一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器

殷 勇，王福謙

（西南交通大學希望學院基礎部，成都 610400）

0 引言

有關文獻［1-10］分別討論了極板上帶有直縫隙、半圓柱凸起及球缺形突出疤等幾種平行板電容器的電場及其電容，并對非平行板電容器的電場和電容進行了研究。但對一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器的研究，相關文獻還未見報道。本文擬利用保角變換分析一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器內電場的分布規律，給出電勢和場強分布函數，并討論了導體脊對該電容器電容量和耐壓能力的影響。

1 電容器極板橫截面的保角變換

設平行板電容器的一極板上帶有垂導體直脊，導體脊沿著平行于該電容器極板一邊緣方向伸展，圖1為其橫截面，將該平面取為復平面z。

圖1 一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器橫截面

在z平面上，帶有垂直導體脊的電容器極板的橫截面位于x軸上，導體脊的位置為（a，0），高度為h，另一極板為平板，極板間距為1。忽略邊緣效應，該電容器內部的電場可視為二維場。為方便研究一極板帶垂直導體脊的平行板電容器內部的電場分布，可首先通過保角變換［11］：

將原來一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器的橫截面，映射為ζ平面上極板間距為1的平行板電容器的橫截面，如圖2 所示。

圖2 變換后平行板電容器的橫截面

2 電場分布及其數值模擬

2.1 電場分布

對于變換后的平行板電容器，其內部的電場為均勻場，即在ζ平面上的電場為均勻場，故電容器內部的電勢為

式中：E0為平行板電容器（不帶垂直導體脊的平行板電容器）內均勻電場的電場強度。

由式（1），有：

式（4）為一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器內電場的電勢分布解析式。由式（4）可得一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器的電場的復電勢為：

由復勢與場強的關系，可得一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器的場強的復數形式為：

2.2 場分布的數值模擬

為給出一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器電場分布的直觀圖像，以驗證本文所得結論的正確性，下面用數學軟件Matlab 對該電場分布進行數值模擬［12-13］，其電場線和等勢線的分布如圖3～6 所示。由圖3～5 可見，由于電容器極板上垂直導體脊的出現，改變了原來的場分布，使正常的平行板電容器的平行直線族電場線發生化變，而成為程度不同地脫離直線形狀的場線分布，等勢線（面）也產生彎曲，在導體脊附近明顯地成為曲線（面）。這說明，由于電容器極板上導體脊的出現，電場的分布發生了變化，變為非均勻電場，并且導體脊的高度h越大，對場的影響程度越大。當垂直導體脊消失時，電容器內的電場分布又回到原態（見圖6）。由圖3～6 可以看出，每一條電場線均垂直于等勢線（面）及導體表面，這一分布圖線科學合理，與預期結果一致。

圖3 一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器的電場

圖4 一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器的電場

圖5 一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器的電場

圖6 一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器的電場

3 導體脊對平行板電容器耐壓能力的影響

由圖3-5 中的電場線分布情況可以看出，在一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器內，導體脊頂部的場強最大，明顯地大于遠離脊處的近似均勻電場的場強。圖1 中電容器下極板導體脊頂部的坐標為x ＝a、y ＝h，為計算簡便計，取x ＝a ＝0，將此坐標值代入式（6），則得該處的場強復數形式為：

因電容器極板為‘無限大’，電容器下極板低脊位置總可以看作是位于其下極板的中點的，故取a ＝0 是合理的。由式（6）可得此電容器內導體脊頂部的場強Em與正常平行板電容器的場強E0的量值之比為

表1 |Em| ／E0 及Um／Um0隨h的變化情況

由表1 可見，即使h很小，導體脊頂部的場強也大于原來的均勻場。這說明，極板上垂直導體脊的出現，將使平行板電容器的耐壓能力降低，電容器的性能受到影響。

4 垂直導體脊對平行板電容器電容量的影響

設一極板帶有導體脊平行板電容器的極板的長和寬分別為L1和L2，極板間距為d ＝1，且滿足d2＜＜L1×L2，因為如圖1 所示的下極板接地，故對式（4）取x＝0、y ＝1，可得該電容器兩極板間的電壓為

電容器的帶電量可通過對上極板（平板）上的電荷面密度的積分得到

對式（10）利用Matlab 軟件作數值積分［14-16］求出極板帶電量，就可得知在極板面積和間距一定的情況下，極板上導體脊及其位置對平行板電容器的電容量的影響，相關數據見表2。

由表2 可見，由于一極板上垂直導體低脊的出現，平行板電容器的電容量將增大，且導體脊越高，電容量的增加量越大；且電容器的電容量還與導體脊在極板上的位置有關，導體脊愈靠近極板邊緣，其對電容量的影響越小；若導體脊高度很小時，即當h→0 時，則C→，回歸到正常平行板電容器的情形，為預期可結果。

表2 C／C0 隨h及a的變化情況

5 結語

計算機數值模擬研究已成為繼實驗研究和理論分析之外的第3 種研究手段，本文將理論分析與計算機數值模擬相結合，通過保角變換討論了一極板帶有垂直導體脊的平行板電容器內電場的分布規律，利用Matlab軟件實現了場分布的可視化，并分析了其耐壓能力和電容量隨導體脊高度的變化情況。本文為邊界復雜的靜電場邊值問題的求解，提供了一種思路和方法，可供異形電容器的性能的分析借鑒和參考。