用向量方法解立體幾何的解題策略

黃詩賢

【摘要】對大多數學生來說，三維幾何是很難學的，若單純用幾何方法來解決立體幾何問題，他們常感到一籌莫展，無從下手。向量法為解決立體幾何問題提供了一種新的途徑，使幾何形狀與數協調統一，形成了一套相對固定的模式，具有較高的可操作性，深受學生的青睞。本文就立體幾何中的向量方法的解題策略提出一些意見。

【關鍵詞】向量法 ?解題策略 ?數學建模

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）43-0099-03

一、向量法證明平行或垂直關系

在空間圖形中，平行與垂直關系是很常見的關系，用向量方法證明，解法相對固定，容易入手。

充分挖掘圖形中的垂直關系，建立空間直角坐標系，將相關直線的方向向量、相關平面的法向量求出來并進行向量運算，依據計算結果，確認相應的關系，轉譯并作出判斷。

二、用向量法處理距離問題

立體幾何中涉及的距離問題較多，如兩點距離，點、線與面的距離，異面直線的距離。

用向量來處理此類問題，則思路簡單，解法清晰固定。

（3）線與面的距離，異面直線的距離，可轉化成點到平面的距離。

三、用向量法求空間角

立體幾何中涉及的空間角有兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角，以及二面角。

解題策略：

二面角問題是高考熱點，如何求二面角？有兩種做法，第一種可以用幾何法作出二面角的平面角求解，對一部分題目而言，能較輕松做出二面角，并求出二面角。第二種方法是用向量法求解，但要注意運算。解題時應注意以下兩點：

1.求法向量時，利用向量垂直時盡可能用平行坐標軸（面）的向量，簡化運算。

2.二面角是銳角還是鈍角的判斷，可借助幾何圖形直觀判斷，若在圖形中不易看出，可根據兩個半平面的法向量的方向判斷。

四、向量法解立體幾何中的探究性問題

立體幾何中的探究性問題立意新穎，形式多變，令人耳目一新，近年來在高考中時有出現，向量法在解決此類問題扮演著舉足輕重的角色，為分析和解決立體幾何中的探究性問題另辟蹊徑，提供了全新的視角。

1.立體幾何中的條件探索型問題

基本特征：結論明確，但需探索條件或增刪條件、或判斷條件正誤。此類問題的難點是如何“執果索因”。需注意切勿把必要條件當作充分條件，不考慮推理過程的可逆與否。

而方程③沒有實數根，所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到P、B、C、D的距離都相等。

解題策略：

1.立體幾何中存在性問題的解題策略是：假設結論成立，并進行邏輯推理，若推出與已知相符的結論，則說明假設成立，即存在。得出與已知矛盾的結論，說明假設不成立，即不存在。

2.立體幾何中的結論探索型問題的解題策略是：要把所求的問題轉化成我們熟悉的問題，如距離問題、角度問題、最大值與最小值問題，從條件出發，經過嚴密推理和計算，得到結論。

高中數學教學不僅僅是知識和技能的傳授，更重要的是數學思想的熏陶以及數學核心素養的養成。數學核心素養對人的發展有著深遠的影響。新課程標準要求學有價值的數學，要培養學生的數學核心素養。數學核心素養之一就是要有數學建模能力。向量法就是對立體幾何問題進行數學建模，提升學生的實際應用能力，培養學生的創新意識。

參考文獻：

[1]曹超，呂增峰.《例談用向量法解立體幾何教學的“誤區”》，《教學導航》2014年第6期.

[2]徐皓亮.《向量法解立體幾何問題的坐標系的建立》，《高中數理化》2011年23期.