基于平均法和多尺度法的輸電線舞動解析解精度討論

劉小會, 楊曙光, 孫測世, 蔡萌琦

(1.重慶交通大學省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室， 重慶 400074； 2.重慶交通大學土木工程學院，重慶 400074； 3.成都大學建筑與土木工程學院， 成都 610106)

輸電導線覆冰后，橫斷面由圓形變成新月形、D形和扇形等非圓形截面。由于風對覆冰輸電導線施加的豎直向氣動力破壞了原有的平衡狀態，輸電線會發生微弱的振動。風持續地給系統輸入能量，振動幅值也會逐漸增大，最終輸電導線自身結構阻尼、恢復力和空氣動力之間相互調節使得輸電導線產生恒定頻率和恒定振幅的周期運動，達到一個新的穩態平衡形成舞動。輸電線舞動的3個主要影響因素：導線的自身結構、導線覆冰情況以及風的影響。在緯度較高和海拔較高的寒冷地帶，由于存在霧凇、雪凇以及復雜的地理環境，輸電導線在這種條件下極易覆冰且發生舞動[1]。舞動會使輸電導線產生交變的應力，降低輸電導線的抗疲勞極限，并且輸電導線在長時間斷舞動的情況下，容易導致斷線事故的發生；同時也容易使得絕緣子串、金具和輸電塔產生疲勞損傷甚至破壞。為了使得輸電導線能夠正常和持久地運行，對覆冰輸電導線舞動的研究是十分必要的。

此前，Denhartog[2]提出了垂直舞動機理，研究發現覆冰輸電導線舞動橫向的幅值遠小于豎向幅值，表明舞動主要發生在豎直方向。Rega等[3]分析了面內激勵作用下輸電導線的高階攝動解與頻響函數的多值響應曲線，然而只是研究了受迫振動并沒有考慮導入空氣動力荷載。李欣業等[4]對覆冰輸電導線考慮了空氣動力并研究了環境參數以及結構參數對覆冰輸電導線零解穩定性和振幅的影響，但并未考慮輸電導線結構自身的非線性。郝淑英等[5]研究了平衡點張力和舞動幅值的改變導致了固有頻率的漂移，但并未采用精確程度更高的多尺度法。李黎等[6]采用有限元程序ANSYS建立模型，提出了有效的輸電導線舞動的簡化分析方法，但并未對模型進行解析解求解分析。黃坤等[7]通過研究非對稱截面的彎扭兩自由度動力學行為發現由于非線性的影響導致結構的振動幅值會隨激勵幅值和頻率的變化而發生跳躍，但并沒給出具體的解析解進行分析。

綜上所述，以施加有風激勵的非線性覆冰輸電線結構為研究對象，用平均法和多尺度法求解出解析解，并對兩種解析解的精確度進行討論。

1 計算和研究模型

圖1 輸電導線平面圖Fig.1 The plane graph of the transmission conductor

對于平原地區的覆冰輸電線，大部分檔的導線可近似為等高輸電線，因此選取兩端固支的等高差單擋輸電線為研究對象。在平原地區，高壓輸電線處于郊外。風主要以層流風為主，所以忽略風的脈動效應，僅考慮穩定風，而且選取最危險工況認為風沿水平方向且與導線的軸向垂直，輸電導線平面圖如圖1所示。輸電導線固定支座處于同一水平面，考慮對該系統施加水平風來模擬輸電線受風激勵的響應。先擬合空氣動力系數，然后將空氣動力荷載施加于該非線性自治系統中，運用Galerkin方法將覆冰導線舞動的面內偏微分振動方程化簡為非線性常微分方程。如圖1所示，輸電線在重力作用下的平衡狀態構形為ξ1，輸電導線檔距為l，靜止狀態下輸電導線的垂度為d,輸電導線自重作用下的線形位于oxy平面上且用函數y來表示，s表示曲線的自然坐標。輸電線覆冰后，在風的激勵下，輸電線會在豎向發生振動，由初始構形ξ1經過一段時間后變化為ξ2，令其變化后的x、y方向上的位移坐標函數分別為u(s,t)、v(s,t)。

(1)

Fy=FLcos(α)+FDsin(α)

(2)

式(2)中：α是一個很小的量，sin(α)≈α，cos(α)≈1，可將式(2)簡化為

Fy=FL+αFD

(3)

根據流體誘發振動理論，水平風會使輸電導線產生空氣升力FL和空氣阻力FD[10]，其表達式為

式中：CL為空氣升力系數；CD為空氣阻力系數。設Cy為水平風對覆冰輸電導線豎直向的空氣動力系數，將豎直向的空氣動力系數Cy進行數值擬合后得到[11]：

Cy=A′α+B′α3

(5)

式(5)中：A′、B′分別為空氣動力系數Cy進行數值擬合后的一次項和三次項的動力系數參數。

圖2 輸電導線橫截面圖Fig.2 The cross section view of a transmission conductor

則風對輸電導線產生的豎向作用力Fy為

(6)

將式(1)和式(5)代入式(6)中得到豎直向作用力的另一種表達式為

(7)

(8)

式(8)中：ρ、h分別為空氣密度和輸電線的直徑，輸電線屬于大跨度的柔性索結構，針對這種類型的結構，作如下假設：

(1)在靜止狀態下，輸電導線外形可以通過拋物線y=4d[x/l-(x/l)2]來描述。

(2)假設其中ds≈dx，即初始張力的水平分量為導線的張力H。

根據圖1，導線面內豎向的運動平衡方程[3]為

(9)

v(x,t)=f(x)q(t)

(10)

(11)

式(11)中：

(12)

式(12)中：w對應于輸電導線的頻率；I的值依賴于特征函數f(x)，定義為

(13)

在式(11)中，由于恢復力中包括二次項和三次項，系統中空氣動力荷載的空氣動力系數也包含了一次項和三次項，通常認為阻尼和非線性項對系統的影響較小，或針對限幅振動，可以對阻尼項和非線性項作如下轉換:

(14)

(15)

2 平均法求解

平均法能夠一次得到近似解，在工程中常被使用。相比較于Linz Ted-Poincaré法(L-P)、諧波平衡法、Krylov-Bogoliubov-Mitropol’skii法(KBM)、多尺度法和平均法計算簡單。平均法設定阻尼項以及非線性項的小量均設為一階[12]，故非線性常微分方程[式(11)]應該寫為

(16)

式(16)表示一個弱非線性自治系統，假設ε為足夠小的量，式(16)的左邊為線性派生系統，其自由振動解為

令ψ=wt+θ，并且將a和θ考慮為隨時間變化的函數，a(t)是振幅函數，θ(t)是相移函數。式(17a)對時間t的導數可表示為

(18)

聯立式(17b)與式(18)可得到:

(19)

同理，式(17b)對時間t求導可得：

(20)

將式(17)、式(20)代入式(16)得到：

εc1a2cos2ψ+εc2a3cos3ψ-

εc4a3w3sin3ψ=0

(21)

結合式(19)和式(21)解得：

(22)

Q(a,θ)和P(a,θ)表示為

(24)

式(23a)對時間進行積分，可得幅值函數為

(25)

采用文獻[11]的方法，將a看作常值，式(23b)對時間進行積分可得到相移函數為

(26)

綜合式(17a)、式(25)和式(26)可得到輸電導線豎向振幅表達式為

(27)

將式(27)對時間求導數，求得輸電導線豎向速度變化規律為

(w+ga2)asin(wt+θ)

(28)

(29)

3 多尺度法求解

多尺度法相比較于平均法能對方程求出更加準確的近似解。采用多尺度法，引入Tn=εnt(n=0,1,…,3)，得到新的獨立時間變量，n表示多尺度法劃分時間變量的階數，n取值越大，計算量和復雜程度也會急劇增大[13]，僅考慮多尺度法的三階近似解。除了多尺度階數大小對結果有影響外，無量綱參數ε的取值也會影響多尺度最終求得的周期解析解的結果，小量ε越小對弱非線性的近似程度越好，取小量ε=0.1。將q展開ε的冪級數：

(30)

將式(30)代入式(15)展開得到：

2D0D1q1+w2q2+2c1q0q1+c3(D0q1+

μ(D0q1+D1q0)+c4(D0q0)3]=0

(31)

式(31)中:Dk表示對Tk時間尺度求偏導數，令小量ε的等次冪系數為0，得到如下線性偏微分方程組：

解式(32a)結果為

(33)

式(33)中：A可設為

A(T1,T2,T3)=1/2a(T1,T2,T3)exp[iθ(T1,T2,T3)]

(34)

式(34)中：a和θ分別表示系統的振幅和相位。

將式(33)和式(34)代入到式(32b)，D0q0即為q0對時間尺度T0的導數，那么可以得到[14]：

(35a)

(35b)

將式(33)～式(35)代入(32c)中得到：

將式(33)～式(36)代入式(32d)中得到：

(37)

結合式(34)～式(37)，可得到系統振幅和頻率的變化率方程為

(38)

將式(38)對時間積分得到幅值和頻率表達式為

結合式(30)、式(33)和式(34)可得到系統ε0階小量對應的振幅表達式為

q=acosψ

(40)

式(40)中：ψ=wt+θ，結合式(30)、式(33)、式(34)和式(35b)可得到系統(ε0,ε1)階小量對應的振幅表達式為

(41)

結合式(30)、式(33)、式(34)、式(35b)和式(36b)可得到系統(ε0,ε1,ε2)階小量對應的振幅表達式為

(42)

如上述內容所示，運用多尺度對該弱非線自治方程求解，分別求得幅值、頻率表達式以及各階小量對應的周期解析解。不僅能對風激勵下覆冰導線的運動狀態進行分析，還能分析各參數對運動狀態的影響以及各參數之間相互存在的一些關聯，給出了不同階近似解析解精度討論。

4 近似解解析精度討論

4.1 數值解

為了便于分析比較，對于等高差的單擋輸電線，覆冰的冰形選用新月形覆冰，選用文獻[15]的幾何參數、材料參數和相應的氣動力參數如表1所示。

表1 輸電導線線路物理參數

為了考查解析解的精度，使用表1中的結構參數和環境參數，讓水平風作用在覆冰輸電導線上，然后采用Runge-Kutta方法求解式(11)，給輸電線施加豎向0.05 m的初始擾動后，用數值方法得到時程位移和速度圖像以及相位圖[16]。如圖3和圖4所示，覆冰輸電導線在水平風的激勵作用下，輸電導線的幅值和振動速度隨著時間的變化逐漸增大，荷載激勵時間達到1 200 s以后，該系統的振幅和振動速度就逐漸趨近于一個穩定的值，數值解的最大幅值分別為0.234 0 m和-0.252 5 m，可見由于系統的非線性項導致了振動中心向下發生了 0.009 25 m 的漂移；速度也逐漸趨近于一個常值，最大豎向速度都趨近于±0.68 m/s。從圖3和圖4中可看出覆冰輸電導線幅值和輸電導線速度的變化趨勢基本一致。

圖5為該弱非線性自治系統的相位圖，取輸電線受水平風激勵后1 800～2 000 s的時段，反映了輸電導線在豎直方向上速度和位移的關系圖。當到達1 200 s后，幅值和速度趨于常值，就形成如圖5的穩定極限環。

圖3 時程位移圖像-數值解Fig.3 Time history displacement diagram-numerical solution

圖4 豎向速度圖像-數值解Fig.4 Vertical velocity diagram-numerical solution

圖5 相位圖-數值解Fig.5 Phase diagram-numerical solution

4.2 平均法和多尺度法解析解與數值解的比較

平均法和多尺度法都是求解弱非線性問題常用的方法。對于平均法，相比于其他攝動法而言的優點就是能夠快速求得近似解；多尺度法的優點就是能夠求解更加精確的近似解，可以根據計算精度需要來決定使用幾階小量。小量的階次越高，計算過程也越復雜，這也是多尺度法的缺點。那么為了討論這兩種方法對于求解覆冰輸電線這類弱非線性自治系統的適用性。比較了相同條件下平均法、多尺度法的解析解與數值解結果，得到不同方法的計算結果精確程度。

數值法和平均法時程位移的時間區段如圖6所示。從圖6可以看出平均法解析解和數值解的圖像并不能吻合。造成這種現象的原因是平均法得到的式(26)和多尺度法得到的式(39b)有區別，多尺度法對相位描述的更加準確。當振動方程中含有高次非線性項時，使用平均法對頻率的非線性修正項有錯誤，從而也得到不準確的結果[16]。

圖7為平均法解析解與數值法在時間區段內的相位圖。圖7中坐標為(0,0)的點表示平均法結果的振動中心，坐標為(-0.009 3,0)的點表示數值法結果的振動中心。從圖7中看出平均法解析解和數值解的振動中心沒有重合，并且兩者的相位圖也并不能重合。平均法解析解的圖像是關于坐標中心對稱的，數值方法的相位圖則不是關于原點對稱，所以結合圖6和圖7表明平均法的解析解對比數值法結果沒有發生漂移現象。圖8為式(40)所得結果，僅考慮多尺度法得到的ε0階對應的解。由圖8可以看出多尺度法ε0階解析解與數值解的最大正向和負向幅值不能完全重合，即表現為振動中心的偏移，與平均法所求結果一致。結合圖6～圖8和上述分析可以得到：平均法和多尺度法(ε0)的解析解對弱非線性自治系統的振動狀態描述不夠準確。

圖6 時程位移圖-平均法解析解與數值解Fig.6 Time history displacement diagram-average method analytic solution and numerical solution

圖7 相位圖-平均法解析解和數值解Fig.7 Phase diagram-average method analytical solution and numerical solution

圖9和圖10分別為式(41)和式(42)解析解與數值解對比所得到的結果，其中圖9為多尺度法(ε0，ε1)一階解析解對應的相位圖，圖10為多尺度法(ε0，ε1，ε2)二階解析解對應的時程位移圖像。從兩幅圖中可以看出多尺度法(ε0，ε1)和多尺度法(ε0，ε1，ε2)的解析解與數值解圖像十分吻合，并且幅值接近，振動中心也發生了漂移現象。圖11是多尺度法(ε0，ε1)和多尺度法(ε0，ε1，ε2)解析解對弱非線性系統的振動狀態的描述，從圖11中可以看出，在此種工況下，多尺度法(ε0，ε1)和多尺度法(ε0，ε1，ε2)解析解均能十分準確地描述系統的相位和幅值。

圖8 時程位移圖像-多尺度法(ε0)解析解Fig.8 Time-history displacement diagram-multiscale method (ε0) analytic solution

圖9 相位圖-多尺度法(ε0、ε1)解析解和數值解Fig.9 Phase diagram-multiscale method (ε0，ε1) analytic solution and numerical solution

圖10 時程位移圖像-多尺度法(ε0，ε1，ε2)解析解和數值解Fig.10 Time-history displacement diagram-multiscale method (ε0，ε1，ε2) analytic solution and numerical solution

圖11 時程位移圖像-多尺度法(ε0，ε1)(ε0，ε1，ε2)解析解和數值解Fig.11 Time-history displacement diagram-multiscale method (ε0，ε1)(ε0，ε1，ε2) analytical solutions and numerical solution

為了進一步分析平均法、多尺度法的精度，將舞動的幅值與數值解進行差異性分析，如表2所示。

表2 解析解-數值解

表2中數據進一步證明了運用平均法和多尺度(ε0)求解該弱非線性自治系統的周期解與數值法有一定的差異，采用二階(ε0，ε1，ε2)多尺度法對應的解析解能對弱非線性系統進行更為準確的描述。

4.3 風速對振幅的影響

覆冰輸電導線舞動受導線的自身結構、導線覆冰情況以及風的影響。一般情況下，輸電線發生舞動后幅值和振動速度隨著風速的提高而增大。而弱非線性系統以自身的運動狀態作為調節器[17]，因此風速對輸電線舞動有比較大的影響。為了能確定風速的增大會不會對多尺度法周期解析解的準確性有影響，以下研究不同風速對多尺度法和平均法解析解精度的影響。

圖12為風速10 m/s時舞動位移時程曲線，輸電導線振幅隨著時間增長較為緩慢，到達700 s時振幅才逐漸穩定；并且當輸電導線發生舞動時，輸電導線幅值為0.596 0 m和 -0.726 0 m。圖13為風速16 m/s時的圖像，輸電導線發生舞動時間縮減至450 s;舞動幅值也增大到0.918 0 m和-1.258 8 m。上述分析可以得出風速的增大會使得覆冰輸電線發生舞動所需要的時間減少，并且舞動幅值和速度也會增大。

圖12 風速為10 m/s的時程位移圖像Fig.12 Time history displacement diagram with wind speed is 10 m/s

圖13 風速為16 m/s的時程位移圖像Fig.13 Time history displacement diagram with wind speed of 16 m/s

為了弄清楚幅值變化對漂移量的影響，采用數值方法，取4～20 m/s的風速得到振幅和漂移量隨風速變化的具體情況，結果如表3所示。表3中主要包括豎直向的最大正向位移和最大負向位移，以及振動中心的漂移量。可以看出，隨著風速的增加，不僅舞動幅值會逐漸增加，振動中心的漂移量也會隨著增加。舞動幅值從風速為4 m/s的 0.243 3 m 到風速為20 m/s的1.384 3 m。振動中心漂移量也從風速4 m/s的0.009 3 m到風速 20 m/s 的0.264 8 m。表3可以明顯看出，振幅增長和風速是正相關的。風速的增大也使得輸電導線舞動的振動中心漂移量增加。舞動振幅是不會一直增長的，當輸電導線振幅達到限值時，可能會發生金具損壞或斷線等危害。

表3 數值解

隨著風速的改變，為了檢驗平均法和多尺度法解析解之間的誤差是否有變化，將平均法和多尺度法對應的零階、一階、二階解析解分別和數值解作對比分析，得到的誤差如表4所示。從表4中可清楚地看出，隨著風速的增大，各方法的誤差也隨著增大，其中平均法和多尺度零階的誤差變得更大(從4 m/s的3.8%到20 m/s的19.2%)。而多尺度法二階對應的解析解在風速達到20 m/s時，誤差僅為3.3%。因此，相較于平均法和多尺度法零階小量對應的周期解析解，多尺度一階(ε0，ε1)解析解以及多尺度二階(ε0，ε1，ε2)解析解適用于描述輸電導線舞動過程，并且后者的描述更加準確。

表4 風速變化對解析解誤差的影響

5 結論

運用平均法和多尺度法求解出該弱非線性舞動方程的振幅和相位解析解，然后用數值方法求得數值解，將解析解和數值解進行比較得到如下結果。

(1)將平均法和多尺度ε0階解析解與數值解進行比較，得出平均法和多尺度法ε0階解析解精度很接近，但是平均法不能準確描述相位的變化情況，而多尺度法ε0階解析解對相位的描述有較高的精度。

(2)由于非線性項的存在，覆冰輸電線舞動的振動中心會發生漂移，并且隨著風速的增大振動中心漂移量也逐漸增加。

(3)隨著風速的增加，非線性逐漸加強，運用平均法和多尺度法ε0階解析解結果的誤差顯著增加，誤差最大達到19.2%，因此不適于描述非線性舞動過程，多尺度一階(ε0，ε1)解析解以及多尺度二階(ε0，ε1，ε2)解析解誤差逐漸增大，但是誤差最大僅為4.2%，仍可以較為準確描述舞動幅值。