兩點電荷電場中場強的極值點與單調性

李新良

（泰興中學 江蘇 泰興 225400）

《物理通報》2010年第9期《兩等量同號點電荷中垂線上場強的極大點》一文，通過逼近法找出了場強極大點．筆者認為雖然實踐中可操作，但理論上不精確，而且不能反映場強變化的單調性．本文對幾種電場的場強的極值點和單調性的判斷進行了完整的數學推導，并用幾何畫板作圖研究場強隨空間位置的變化，使人們對單調性有直觀感受．

1 等量同號點電荷中垂線上的場強

如圖1所示，點電荷A，B帶電荷量均為＋Q，相距2L，連線AB中點為O．中垂線上某點P的合場強為

圖1

先討論極值，令f（α）＝sinαcos2α，求導可得

令f′（α）＝0，則有

查三角函數表知α＝35．264°，即α＝0．196π時中垂線上場強出現極值．再討論單調性，由

可知，f′（α）的正負僅取決于（cosα－槡2 sinα）的正負．所以當0≤α＜35．264°時，f′（α）＞0，場強E單調遞增；當35．264°＜α＜90°時，f′（α）＜0，場強E單調遞減；當α＝35．264°時，f′（α）＝0，場強出現極大值．以上結論具有普適性．如圖2，利用幾何畫板作出函數f（x）＝sin x cos2x的圖像，在0～區間可以直觀驗證上述普適結論．

圖2 幾何畫板1

2 等量異號點電荷連線之間的場強

如圖3所示，點電荷A，B帶電荷量分別為＋Q和－Q，相距2L，連線AB中點為O，連線AB之間有一點P，設PO＝l（0≤l＜L），則P點場強為

圖3

經分析，AO之間場強E將隨l的增大而單調增大．根據對稱性，連線AB之間O點場強最小，離O越遠，場強越大，這一結論也能由電場線疏密定性得出．如圖4，以L為一個長度單位，利用幾何畫板作出函數的圖像，在0～1區間單調遞增，也能驗證上述結論．

圖4 幾何畫板2

3 不等量異號點電荷連線之外的場強

如圖5所示，點電荷A，B帶電荷量分別為＋Q，－q，相距L．現討論直線AB上B點右側各點的場強．B點右側取一點P，以水平向右為正方向，則P點場強為

圖5

引入函數

求導可得

分別令f（x1）＝0，f′（x2）＝0．解得

因為n＞1，所以x2＞x1＞0，通過討論f（x）、f′（x）的正負，并考慮到函數的單調性與矢量單調性的聯系與區別，就能得到場強E的方向及單調性，結論見表1．

表1

由表1可知，場強極大值出現在x＝x2處．同樣，以L為一個長度單位，取n＝4，則

如圖6，利用幾何畫板作出函數f（x）的圖像，能夠對上述結論進行枚舉法驗證．

圖6 幾何畫板3