中生來(lái)講，要想判斷一個(gè)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性需要花費(fèi)較多的時(shí)間和精力，這也使得許多高中生感覺(jué)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷十分困難。實(shí)際上，導(dǎo)致高中生在復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷過(guò)程中出現(xiàn)此類(lèi)問(wèn)題的主要原因是高中生沒(méi)有真正理解單調(diào)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的意義，沒(méi)有理解同增異減的內(nèi)涵。本篇文章通過(guò)對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法進(jìn)行分析研究，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講具有非常重要的意義。

一、利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性

增函數(shù)的定義為：在區(qū)間D上函數(shù)y值會(huì)隨著x值的增大而增大[1]。減函數(shù)的定義為：在區(qū)間D上函數(shù)y值會(huì)隨著x值的增大而減小。在判斷一般簡(jiǎn)單的函數(shù)時(shí)，就可以利用定義反來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。而對(duì)于復(fù)合函數(shù)來(lái)講，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性定義為，若函數(shù)f（u）在U內(nèi)單調(diào)，u=g（x）在X內(nèi)單調(diào)，而且{u|=g（x）x∈X}∈U，如果f（u）和g（x）單調(diào)性相同，則y為增函數(shù)，如果f（u）和g（x）單調(diào)性相反，則y為減函數(shù)[2]。

在利用復(fù)合函數(shù)定義判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，可以按照以下步驟進(jìn)行：

（一）第一，需要將復(fù)合函數(shù)整體分為兩個(gè)基本的初等函數(shù)。

（二）第二，需要確定兩個(gè)初等函數(shù)各自的函數(shù)定義域。

（三）第三，確定函數(shù)各自的單調(diào)區(qū)間。

（四）第四，若兩個(gè)函數(shù)在相對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)同時(shí)單調(diào)遞增或遞減，則整體函數(shù)為增函數(shù)。若一函數(shù)為增一函數(shù)為減，則整體函數(shù)為減函數(shù)。這一判斷方法也就是所謂的同增異減原則。

（五）第五，求出兩函數(shù)區(qū)間的交集，即為整體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

二、利用圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性

對(duì)于函數(shù)來(lái)講，如果圖像從左向右呈上升趨勢(shì)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。如果圖像從左向右呈下降趨勢(shì)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。此為判斷函數(shù)單調(diào)性的圖像法，在實(shí)際的函數(shù)單調(diào)性判斷的過(guò)程中，利用函數(shù)圖像能夠非常直接地看出函數(shù)的單調(diào)性以及變化趨勢(shì)，在判斷復(fù)合函數(shù)時(shí)，也可以利用圖像來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。

首先可以利用定義法或圖象法來(lái)判斷內(nèi)函數(shù)的值域。其次，確定外函數(shù)的定義域。對(duì)于外函數(shù)來(lái)講，利用內(nèi)函數(shù)的值域和定義域能夠得到外函數(shù)的定義域。最后，根據(jù)外函數(shù)的定義域和關(guān)系表達(dá)式畫(huà)出外函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像來(lái)判斷整體函數(shù)的單調(diào)性。

三、函數(shù)單調(diào)性判斷的實(shí)際案例

結(jié)束語(yǔ)：

綜上所述，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)講，函數(shù)單調(diào)性判斷是非常重要的一項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中覺(jué)得單調(diào)性的判斷十分困難，無(wú)法利用合理有效的方法快速準(zhǔn)確地判斷函數(shù)的單調(diào)性。教師應(yīng)當(dāng)將各種教學(xué)思想滲透到課堂當(dāng)中，讓同學(xué)們掌握不同的思想和方法，以便同學(xué)們能夠更加快速準(zhǔn)確地判斷出函數(shù)的單調(diào)性。而且通過(guò)這種教學(xué)方式也能夠促進(jìn)同學(xué)數(shù)學(xué)能力的提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]崔加奇.在線(xiàn)教育模式下學(xué)生自主學(xué)習(xí)效果研究[D].廣西師范大學(xué)，2019.

[2]屈志斌.高中函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究[D].湖南師范大學(xué)，2019.