承壓水層降水引起的成層軟土一維固結解析解

羅智勇 歐子文 陳 緣 夏長青

（1.中鐵二院工程集團有限責任公司，成都610031；2.浙江大學濱海和城市巖土工程研究中心，杭州310058）

0 引 言

隨著社會經濟的增長，城市建設對地下水資源的需求日益增大。過量抽取地下水會引起水位下降，對于低滲透性的軟土而言，水位下降后內部超靜孔隙水壓力隨滲流而逐漸減小，有效應力增加，導致土體的長期固結沉降。

國內外諸多學者［1-5］利用現有數據或數值模擬研究了水位下降引起的地面沉降危害。駱冠勇等［6］從太沙基一維固結方程出發，推導了承壓水層抽水引起的固結解析解。Conte 等［7］推導了潛水層水位變化時弱透水層的一維固結解析解。謝康和等［8］推導了越流系統中弱透水層的一維固結解答，表明滲透力引起的有效應力增加是其沉降變形的根本原因。黃大中［9］分別推導了潛水層和承壓水層水位下降引起的一維線性與非線性固結解析解。謝海瀾等［10］在含水層水位下降的一維固結中考慮了土層的非達西滲流，并得到了半解析解。吳浩等［11］利用簡化的分段模型考慮了軟土的結構性，得到了越流系統中雙層軟土地基的一維固結解析解。張瑋鵬等［12］利用分離變量法得到了有起始比降的飽和軟土大面積抽水引起的一維固結解析解。此外陶立為等［13］、Tseng CM［14］和劉加才等［15］還分別推導了考慮初始孔壓分布、土體自重應力和黏彈性模型的水位下降引起的一維固結解析解。

以上對于水位下降引起的一維固結研究均在單層土或雙層土計算模型下，實際地基中軟土一般存在成層性，其多層土層間相對滲透性和壓縮性差異會對固結過程產生很大影響。

本文在成層軟土計算模型下，通過對一維固結控制方程進行變量代換，由Duhamel 原理并與變荷載下成層軟土固結解析解［16］進行類比，推導了承壓水層水位下降引起的一維固結解析解?；谒媒獯?，對三層軟土地基進行計算分析，討論了不同水位下降速率、弱透水層和高壓縮性土層相對位置對固結過程中孔壓消散速率和地表沉降發展速率的影響。此外在與加載條件下的解析解對比中分析了水位下降與施加荷載的固結特性異同。

1 問題描述

如圖1 所示，成層軟土底面透水，總厚度為H，第i層土的厚度、底面距離潛水層底的距離、豎向滲透系數和體積壓縮系數分別表示為hi，zi，kvi和mvi（i=1，2，…，n）。上部潛水層水位保持不變，當 0＜t≤tc時下部承壓層水位線性下降，當t＞tc后水位下降值恒定為hc，孔壓下降值為pc=γwhc。

圖1 承壓水層抽水Fig.1 Pumping from confined aquifer

2 控制方程與求解

由于成層軟土層上部潛水層水位保持不變，承壓水水位下降過程中軟土層總應力不變，則控制方程為：

邊界條件：

初始條件：

層間連續條件：

由Duhamel原理知，方程（1）的解可表示為

邊界條件：

初始條件：

層間連續條件：

則方程（8）滿足一切求解條件的解為：

式中：

gmi（z）中的系數Ami和Bmi由下列遞推公式計算：

式中，Si為下列矩陣：

式中：

λm由如下超越方程確定，為其正根：

其中S1=[1 0]T，Sn+1為1×2階矩陣：

式中：

則方程（8）的解為

將式（23）代入方程（6）中可得超靜孔隙水壓力為

則任意時刻沉降的表達式為

土層頂面最終沉降量和平均固結度的表達式為

3 退化驗證

將成層軟土中每層土的體積壓縮系數和滲透系數均取相同，進行退化驗證。在不同抽水速率（時間因子Tvc=cvtc/H2不同）下其固結度計算結果如圖2 所示，可以看出承壓水層抽水引發的成層軟土一維固結解析解可完全退化為相同抽水條件下單層軟土固結解析解［9］。

圖2 退化后的計算結果對比Fig.2 Comparison of degraded calculation result

4 成層軟土固結性狀分析

以圖3 所示三層軟土為例分析承壓水層抽水速率和成層軟土的滲透性、壓縮性對固結性狀的影響。本算例取各土層厚度為h1=h2=h3=5 m。

4.1 水位下降速率對固結性狀的影響

如圖4 所示為水位下降速率對地表沉降速率的影響。隨著承壓水位的下降，沉降速率先快速增長，tc時刻后承壓水水位恒定，地表沉降速率達到峰值轉而下降。當tc從30 d 增長到300 d，相應的最大地表沉降速率由0.33 mm/d下降至0.13 mm/d。

圖3 三層軟土地基示意圖Fig.3 Three-layer aquitard diagram

圖4 tc對地表沉降速率的影響Fig.4 Effect of tc on ground settlement rate

圖5 為不同水位下降速率下分層沉降的增長過程。主要壓縮層為底部的土層3，相比與上部土層其壓縮量大，沉降速率大。圖4 與圖5 中tc對固結度和沉降速率的影響主要由下部土層3 的沉降差異產生，水位下降速率對上部土層1和土層2的影響較小。

4.2 層間滲透性差異對固結性狀的影響

承壓水水位下降3 m，成層軟土內部產生的超靜孔壓成線性分布，頂部為0 kPa，底部為30 kPa且隨滲流完全消散。如圖6所示為固結過程中100 d和1 000 d 兩個時刻軟土層內部殘余超靜孔壓沿深度的分布，相對低滲透性的弱透水層內部殘余超靜孔壓大。相對弱透水層位于成層軟土底部時（kv1=kv2=10kv3=10-6cm/s），總體孔壓消散相比其位于上、中部土層時稍為緩慢。

圖5 tc對分層沉降的影響Fig.5 Effect of tc on stratified settlement rate

圖6 殘余超靜孔壓沿深度分布Fig.6 Distribution of residual excess pore pressure with the depth

圖7 層間滲透性差異對分層沉降的影響Fig.7 Effect of interlayer permeability difference on stratified settlement

如圖8 所示為地表沉降發展規律。與圖6 孔壓消散規律相應，在整體滲透性不變的情況下，固結接近同時完成。低滲透性的相對弱透水層位于底部土層3 時前期沉降發展速率慢，中后期沉降速率有所增長；弱透水層位于頂部土層1對前期沉降增長速率影響小，但減緩中期沉降發展速率顯著；相對弱透水層位于中部土層2 影響最小，其沉降發展速率較大，固結較早完成。

圖8 層間滲透性差異對地表沉降的影響Fig.8 Effect of interlayer permeability difference on ground settlement

4.3 層間壓縮性差異對固結性狀的影響

如圖9 所示為超靜孔壓沿土層深度分布，相對高壓縮性土層位于底部土層3 時（2mv1=2mv2=mv3）其總體孔壓消散速率較慢，殘余超靜孔壓大。頂部土層1 或中部土層2 為相對高壓縮性土層時其固結前期孔壓消散速率相近；其中頂部土層1壓縮性更高時，固結中后期的孔壓消散速率較快，固結較早完成。

圖9 殘余超靜孔壓沿深度分布Fig.9 Distribution of residual excess pore pressure with the depth

如圖10 所示，層間壓縮性差異對底部土層的影響較大。雖然圖9 中土層3 的相對高壓縮性會降低超靜孔壓消散速率，延長固結完成時間，但是由于該層的總壓縮量大導致其沉降發展仍快于其余兩種條件。

圖10 層間壓縮性差異對分層沉降的影響Fig.10 Effect of interlayer compressibility difference on stratified settlement

如圖11 所示為層間壓縮性差異對地表沉降的影響。與圖10 中分層沉降規律相應，當相對高壓縮性土層位于底部時其地表沉降增長速率大；根據孔壓分布規律，底部產生的超靜孔壓大，有效應力增量大，底部土層3 的高壓縮性引起的最終沉降量大；其高壓縮性位于頂部與中部時前中期沉降發展相近，層間壓縮性差異體現在固結后期沉降發展趨勢中，頂部土層1 的壓縮性影響小于中部土層2。

圖11 層間壓縮性差異對地表沉降的影響Fig.11 Effect of interlayer compressibility difference on ground settlement

4.4 與加載條件對比分析

在相同的土層條件下對本文解與文獻［16］中的變荷載條件下的解析解進行了對比，結果如圖12所示。通過對比分析，承壓水層水位下降1 m 引起的最終壓縮量約為等同條件下地表施加5 kPa荷載，這一規律與文獻［13］中的單層弱透水層結論接近，但根據上述分析，當底部土層的相對壓縮性更大時水位下降1 m 仍可能產生大于5 kPa 荷載引起的壓縮量。此外，水位下降引起的固結速率明顯小于直接施加上部荷載，固結完成時間更長。

圖12 與加載條件下的沉降對比Fig.12 Comparison of settlement with loading conditions

5 結 論

本文推導了承壓水層水位下降引起的上部飽和成層軟土一維固結解析解，并將其退化解與已有的單層軟土固結解析解的計算結果進行了對比，驗證了該解答的正確性。

通過對三層軟土地基算例進行計算分析，分別討論了水位下降速率、層間滲透性和層間壓縮性差異對超靜孔壓、分層沉降和地表沉降隨時間發展的影響，此外與變荷載下成層地基的固結解析解作了對比，主要結論如下：

（1）承壓水的水位下降速率對前期固結沉降速率影響大，水位下降越快，最大地表沉降速率越大。

（2）相對低滲透性土層在成層軟土中的位置不同其固結性狀也不同。相對低滲透性土層位于成層土底部時孔壓消散速率降低；低滲透性土層位于頂部時降低中后期沉降發展速率；相對低滲透性土層位于中部時影響較小，沉降發展速率較大，固結較早完成。

（3）相對高壓縮性土層在成層軟土中的位置影響最終沉降量大小。分層沉降中底部土層為主要壓縮層，相對高壓縮性土層位于底部導致孔壓消散速率慢，固結時間長，但其總壓縮量大，因此沉降增長速率仍較快。相對高壓縮性土層位于成層土頂部時固結后期超靜孔壓消散速率快，固結較早完成。

（4）承壓水層水位下降1 m 引起的最終壓縮量約為等同條件下地表施加5 kPa荷載，在這一類比條件下承壓水水位下降引起的固結速率明顯小于直接施加上部荷載，固結完成時間更長。