基于HPM視角，促進深度學習

鄧蕓蕓

摘? 要：HPM指“數學史與數學教育”。借助數學史的相關內容，教師可以創設真實復雜的情境，強化情感驅動，在引導學生解決具有挑戰性問題的過程中，促進他們持續建構數學知識體系，培養高階思維，理解數學學科的核心思想方法，感悟數學的理性精神，實現深度學習。

關鍵詞：深度學習;小學數學;數學史

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），指“數學史與數學教育”，主要研究通過數學史提高數學教育的水平，借助數學史尋找數學教育的規律和經驗，把數學知識的歷史形態加工成便于教學的教育形態。深度學習是指在復雜真實的情境中，運用跨學科的知識技能，借助常規和非常規的思維方式解決問題，發展批判思維和創新能力，培養合作精神和交往能力的認知策略。借助數學史的相關內容，教師可以創設真實復雜的情境，強化情感驅動，在引導學生解決具有挑戰性問題的過程中，促進他們持續建構數學知識體系，培養高階思維，理解數學學科的核心思想方法，感悟數學的理性精神，實現深度學習。

一、創設情境，強化情感驅動

深度學習倡導學習者的主動性，強調學習者的主動投入，并保持積極的情感狀態。布魯納也曾指出，學習動機必須盡可能建立在喚起對所學內容的興趣的基礎上。數學史上的許多趣題，是絕佳的教學素材，運用這些素材創設真實而復雜的情境，能有效地促進兒童綜合運用各種知識技能，主動探究，讓深度學習真正發生。

師：大家聽說過阿拉伯數字嗎？阿拉伯數字是誰發明的呢？

生：我們平時寫的就是阿拉伯數字。應該是阿拉伯人發明的吧？

師：這是一個誤會，阿拉伯數字并不是阿拉伯人發明的，而是古印度人發明的，不過是阿拉伯人把它們傳到了歐洲，人們就以為是阿拉伯人發明的。

生：哦，原來是這樣。

師：把阿拉伯數字介紹到歐洲的是中世紀著名的數學家斐波那契。1202年，他出版了著名的《算盤書》。在這部名著中，他首先引入了阿拉伯數字。

師：在這本書里他提出了一個有趣的兔子問題。假定一對剛出生的小兔一個月后就能長成一對大兔，再過一個月就能生下一對小兔，并且以后每個月都生一對小兔。假定這些兔子一年內沒有發生任何死亡。那么，12個月后會有多少對兔子呢？

生：這個問題不簡單，但聽上去很好玩。

師：這個問題古往今來引起了很多研究者的興趣，而且這其中還蘊藏著很多數學秘密。今天我們一起來研究，好嗎？

問題是激起學生思維的地方根源，是驅動學生積極思考的誘因。以上問題來自數學史上的名著，是有名的數學家研究過的，情境真實有趣又富有挑戰性，學生的興趣被迅速地調動了起來，他們躍躍欲試，準備投入到問題的探究中去。

二、自主探索，參與知識生成

體驗和探究是深度學習必經之路，是核心素養形成的根本途徑。師生應以真實而富有挑戰的問題為核心，以探究為主要方式，通過個人、集體等多種形式，開展討論、質疑、表達等學習活動解決數學問題，在參與知識的形成中，發現數學規律，積累數學經驗，感悟數學思想，從而有效地實現深度學習。

師：這個問題，跟我們以前接觸過的問題相比，怎么樣？

生：有點復雜，條件特別多，有點難。

師：面對一個困難的問題，怎么辦呢？我們就放棄嗎？

生：不能放棄，要想辦法。

師：有什么辦法呢？道家的創始人、中國古代著名哲學家老子說過一句話：“天下難事，必作于易。”知道是什么意思嗎？

生：遇到一件難的事，咱們要想辦法把它轉化為一件更容易的事來做。

師：那這件事做起來的話，從第1個月到12個月，你覺得是前幾個月研究起來比較容易呢，還是后幾個月研究起來比較容易？

生：前幾個月。

師：那咱們就從前幾個月開始研究。每個人可以用自己的方法來研究，可以算一算，也可以畫一畫，也可以列舉。

師（幾分鐘后）：大家雖然都獨立思考得非常努力，但仍然還沒研究完。雖然“天下難事，必作于易”，但是這個問題對于我們來說，還不是那么容易，咱們光靠個人的智慧不夠，就要怎么樣？

生：要靠集體的智慧。

師：那我們就一起來研究。

師：第一個月有多少對兔子？

生：一對小兔子。

師：第二個月呢？一對大兔子是怎么來的？畫一畫。

生：第一個月的小兔子長大了。

師：第三個月呢？怎么來的？畫一畫。

生：第三個月有了一對大兔子還有一對小兔子。

師：這對大兔子和這對小兔子是怎么來的？

生：大兔子就是原來的大兔子，小兔子就是這對大兔子生下的小兔子。

師：第四個月呢？第五個月呢？……

參與探究的過程，學生不僅理解了每一個月兔子的來歷和數量，使得思維的清晰性、條理性得到了鍛煉，同時在此過程中還收獲了探究的策略、化繁為簡的思想以及合作的意識。他們體驗到了探索、創造的樂趣，對學習的內容也會產生更持久、深沉的興趣。

三、深度思辨，滲透思想方法

美國教育家布魯姆將思維過程具體化為記憶、理解、應用、分析、評價、創造，其中前三者通常被稱為低階思維，后三者通常被稱為高階思維。與淺層學習不同，深度學習必然指向高階思維，突出培養思維的綜合性、批判性、創新性，強調思辨性。在教學中，我們應以發展學生的高階思維為目標，注重數學學科的核心思想方法的滲透。

師：對照圖，仔細想一想，每個月兔子的對數和前面有什么聯系？

生：大兔子的對數就是前一個月兔子的總數，小兔子的對數就是前一個月大兔子的對數。

師：要一直說到，畫到12月份嗎？

生：不需要，根據前幾個月的情況可以找到其中的規律。

師：前6個月是1，1，2，3，5，8，后面是多少呢？你是怎么知道的呢？

生：就是前兩個數相加等于后一個數。

師：想一想，為什么有這個規律？

生：因為不管哪個月大兔子的對數就是前一個月兔子的總數，小兔子的對數就是前一個月大兔子的對數，把大兔子和小兔子合起來就是這個月兔子的總數，所以只要把前兩個月的兔子合起來就是這個月的兔子的數量，也就是把前兩個數相加就得后一個數。

師：怎么覺得后面的填起來反而容易了？

生：因為運用了前面發現的規律。

師：剛才我們在比較簡單的部分發現了規律（板書：發現規律），在難的部分運用規律解決了問題（板書：運用規律）。看來難和易是相對的，是可以互相轉化的，是辯證的統一。

以上教學過程中，學生通過比較、分析、綜合、歸納，透過表面現象，深入到了本質和規律的層面，揭示了規律背后的原理，掌握了以簡馭繁的數學思想方法。他們還感悟到難、易的辯證關系，體驗了哲學的思辨性，思維品質得到了有力的提升。

四、觸及心靈，感悟理性精神

深度學習提倡學科間和跨學科的整合性學習，強調多維度、系統性的認知參與，注重多種信息的連接和學科間的融合。數學學科具有抽象、嚴謹的特性，但是作為人類的文明，數學也具有人文性。在數學教學中，借助數學史把數學內容與其他學科的知識相融合，不僅能讓學生體會到數學的價值，還可以讓數學變得更有溫度，更能觸及兒童的心靈，更能讓他們感受到數學的魅力，讓他們熱愛并深刻理解數學。

師：生活中還有很多地方也藏著斐波那契數列，大家相信嗎？（出示海螺圖）這些海螺，都有一個彎彎的殼，而且殼上都有線，叫螺線。

這樣的線大體上可以描繪成這個樣子。

這個螺線和斐波那契數列有什么關系呢？

生：這個螺線就是借助以斐波那契數列為邊長的正方形畫出來的！真是太神奇了！

師：他們跟兔子商量了嗎？跟斐波那契商量了嗎？

生：（笑起來）肯定沒有商量。

師：是誰讓他們都有這樣的規律啊？

生：是大自然。

師：其實植物當中也有，很多植物的花瓣數都是斐波那契數（出示各種花朵）：蘭花、蘋果花、雛菊……還有一棵數每一年的樹丫的數量。

師：這些動物、植物生長得這么有規律，究竟是什么的力量？

生：（被深深地震撼了）是大自然！

師：（出示“天地有大美而不言，萬物有成理而不說。——莊子”）你有什么感受？

生：大自然真是太神奇了！

生：大自然中到處都藏著數學。

師：是啊！天地之間蘊藏著一種無言的美和深刻的規律。我們的數學世界也是這樣。

師：我們要怎么對待大自然呢？

生：我們要敬畏大自然、保護大自然。

師：很多藝術家也感受到了斐波那契數列的神奇，把它也用到了自己的藝術創作中，比如美術、音樂、建筑等領域，我們一起來欣賞吧。

數學不僅擁有真理，而且還擁有至高的美。以上教學過程中，我們著力引導學生發現數學的奇異美，感受大自然內在的數學秩序。數學思想方法的偉大和魅力深深地觸及了學生的心靈。學生為數學的理性精神所折服，對數學的熱愛和探索的愿望油然而生，他們也必然會產生要將數學作為一種人類的文明傳承和發展下去的深沉的情感。