注重深度思考，追求深刻理解

靳穎

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);方與圓;深度學(xué)習(xí);深度思考;深刻理解

【背景】

教學(xué)這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了圓、長(zhǎng)方體、正方體以及百分?jǐn)?shù)的相關(guān)知識(shí)，并能綜合應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題。圓的面積以及與圓有關(guān)的組合圖形面積的練習(xí)靈活多變、計(jì)算煩瑣，學(xué)生解題易錯(cuò)。筆者認(rèn)為，教師對(duì)于方與圓的教學(xué)不能囿于課本、淺嘗輒止，而應(yīng)依據(jù)方與圓的組合中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)規(guī)律，設(shè)計(jì)相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，讓知識(shí)的本質(zhì)活起來(lái)，讓學(xué)生的思維動(dòng)起來(lái)，從而使學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。因此，筆者將方與圓這兩個(gè)有著密切聯(lián)系的內(nèi)容整合設(shè)計(jì)成一節(jié)課——《神奇的方與圓》，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由易到難、由薄到厚，循序漸進(jìn)地進(jìn)行探究，尋求方與圓之間“你中有我”“我中有你”的神秘關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并找出規(guī)律。同時(shí)，將數(shù)學(xué)知識(shí)延伸至生活，將“生活中的數(shù)學(xué)”引入課堂，充分利用學(xué)習(xí)資源促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，將知識(shí)生活化，讓數(shù)學(xué)思維化。

【教學(xué)過(guò)程及分析】

一、談話引入，提出問(wèn)題

師（出示北京天壇照片）：這是老師假期出去旅游時(shí)拍攝的照片，知道是哪里嗎？（北京天壇）建筑師們?cè)谠O(shè)計(jì)此建筑時(shí)考慮到哪些幾何元素？（方形、圓形……）（出示天壇的俯視圖）看到這張圖，你想到了什么？（沒(méi)有規(guī)矩不成方圓、外方內(nèi)圓、天圓地方……）你能和大家說(shuō)說(shuō)天圓地方是什么意思嗎？老師給大家?guī)?lái)了幾張圖片，如果用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)觀察，你看到了什么？

生：圓和正方形組合在一起，外圓內(nèi)方，外方內(nèi)圓……

師：這節(jié)課，我們就一起走進(jìn)方與圓的世界，共同探究方圓之間的奧秘。

學(xué)生在欣賞北京天壇照片的過(guò)程中，感悟到中國(guó)自古以來(lái)就有“天圓地方”之說(shuō)。在欣賞中國(guó)古代建筑中經(jīng)典造型圖案時(shí)，激起了學(xué)生探索方圓之間奧秘的欲望。

二、自主探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1. 初步探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

（1）觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

師（出示幾個(gè)具有正方形內(nèi)接圓特征的圖形）：這些圖形有什么共同特征？

生1：這些圖形都是由一個(gè)正方形和一個(gè)圓組成的。

生2：正方形里都有一個(gè)圓，都是正方形內(nèi)最大的圓。

師：觀察得真仔細(xì)！是的，正方形內(nèi)都有一個(gè)最大的圓。如果給出正方形的面積，你能求出正方形內(nèi)最大圓的面積嗎？

（2）探究解決問(wèn)題（出示研究單1，如圖1）

學(xué)生獨(dú)立探究后匯報(bào)展示：

第一題：方法一是直接算出圓的半徑r 再求圓的面積;方法二是通過(guò)做輔助線，直觀看到這個(gè)正方形面積的四分之一就是r2，知道r2 就能求出圓的面積。

第二題：用40÷4把正方形的面積40cm2平均分成4 份，求出一個(gè)小正方形的面積是10cm2，一個(gè)小正方形的面積是r2即r2=10，從而算出圓的面積是10πcm2。

師：對(duì)比這三道題，第一題可以先直接求出r，也可以先直接求出r2，再計(jì)算圓的面積。后兩題能直接求出r 嗎？（不能）后兩題借助輔助線，可直接求出r2，再求出圓的面積。大家都很聰明，能根據(jù)具體問(wèn)題，采用靈活變通的方法解決問(wèn)題。

（3）探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律師：觀察比較表格中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什

么？（展示學(xué)習(xí)單并匯報(bào)）

生1：我發(fā)現(xiàn)正方形的面積與圓的面積之比是4∶π。

生2：圓的面積∶正方形的面積=π∶4。

生3：圓的面積是正方形面積的π4，我是用分?jǐn)?shù)來(lái)表示的。

師：非常好！還有不同的表示方法嗎？

生4：正方形的面積除以圓的面積等于π4，正方形的面積是圓的面積的78.5%。

師：如果我們統(tǒng)一用圓的面積比正方形的面積等于π∶4，它的比值就是——（π4），比值化成小數(shù)是多少？（0.785 ）（ 板書(shū)：S圓∶S正= π∶4=0.785）

例題的設(shè)計(jì)由易到難，層次分明。正方形的面積由36到40再到a，解題的難度逐步加大，學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形的面積是36時(shí)，可以求出r，也可以求出r?，但當(dāng)正方形面積為40或a時(shí)，學(xué)生利用現(xiàn)有知識(shí)不能直接求出r，只能通過(guò)添加輔助線另辟蹊徑求出r2，再求出圓的面積，呈現(xiàn)出靈活多樣的解題思路。學(xué)生親歷操作、觀察、比較和歸納等活動(dòng)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)了方中圓兩者之間的奧秘。

2. 深入探究，內(nèi)化規(guī)律

師：我們已經(jīng)探究出，在正方形內(nèi)畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的面積與正方形的面積之間的關(guān)系。如果在正方形內(nèi)畫(huà)四個(gè)盡可能大的等圓呢？（出示研究單2，如圖2）

學(xué)生獨(dú)立探究后匯報(bào)：有的學(xué)生將正方形的邊長(zhǎng)設(shè)為8cm，有的學(xué)生直接把圓的半徑設(shè)為r，都推出四個(gè)等圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4;有的學(xué)生把正方形的邊長(zhǎng)設(shè)為2cm，得出四個(gè)等圓的面積之和是正方形面積的π4;還有的學(xué)生把大正方形平均分成四個(gè)小正方形，由前面推出的在一個(gè)正方形里畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的面積與正方形的面積的比是π∶4，推出在四個(gè)小正方形中，相應(yīng)的圓與小正方形的面積之比是π∶4，從而類(lèi)推出四個(gè)等圓的面積之和∶正方形的面積=4π∶16=π∶4。

師：我們通過(guò)多種方法證明了四個(gè)等圓的面積之和與正方形的面積之間的關(guān)系。其實(shí)，直接利用前面得出的結(jié)論就可以推理得到。一個(gè)小圓的面積是小正方形面積的π4，大正方形內(nèi)四個(gè)等圓的面積之和就是這個(gè)大正方形面積的π4。猜想一下，你還能想到什么？

生1：8個(gè)圓。

生2：8個(gè)不行，必須是平方數(shù)，如3?=9、4?=16……36個(gè)、100個(gè)、10000個(gè)……

師：到現(xiàn)在為止，能用一句話來(lái)概括你們的發(fā)現(xiàn)嗎？

生1：圖形中圓的面積之和與正方形的面積之比是π∶4。

生2：每個(gè)圖中圓的面積之和都是正方形面積的78.5%。

生3：圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4=0.785。

此環(huán)節(jié)從正方形內(nèi)切一個(gè)圓延伸到正方形內(nèi)切四個(gè)圓，學(xué)生再次探究發(fā)現(xiàn)四個(gè)圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4，此時(shí)學(xué)生展開(kāi)想象的翅膀，正方形內(nèi)切9 個(gè)圓、16 個(gè)圓、25 個(gè)圓、100 個(gè)圓、10000 個(gè)圓…… 同樣存在這樣的關(guān)系——圓的面積之和∶正方形的面積=π∶4。探究?jī)?nèi)容從一般到特殊、由易到難、由少到多，學(xué)生積極主動(dòng)地投入“大膽猜想—驗(yàn)證數(shù)據(jù)—總結(jié)規(guī)律”的探究中，思維的大門(mén)逐步打開(kāi)，促成了數(shù)學(xué)思考，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、巧妙整合，融會(huì)貫通

1. 巧妙對(duì)比，拓展規(guī)律。

師：研究了正方形內(nèi)切等圓的面積與正方形的面積之間的關(guān)系，你們還想探究什么？

生：圓內(nèi)畫(huà)最大的正方形。

師：如果給出這些正方形的面積，你能求出相應(yīng)的外接圓的面積嗎？（出示研究單3，如圖3）

學(xué)生獨(dú)立探究后匯報(bào)：針對(duì)第一個(gè)圓內(nèi)接正方形，有的學(xué)生通過(guò)畫(huà)對(duì)角線，由正方形的面積=對(duì)角線×對(duì)角線÷2推出圓的直徑;有的學(xué)生通過(guò)畫(huà)對(duì)角線把正方形平均分成四個(gè)小等腰直角三角形，得出14正方形的面積=r2÷2，進(jìn)而求出r2;有的學(xué)生通過(guò)畫(huà)對(duì)角線把正方形平均分成兩個(gè)三角形，三角形的面積=底×高÷2，三角形的高=r，三角形的底=d=2r，從而算出三角形面積=2r×r÷2=r2，由正方形內(nèi)有兩個(gè)三角形推出r2=9。盡管方法不同，但大家都推出圓的面積是9πcm2。

在學(xué)生探究出方中圓兩者間關(guān)系的基礎(chǔ)上，順應(yīng)學(xué)生的思維接著探究圓中方兩者之間的關(guān)系，學(xué)生親歷從正、反兩個(gè)方向思考探究的過(guò)程，培養(yǎng)了從多角度思考問(wèn)題的意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)了逆向思維能力。

皮亞杰認(rèn)為，隨著學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的知識(shí)越來(lái)越多，應(yīng)引導(dǎo)他們認(rèn)清所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，主動(dòng)構(gòu)建認(rèn)知圖式。因此，教師順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，在探究方與圓兩者間關(guān)系的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生大膽想象把上面兩次研究的圖形組合在一起是怎樣的圖形，并引導(dǎo)學(xué)生探究三者之間的關(guān)系，讓單一知識(shí)聚合成結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的知識(shí)整體。

圓柱體的體積還沒(méi)有學(xué)習(xí)，但隨著教師的追問(wèn)，學(xué)生展開(kāi)想象的翅膀，借助已有長(zhǎng)（正）方體的相關(guān)知識(shí)和課中得出的規(guī)律推理出：正方體內(nèi)切1個(gè)、4個(gè)、9個(gè)……更多個(gè)最大的圓柱體，圓柱體積∶長(zhǎng)（正）方體體積=0.785;反之，圓柱體里內(nèi)接最大長(zhǎng)（正）方體，圓柱體積∶長(zhǎng)（正）方體體積=1.57。從面到體，從二維到三維，學(xué)習(xí)由淺入深，學(xué)生的思維得到了跨越式提升。

四、應(yīng)用規(guī)律，升華延伸

師：生活中也有一些神奇的數(shù)字，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)？

生：0.618。

師：這是大自然的杰作——黃金分割點(diǎn)，美麗的蒙娜麗莎、東方明珠中都有黃金分割點(diǎn)，芭蕾舞演員踮起腳尖跳舞也是為了出現(xiàn)黃金分割點(diǎn)，給觀眾帶來(lái)美的享受。在生活中，我們不能只看表面現(xiàn)象，還要透過(guò)表象看到蘊(yùn)藏在其中的數(shù)學(xué)奧秘。

結(jié)合生活中一些神奇的數(shù)，如0.618，使學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活并應(yīng)用于生活，體會(huì)數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感。

上述案例，筆者主要從以下兩方面進(jìn)行教學(xué)：一是精心選用素材，挖掘教育價(jià)值。三組學(xué)習(xí)素材（方中圓、圓中方和平面到立體）新穎且順應(yīng)學(xué)生的思維特征。整個(gè)探究過(guò)程由簡(jiǎn)到繁、由易到難、由少到多、由面到體，學(xué)生經(jīng)歷了由薄到厚積累知識(shí)的過(guò)程，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展順序，促進(jìn)了他們思維的提升和進(jìn)階。二是倡導(dǎo)深度教學(xué)，培育核心素養(yǎng)。這節(jié)課并不滿足于學(xué)生會(huì)求“方中圓”和“圓中方”的面積，通過(guò)“方中圓”和“圓中方”的相應(yīng)圖形的面積表象進(jìn)一步研究深層次的問(wèn)題，巧妙整合進(jìn)而拓展到三者、四者之間的關(guān)系，學(xué)生的探究逐步深入，思維的火花在不斷碰撞中自然迸發(fā)，學(xué)生自然步入深度學(xué)習(xí)、深度思考、深刻理解。