基于弗賴登塔爾教育思想的“任意角三角的函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

叢彥明 馬曉慧

數(shù)學(xué)來源于生活，最終也要為生活所用，所以教師要善于將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際相聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生在合適的教學(xué)情境中思考、探究，以形成數(shù)學(xué)知識(shí)框架。教師需要為學(xué)生提供應(yīng)用知識(shí)的途徑，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出整個(gè)信息加工的過程。

如三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)多且關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，與任意角的三角函數(shù)概念相關(guān)聯(lián)的，有任意角、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖像與性質(zhì)等。當(dāng)下，學(xué)生已掌握銳角三角函數(shù)，但當(dāng)角的范圍擴(kuò)大到任意角時(shí)，學(xué)生經(jīng)常把任意角的三角函數(shù)看作是銳角三角函數(shù)的一般化形式，不能很好地從函數(shù)角度分析和解決問題。下面，筆者以弗賴登塔爾的教育思想為理論基礎(chǔ)，重新思考任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)，突出邏輯性和思維性，優(yōu)化教學(xué)過程。

一、教學(xué)目標(biāo)

第一，知識(shí)與技能目標(biāo)是掌握任意角的三角函數(shù)的概念及其蘊(yùn)含的函數(shù)思想。

第二，過程與方法目標(biāo)是從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，借助單位圓與角的終邊的交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，探究概念及其性質(zhì)。

第三，情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)是體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)生成過程。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)是理解并掌握定義、求三角函數(shù)值 。教學(xué)難點(diǎn)是理解任意角的三角函數(shù)概念及其性質(zhì)。

三、教學(xué)過程

教師提問：“求30度和60度的三角函數(shù)值?！睂W(xué)生主動(dòng)回答后，教師再提問：“你們是怎么求得這些值的？那么sinα，cosα，tanα怎么求？”

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)來創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在頭腦中將新問題與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，從而減少了數(shù)學(xué)的抽象性，提高了課堂教學(xué)效率。

問題1：從名稱上看，銳角和任意角的區(qū)別在角的范圍，說一說任意角是什么？

問題2：結(jié)合任意角特有的性質(zhì)，給任意角的三角函數(shù)下定義。

問題3：如圖1所示，設(shè)單位圓與角的終邊相交于上點(diǎn)P（x，y），過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)M，那么sinα，cosα，tanα怎么求？

問題4：如圖2所示，改變點(diǎn)P的位置，三角函數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化？

問題5：如圖3所示，當(dāng)|OP|=1時(shí)，此時(shí)三角函數(shù)會(huì)發(fā)生什么變化？

問題6：比較兩組公式，有什么發(fā)現(xiàn)？

問題7：三角函數(shù)起源于古人對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的研究，是一種周期性函數(shù)。哪組公式可以反映任意角的三角函數(shù)概念的本質(zhì)？

通過分析，可得任意角的三角函數(shù)定義為：設(shè)α是任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么：①y叫作α的正弦，記作sinα，即sinα=y;②x叫作α的余弦，記作cosα，即cosα=x;③比值叫作α的正切，記作tanα，即tanα=（x≠0）。

問題8：從這三個(gè)表達(dá)式中，是否能找出其蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生從數(shù)學(xué)情境出發(fā)，尋求任意角的三角函數(shù)的定義。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過類比確定任意角的三角函數(shù)的概念，此過程即為數(shù)學(xué)化。

課堂練習(xí)：書上例1、例2。

設(shè)計(jì)意圖：通過習(xí)題訓(xùn)練達(dá)到數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)的目的，即再創(chuàng)造，這有助于鞏固和深化學(xué)生對(duì)概念的理解，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，做到學(xué)以致用。

在這個(gè)過程中，教師可以提問：“談一談，你收獲了什么，還有哪些困惑？”學(xué)生回答后，再由教師進(jìn)行整理。

設(shè)計(jì)意圖：以問題的形式讓學(xué)生歸納所學(xué)，及時(shí)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化了學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（作者單位：貴州師范大學(xué)）