基于ARIMA模型的河北省玉米價格預測

胡楊 張朝陽

(河北農(nóng)業(yè)大學經(jīng)濟管理學院，河北 保定 071000)

1 研究背景

玉米是我國糧食的重要組成部分，同時也是飼料生產(chǎn)和農(nóng)產(chǎn)品加工的主要原材料之一，對我國養(yǎng)殖業(yè)及加工業(yè)具有重大作用。玉米作為商品，具有供給需求高、價格波動程度大等特點。價格發(fā)生變化將對大量農(nóng)民、養(yǎng)殖業(yè)和加工業(yè)從業(yè)人員的收入造成影響。價格波動較大，意味著玉米的價格會根據(jù)市場環(huán)境，供給需求量及宏觀政策的調(diào)控發(fā)生變化，且變化幅度較大。本文將對玉米在不同時間段下的價格波動進行研究，建立玉米價格模型，并作出短期預測，為政府及相關企業(yè)在制定有關政策時提供科學基礎。

近年來，我國在農(nóng)產(chǎn)品價格預測方面進行了深入地研究，價格預測研究方向得到了高效且穩(wěn)定發(fā)展，研究成果愈發(fā)成熟且多樣。如，以農(nóng)產(chǎn)品月度價格作為研究對象，通過向量誤差修正模型深入分析了市場的價格傳導情況，得到了短期市場價格之間具有長期均衡關系，這種均衡關系控制著價格很難在短時間內(nèi)產(chǎn)生較大程度上的變化，調(diào)節(jié)了價格的偏離的結(jié)論[1]；著眼于農(nóng)產(chǎn)品價格傳導，分析了農(nóng)產(chǎn)品的價格傳導情況等[2]。國內(nèi)運用較多的成熟模型主要有以下幾種：通過建立ARMA模型分析農(nóng)產(chǎn)品價格波動趨勢，并合理且準確的預測了以后一段較短時間內(nèi)的農(nóng)產(chǎn)品價格變化趨勢[3]；通過建立ARCH模型，對農(nóng)產(chǎn)品期貨價格進行分析，找尋其波動的規(guī)律，并在此基礎上分析了對價格波動產(chǎn)生影響的因素[4]；通過X-12-ARIMA季節(jié)調(diào)整模型對蔬菜價格進行實證分析，得出價格變化的主要特征為價格呈現(xiàn)長期穩(wěn)定上升的趨勢和具有季節(jié)性以及周期性波動的結(jié)論，并運用協(xié)方差分析了對蔬菜價格波動產(chǎn)生影響的各個因素[5]；通過APSO-AVR模型對農(nóng)產(chǎn)品價格進行了分析及預測，表明了農(nóng)產(chǎn)品價格在較短時期內(nèi)的變化趨勢，同時證明了APSO-AVR模型能夠較為準確地對未來價格變動進行預測，精度較高[6,7]；通過EMD-AVR模型對農(nóng)產(chǎn)品價格進行預測，結(jié)果證明該模型擬合程度較好，具有較高準確性[8,9]；通過灰色預測GM(1,1)模型，將農(nóng)產(chǎn)品價格進行模擬，以此驗證該模型的預測能力[10]；使用ARIMA模型對價格進行了短期預測，充分研究了該模型在對農(nóng)產(chǎn)品價格的預測上的準確度和優(yōu)越性，可根據(jù)預測結(jié)果為決策提供理論依據(jù)及現(xiàn)實依據(jù)[11-13]；運用各種組合模型對農(nóng)產(chǎn)品價格進行預測，得出了組合預測模型的準確度相較于單一預測模型普遍更好，能夠更加準確且合理地對農(nóng)產(chǎn)品價格進行預測[14]。

2 資料來源與統(tǒng)計方法

2.1 數(shù)據(jù)來源

本文所使用的河北省玉米價格數(shù)據(jù)來源于中國畜牧業(yè)信息網(wǎng)2011年8月—2020年11月河北省14%水分的玉米價格數(shù)據(jù)。

2.2 統(tǒng)計方法

本文選取ARIMA模型對河北省玉米價格進行預測，該模型是近年來最適合對價格進行短期預測的模型之一。ARIMA(p，d，q)為該模型的標準式，其中的p指代的是AR的階數(shù)、q指代的是MA的階數(shù)、d指代的是價格數(shù)列通過平穩(wěn)性檢驗時進行差分的次數(shù)。

ARIMA模型分析流程如下：通過對河北省玉米價格進行初步觀察，并作線型圖簡單判斷該價格序列是否平穩(wěn)；無法判斷時對原始價格數(shù)列進行ADF檢驗，根據(jù)所得結(jié)果確定該價格數(shù)列是否平穩(wěn)；如果原始序列不平穩(wěn)，則將原始時間序列進行差分，并對差分后的時間序列進行ADF檢驗，直到成功通過ADF檢驗得到平穩(wěn)的序列；通過AIC和SC確定模型的滯后階數(shù)，對模型進行定階，并對所建立的模型進行檢驗，根據(jù)驗證其擬合優(yōu)度，確定其是否可行；接著進行殘差檢驗，確定模型是否存在自相關性；最后模型通過檢驗后，根據(jù)所建立的模型來對河北省玉米價格進行短期的預測和分析。

3 ARIMA模型的構建與應用

3.1 模型原理

該模型是通過擴展ARMA模型得到的更科學且符合價格變化的模型。其中含有AR模型，MA模型和ARMA模型3類。

將自回歸模型稱之為AR(p)，表達公式：

yt=λ1yt-1+λ2yt-2+…+λpyt-p+ut

式中，λ1、λ2、…、λp為自回歸相關數(shù)；ut為無法找到相關規(guī)律的白噪聲；yt為p個滯后變量加權之后所得的和與白噪聲相加得到的p階自回歸變量。

將移動平均模型稱之為MA(q)，表達公式：

yt=ut+θ1ut-1+θ2ut-2+…+θqut-q=(1+θ1L+θ2L2+…+θqLq)ut=L)ut

式中，θ1、θ2、…、θq為移動平均相關數(shù)；ut為無法找到相關規(guī)律的白噪聲；MA(q)為將q+1個白噪聲和白噪聲滯后項進行加權后的和。稱呼MA(q)為q次移動平均計算。

將自回歸移動平均模型稱之為ARMA(p，q)，ARMA(p，q)的定義為模型中既有自回歸成分，又有移動平均成分，兩者同時作用于該模型之中。模型里p為自回歸成分里的相關階數(shù)，q指代的是移動平均成分中最大的相關階數(shù)。ARMA(p，q)的表達公式：

yt=λ1yt-1+λ2yt-2+…+λpyt-p+ut+θ1ut-1+θ2ut-2+…+θqut-q

即(1-λ1L-λ2L2-…-λpLp)yt=(1+θ1L+θ2L2+…+θqLq)ut

ARMA(p，q)模型中，AR部分決定了該模型是否平穩(wěn)，若平穩(wěn)，則(L)=0的全部根的絕對值>1。MA部分決定了該模型是否可逆，其中(L)=0的根的絕對值應該>1。

如果原序列是單整的非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，則將非平穩(wěn)數(shù)據(jù)進行差分，直到差分至數(shù)據(jù)穩(wěn)定后分別對數(shù)據(jù)進行AR(p)，MA(q)，ARMA(p，q)建模處理。

ARIMA(p，d，q)模型的建立，關鍵點在于p，d，q這3個數(shù)如何進行確定。需要針對d進行判斷，方式為對所研究的價格數(shù)列進行單位根檢驗，依據(jù)檢驗結(jié)果確定是否平穩(wěn)，假使沒有通過單位根檢驗，那么將該價格數(shù)列進行差分，重新通過單位根檢驗判斷是否平穩(wěn)，在通過d次差分后得到了一個穩(wěn)定的數(shù)列，那么將該模型的d定義為差分次數(shù)，而后使用平穩(wěn)的差分數(shù)列建立模型。需要根據(jù)自相關函數(shù)確定p的值，跟據(jù)偏相關函數(shù)來判斷q的值。

自回歸移動平均過程，ARIMA(p，d，q)表達公式：

Wold分解定理表明，所有協(xié)方差的平穩(wěn)程序yt，都可以用下面的公式闡述：

yt-μ-dt=ut+1ut-1+

ut=yt-E(ytyt-1，yt-2，…)

對于常見的ARMA(p，q)模型，(L)yt=+(L)ut，yt的期望：

這就是漂移項與均值的關系，所以公式也可以寫為：

Φ(L)(yt-μ)=(L)ut

3.2 平穩(wěn)性檢驗

當時間序列為平穩(wěn)序列的時候，該序列的均值、方差和協(xié)方差應當在一定時間段內(nèi)維持一定程度上的穩(wěn)定，在該時間范圍內(nèi)，序列應當符合相對程度上的概率分布。而對于非平穩(wěn)序列來說，如果時間序列為非平穩(wěn)序列，該序列均值、方差和協(xié)方差的值會伴隨時間的變化而發(fā)生變化。由此導致了非平穩(wěn)序列很難通過計量經(jīng)濟模型分析出其內(nèi)在的關系，從而難以對未來的序列進行預測。在現(xiàn)實情況下的分析過程中，大部分的價格序列都處于非平穩(wěn)狀態(tài)。所以如果所研究序列是非平穩(wěn)序列，應當通過差分或取對數(shù)將該序列變成平穩(wěn)序列。

本文通過ADF檢驗方法對數(shù)據(jù)Y進行平穩(wěn)性檢驗，檢驗結(jié)果如圖1所示。

圖1 Y的ADF檢驗結(jié)果

由ADF檢驗結(jié)果可知，變量Y的ADF檢驗統(tǒng)計量為-1.8505，相應的P值為0.3545，>0.05，因此在5%的顯著性水平下接受原假設，即數(shù)據(jù)Y是非平穩(wěn)序列，對變量Y進行一階差分，得到變量DY，對DY再次進行平穩(wěn)性檢驗，結(jié)果如圖2所示。

圖2 DY的ADF檢驗結(jié)果

由ADF檢驗結(jié)果可知，變量DY的ADF檢驗統(tǒng)計量為-9.162，相應的P值為0.000，遠<0.05，因此在5%的顯著性水平下拒絕原假設，即數(shù)據(jù)DY是平穩(wěn)序列，符合建立ARMA模型的平穩(wěn)性條件。

ARMA模型建立本節(jié)對Y數(shù)據(jù)建立ARIMA模型。ARIMA(p，d，q)模型通過AC，PAC最小信息準則來確定階數(shù)，本文針對常見的p，q取值，進行比較，來確定最后滯后階數(shù)，本文通過各個模型比較可知，模型ARIMA(2，1，2)的AC值和PAC值最小，說明該模型對數(shù)據(jù)的擬合效果最好，因此本文最終確定模型為ARIMA(2，1，2)。具體模型回歸結(jié)果如圖3所示。

DYt=0.0019-0.5088DYt-1-0.8782DYt-2+0.5855μt-1+0.9599μt-2

T=(0.27)(-12.24)(-22.89)(28.53)(64.92)

R2=0.1004 F=2.84(P=0.0000)

由以上回歸結(jié)果可知，所有回歸系數(shù)在5%顯著性水平下都是顯著的，模型的擬合系數(shù)為0.1004，模型的F統(tǒng)計量為2.84，對應的P值<0.05，說明模型整體在5%顯著性水平下是顯著的。

3.3 殘差檢驗

當使用針對價格數(shù)據(jù)開展時間序列研究時，必須要求所研究的價格序列可以準確地對未來進行預測，因此要求在進行預測的時候該價格時間序列中的數(shù)據(jù)必須相互關聯(lián)。如果價格序列中各項價格數(shù)據(jù)間關聯(lián)度極小或者沒有關聯(lián)性，則無法選取該價格時間序列進行分析及預測。

當所研究的序列之間無法找到相關規(guī)律，那么將該序列屬于白噪聲序列。原假設假定于在m期之間序列之間不具備相關性，無法從價格數(shù)據(jù)中得出準確且合理的聯(lián)系，備擇假設假定價格數(shù)列之間具有相關性，序列之間互相聯(lián)系。對模型的殘差進行自相關偏相關檢驗，通過檢驗結(jié)果對價格時間序列進行驗證，從而確定該價格時間序列是否具有相關性。

模型殘差檢驗對所構建的ARIMA(2，1，2)模型的殘差進行自相關偏自相關檢驗，以下為針對河北省玉米價格所得模型的檢驗圖(圖4)。

圖4 自相關偏相關檢驗圖

由以上檢驗結(jié)果可知，模型殘差的自相關和偏自相關值全部比臨界值更小，Q統(tǒng)計量對應的P值比0.05大，說明在5%顯著性水平下，模型的殘差不存在自相關性。即說明模型能夠較好的刻畫數(shù)據(jù)特征，模型結(jié)果較為理想。

3.4 模型預測結(jié)果

當所用數(shù)列通過檢驗后，根據(jù)ARIMA模型開始作出預測。由上文分析結(jié)論確定運用ARIMA(2，1，2)根據(jù)2011—2020年河北省玉米價格數(shù)據(jù)為基礎來對未來價格作出預測，從而證實了所建模型ARIMA(2，1，2)具有良好的可信度。根據(jù)所得的預測(圖5)進行處理分析，其真實價格處于預測的置信區(qū)間之中，這個結(jié)果證明了所建立的模型有著良好的擬合度，能夠較為準確地對河北省玉米價格作出預測。

圖5 模型預測結(jié)果

根據(jù)上述結(jié)果的相關數(shù)值可以從計量經(jīng)濟的方面對預測情況進行科學合理的表述，其中錫爾不相等系數(shù)是0.015603，其數(shù)值明顯<0.05；偏相關系數(shù)的值是0.000004，該數(shù)值代表著本預測具有極高的擬合度，方差比率的數(shù)值是0.027157，以上三者都能有效證明所研究的結(jié)果具備著較高準確度。相關數(shù)值里面協(xié)方差比率的值是0.972840，其非常靠近1，出現(xiàn)這種結(jié)果則有力證明了該模型具有很高的可信度。但協(xié)方差比率的值很高的時候，意味著偏差極小。也就驗證了預測結(jié)果同真實價格數(shù)據(jù)極其相似。

4 結(jié)論

本文用時間序列分析的ARIMA模型對河北省玉米價格變化情況進行了預測研究，建立了結(jié)構為ARIMA(2，1，2)的模型，并且用該模型對2011年8月—2020年10月的河北省玉米價格進行了分析，并預測了2020年11月—2021年6月河北省玉米價格的變化情況。模型預測結(jié)果表明2020年9—10月價格達到頂點，然后在接下來的6個月中將處于持續(xù)下行趨勢。

該模型可以很好地預測河北省玉米價格變化情況。但是由于價格序列在實際分析中會隨著多種影響因素的變化而變化，所以序列中的所有價格普遍具有隨機性，當利用過去的真實價格數(shù)據(jù)進行預測時，不可避免地會存在一定誤差，因此更適用于短期預測。應當通過不斷更新數(shù)據(jù)對所建立的模型進行補充及修正，使得預測更為精確。