數(shù)形結(jié)合思想與高考數(shù)學(xué)解題技巧研究

肖立群

摘要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的精髓、靈魂所在，在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法是一個(gè)難點(diǎn)所在，學(xué)生普遍對數(shù)學(xué)思想方法了解不深入，反應(yīng)學(xué)習(xí)困難，在解題時(shí)，不能做到活學(xué)活用，導(dǎo)致解題效率不高，正確率偏低。本文以數(shù)形結(jié)合思想作為切入點(diǎn)，探討了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用原則，總結(jié)數(shù)形結(jié)合思想與高考數(shù)學(xué)解題技巧的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;高考數(shù)學(xué);解題技巧;研究

數(shù)形結(jié)合思想，即根據(jù)數(shù)、形對應(yīng)關(guān)系，通過兩者之間的轉(zhuǎn)化來解決問題，有“以數(shù)輔形”、“以形助數(shù)”兩個(gè)方法，在高考數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想也是常用方法。從近幾年高考數(shù)學(xué)試題來看，關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的考察，主要為客觀題，應(yīng)用這一思想，能夠讓抽象的數(shù)學(xué)問題變得形象、直觀，幫助學(xué)生將抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，幫助其掌握問題本質(zhì)，優(yōu)化解題過程，激發(fā)出學(xué)生的解題靈感。

1 數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用原則

數(shù)學(xué)這一學(xué)科的研究對象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式，在數(shù)形結(jié)合思想中，“數(shù)”是數(shù)量關(guān)系，“形”是空間形式，兩者之間相互依存，在某些條件下，數(shù)、形之間可以相互轉(zhuǎn)化，在研究數(shù)量關(guān)系時(shí)，經(jīng)常會使用到圖形，在研究數(shù)學(xué)圖形時(shí)，常常要借助數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)解題中的基本思想、方法，根據(jù)條件、結(jié)論聯(lián)系來分析代數(shù)含義，揭示其中的幾何直觀，在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用范圍廣泛，為數(shù)學(xué)問題的解決提供了全新思路，利用數(shù)來分析形的性質(zhì)，由形想數(shù)，能夠簡化解題思路，將難度較高的數(shù)學(xué)問題化難為易。在數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用上，需要遵循幾個(gè)原則：①等價(jià)性原則：數(shù)形結(jié)合思想中的“數(shù)”、“形”轉(zhuǎn)換應(yīng)當(dāng)是等價(jià)的，如果構(gòu)圖不準(zhǔn)確或者存在誤差，很容易導(dǎo)致解題錯(cuò)誤;②雙向性原則：數(shù)形結(jié)合思想既涉及代數(shù)抽象問題，又涉及幾何圖形的直觀問題，利用代數(shù)關(guān)系來替代幾何直觀圖形，能夠避免在構(gòu)圖分析上的種種局限，用圖形代替代數(shù)關(guān)系，則變得更加直觀;③直觀性原則：在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，既要發(fā)揮出坐標(biāo)、圖形的作用，還要借助圖形演示、模擬列表讓抽象的內(nèi)容變得具體、直觀。如，在關(guān)于積分的教學(xué)上，即可應(yīng)用黎曼用分割法求積分思想來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生對積分產(chǎn)生直觀理解;④簡潔性原則：簡潔性原則要求在轉(zhuǎn)換時(shí)，確保構(gòu)圖的合理、簡單，代數(shù)要做到計(jì)算簡潔，幾何構(gòu)圖要直觀、完善，減少繁瑣、復(fù)雜的運(yùn)算，降低解題難度，做到化難為易，化繁為簡。

2 數(shù)形結(jié)合思想與高考數(shù)學(xué)解題技巧

2.1 數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)問題

函數(shù)圖象，其本質(zhì)是一種函數(shù)關(guān)系，是從形上來表達(dá)函數(shù)表換，為數(shù)量問題的研究提供了直觀的“形”，圖象、解析式是表達(dá)函數(shù)關(guān)系的主要形式，在解題時(shí)，經(jīng)常需要轉(zhuǎn)化。例如，在求函數(shù)最值時(shí)，有的問題比較復(fù)雜，計(jì)算量較大，在解題時(shí)，就需要轉(zhuǎn)變思維方法，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)代數(shù)式中的幾何圖形來求解最大值、最小值。代數(shù)的幾何意義非常多，代表性的如：①直線斜率;②兩點(diǎn)距離;③直線縱截距;④圓錐曲線問題。

關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用，主要包括幾個(gè)方面：

第一，函數(shù)對稱性

函數(shù)圖像可以反映出解題關(guān)鍵點(diǎn)，如函數(shù)奇偶性、函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸焦點(diǎn)，在解題時(shí)，可以根據(jù)題干函數(shù)圖像來分析其中的信息，構(gòu)建完整的函數(shù)表達(dá)式，繪制草圖，從圖像中分析規(guī)律，解答問題。

第二，函數(shù)大小對比

在函數(shù)的大小對比上，也可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式，在解決填空題時(shí)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，能夠提高解題效率，對于函數(shù)大小的對比，在涉及兩個(gè)以上變量或者題目內(nèi)容復(fù)雜的情況下，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，可以迅速畫出草圖，得出函數(shù)圖像交點(diǎn)與問題的相關(guān)信息，省略計(jì)算步驟，高效得出正確答案。

第三，三角函數(shù)

高考中的三角函數(shù)內(nèi)容，一般要求學(xué)生得出具體函數(shù)解析式，求出特定點(diǎn)函數(shù)，在三角函數(shù)中，涉及圖像、周期、特殊點(diǎn)幾個(gè)內(nèi)容，只要掌握三角函數(shù)的圖像畫法，根據(jù)周期、振幅等數(shù)值，即可求得答案。

2.2 數(shù)形結(jié)合思想與方程、不等式問題

在解決高考中的方程問題上，數(shù)形結(jié)合思想也具有廣泛應(yīng)用，對于方程，可以將其轉(zhuǎn)化為，也可以將其看做與圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在解題時(shí)，只要繪制出函數(shù)圖像，就可以清晰看到交點(diǎn)位置、坐標(biāo)，根據(jù)上述信息來求解。在高考的選擇題中，不涉及解題過程，利用數(shù)形結(jié)合思想，能夠簡化解題思路，節(jié)約時(shí)間。在解決計(jì)算題時(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想，能夠迅速判斷出結(jié)果的對錯(cuò)。

2.3 數(shù)形結(jié)合思想與線性規(guī)劃問題

在高中階段的線性規(guī)劃知識內(nèi)容，難度不高，一般情況下，是直線方程的簡單應(yīng)用，在高考題目中，有時(shí)會結(jié)合圓錐曲線、圓來考察，難度較高。在高考試題中，線性規(guī)劃問題多為中檔題，在解決此類問題時(shí)，可以根據(jù)具體題型特點(diǎn)來應(yīng)用函數(shù)圖像。如，在下題中：

在平面指標(biāo)坐標(biāo)系xOy中，A（-12，0）、B（0，6），點(diǎn)P在圓O上，如果，那么P橫坐標(biāo)取值范圍為：

上述問題涉及的就是圓與直線位置關(guān)系，P橫坐標(biāo)取值范圍代表其具體的軌跡與區(qū)域，在解題時(shí)，可以根據(jù)題意來畫圖，從圖像區(qū)域中分析P點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（x，y），代入題中條件，得出不等式，結(jié)合圖像即可得出具體的取值范圍。

3 結(jié)語

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的揭示，也是對數(shù)學(xué)事實(shí)、理論概括、抽象后的認(rèn)識，在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)、形是兩個(gè)基本研究對象，利用數(shù)形結(jié)合思想，很多難題都可以迎刃而解。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要深刻認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想的作用與價(jià)值，認(rèn)真分析，正確對待，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況來制定教學(xué)方法，使學(xué)生做到知其然、又知其所以然，提升學(xué)生的解題能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的靈活性。

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