數(shù)學化：賦予數(shù)學實驗自然生長的力量

孫佳燕

摘? 要：“數(shù)學化”能賦予學生數(shù)學實驗自然生長的力量。“數(shù)學化”的數(shù)學實驗能讓“歸納”與“演繹”深度對接，能讓“直覺”與“理性”并蒂共生，能讓“思維”與“創(chuàng)造”和諧相融。在數(shù)學教學中，教師要用解疑證惑引發(fā)數(shù)學實驗，用合情猜想引領數(shù)學實驗，用理性審視反哺數(shù)學實驗。

關鍵詞：小學數(shù)學;數(shù)學實驗;數(shù)學化

當下，一個個新教育理念的誕生，一項項新教學材料的問世，一種種新教育技術的呈現(xiàn)，昭示著數(shù)學實驗可以越來越“精致化”。著眼于對學生數(shù)學理性精神的培育，對學生數(shù)學縝密思維、數(shù)學批判質疑意識的培育。筆者認為，在數(shù)學實驗的過程中，教師可以進行對數(shù)學實驗進行數(shù)學化。數(shù)學化，能賦予數(shù)學實驗自然生長的力量。

一、“數(shù)學實驗”的數(shù)學化釋義

所謂數(shù)學實驗的“數(shù)學化”，是指學生借助數(shù)學學習工具、器材、實物等，通過“數(shù)學化”的觀察、操作等方式來建構數(shù)學概念、探索數(shù)學規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學法則、公理等。數(shù)學實驗的“數(shù)學化”特質，是數(shù)學實驗區(qū)別于其他實驗如科學實驗、美術實驗等的核心素質。數(shù)學實驗的“數(shù)學化”，要求學生用“數(shù)學的眼光”來考量實驗，用“數(shù)學的思維”來進行思考、探究。具體而言，數(shù)學實驗的“數(shù)學化”應該包括數(shù)學觀察、數(shù)學思維、數(shù)學推理、數(shù)學想象、數(shù)學操作、數(shù)學概括等。

1. “歸納”與“演繹”深度對接

從根本上說，學生數(shù)學實驗探究與驗證的主要方式有三：類比、歸納與演繹。數(shù)學實驗，不僅有助于學生的數(shù)學演繹，更有助于學生的數(shù)學類比、歸納。在數(shù)學實驗的過程中，學生需要進行合情猜想，需要進行清晰的、有條理的實驗論證，等等。比如教學“三角形的三邊關系”（蘇教版四年級下冊），教師提供結構性的小棒讓學生分類操作，則屬于外在的歸納性實驗操作。而學生在實驗過程中，不僅通過物質實驗，而且通過思想實驗（如兩點之間線段最短）等進行論證，則體現(xiàn)了學生實驗的演繹性品質。數(shù)學的公理、法則等，往往就是在“歸納”與“演繹”的和諧圓融中得到數(shù)學化的論證。

2. “直覺”與“理性”并蒂共生

數(shù)學實驗的數(shù)學化特質，不僅僅表現(xiàn)為學生的數(shù)學直覺，更表現(xiàn)為學生的數(shù)學理性。一般來說，數(shù)學直覺有助于數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學猜想，而數(shù)學理性有助于數(shù)學論證。數(shù)學實驗，要充分開發(fā)學生的全腦，讓學生的左右腦協(xié)同活動、和諧共融。比如教學“三角形的內(nèi)角和”，學生根據(jù)數(shù)學直覺，用“量角法”“折角法”“拼角法”等進行數(shù)學探究，這樣的一種探究就是基于數(shù)學直覺的實驗探究。在探究過程中，有學生不滿足于實驗的粗糙，尋求更為數(shù)學化的驗證方式。比如有學生畫出了平行線，利用角之間的相等關系進行嚴密推理;有學生將長方形分成兩個直角三角形，推導直角三角形的內(nèi)角和;將銳角三角形、鈍角三角形沿著高分成兩個直角三角形，從而推導出銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和，進而概括出三角形的內(nèi)角和。“直覺”與“理性”的并蒂共生，讓數(shù)學實驗煥發(fā)出生命的活力。

3. “思維”與“創(chuàng)造”和諧相融

“數(shù)學實驗”開辟了學生“用手思考問題”的道路。正是在“動手做”的過程中，解壓了學生的數(shù)學思維。思維的解壓助推學生萌發(fā)創(chuàng)意。因此，數(shù)學化的“數(shù)學實驗”能讓學生“思維”與“創(chuàng)造”的和諧相融。比如教學“圓錐的體積”（蘇教版六年級下冊），傳統(tǒng)的實驗都是教師給學生提供等底等高的圓柱和圓錐，借助沙子或水進行數(shù)學實驗。基于數(shù)學化的視角，教師應當放手讓學生探究。要把握好實驗的“主體”與“主導”關系，給學生提供必要的素材、指導。當教師賦予學生充分的探究時空，學生就會產(chǎn)生各種創(chuàng)造性的實驗方式，比如將橡皮泥圓錐捏成圓柱;比如將圓錐完全浸入水中或裝滿水，借助量筒測量溢出的水的體積或圓錐中的水的體積;比如將圓錐裝滿水倒入圓柱，探求圓柱和等底等高的圓錐之間的關系，等等。在數(shù)學實驗的數(shù)學化過程中，教師不僅要指導學生觀察、操作，更要指導學生進行抽象、概括——“必要的凝聚”。

著名的數(shù)學教育家波利亞說過，“數(shù)學有兩個側面：一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學;但創(chuàng)造過程中的數(shù)學，看起來卻像一門實驗性的歸納科學。”數(shù)學化的數(shù)學實驗，兼具數(shù)學實驗的歸納與演繹、直覺與理性、實踐與創(chuàng)造。正是通過“數(shù)學化”，數(shù)學實驗能夠彰顯出獨特的育人課程價值。

二、“數(shù)學實驗”的數(shù)學化路徑

從根本上說，“數(shù)學化”也就是引導學生經(jīng)歷數(shù)學的活動過程。“數(shù)學化”，可以分為“橫向數(shù)學化”和“縱向數(shù)學化”。所謂“橫向數(shù)學化”，就是從實驗材料到實驗結論的過程;所謂“縱向數(shù)學化”，就是對實驗結論進行精致化的過程。在數(shù)學實驗過程中，教師要警惕過度追求實驗結果的實驗虛化;要警惕問題引領的實驗盲目;要警惕理性分析缺失的實驗回顧，等等。

1. 問題：讓解疑證惑引發(fā)數(shù)學實驗

基于“數(shù)學化”的數(shù)學實驗不是機械的、盲目的，而應當具有一定的針對性。運用“問題引領”，能讓數(shù)學實驗有的放矢。問題引領，可以激發(fā)學生的實驗需求，可以引發(fā)學生的實驗期待，可以點燃學生的實驗興趣，可以引導學生的思維跟進，等等。比如教學“長方形和正方形的面積”（蘇教版三年級下冊），筆者給學生提供了大小不一的長方形以及單位面積的小正方形，讓學生用單位面積的小正方形進行自主地拼擺。在學生實驗的過程中，筆者提出了這樣的幾個要求：觀察每行拼擺的個數(shù)與長方形的長，拼擺的行數(shù)與長方形的寬，拼擺的總個數(shù)與長方形的面積。通過這樣的問題，引領學生的數(shù)學實驗。學生一邊猜想一邊實驗驗證，一邊實驗驗證一邊猜想。通過不斷地猜想、驗證等活動，學生自主建構長方形和正方形的面積公式。在數(shù)學化的實驗過程中，問題往往是思維的基礎。作為教師，要引導學生質疑問難，形成學生數(shù)學實驗的生長點、生發(fā)點，進而對學生的數(shù)學實驗發(fā)揮推波助瀾的作用。

2. 想象：讓合情猜想引領數(shù)學實驗

數(shù)學猜想、想象是一種試探性的思維。想象導引不同于問題導引。問題導引往往是清晰的、明確的，而想象導引則是具有一定相關性的實驗引領。著名的數(shù)學家波利亞認為，一個好的數(shù)學家必須是一個猜想家。數(shù)學化的數(shù)學實驗，將猜想與實驗驗證緊緊地聯(lián)系在一起。比如教學“圓的面積”（蘇教版五年級下冊），許多教師在引導學生做實驗時，往往直接將圓剪拼成十六等份或三十二等份，然后拼成近似的長方形。這樣的實驗，學生完全被牽著走。筆者認為，教師可以先借助方格圖引導學生猜想圓的面積與半徑的平方之間的關系。以猜想為源頭，然后引導學生進行推理性實驗，能讓數(shù)學實驗具有方向性。比如學生會主動觀察長方形的長、長方形的寬與圓的半徑之間的關系，能主動思考長方形的面積與圓形的面積之間的關系，等等。在進行數(shù)學比較的過程中，學生自然能建構出“圓的面積”的公式。

3. 反思：讓理性審視反哺數(shù)學實驗

基于“數(shù)學化”的數(shù)學實驗需要學生的積極反思。在數(shù)學教學中，教師要引導學生對實驗的過程與實驗的結果作數(shù)學化的審視。換言之，教師要引導學生用數(shù)學化的眼光觀照實驗，用數(shù)學化的大腦考量實驗，用數(shù)學化的語言表達實驗。通過理性反思、審視，發(fā)展學生數(shù)學抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學建模能力。比如教學“平行四邊形的面積”（蘇教版五年級上冊），筆者在學生通過剪、拼、移的數(shù)學實驗將平行四邊形轉化成長方形，進而推導出平行四邊形的面積之后，筆者引導學生對實驗過程進行“回頭看”，引導學生反芻、追問：為什么要沿著平行四邊形的高剪開？這樣的問題倒逼學生自我審視。換言之，不沿著平行四邊形的高剪開還可以將平行四邊形轉化成長方形嗎？這樣的反思，能讓學生用理性反哺數(shù)學實驗，能讓學生的數(shù)學實驗走向深刻。學生對于數(shù)學實驗不僅“知其然”，更“知其所以然”，還“知其所必然”。

數(shù)學實驗的“數(shù)學化”路徑，關鍵是讓學生在數(shù)學實驗的過程中產(chǎn)生數(shù)學化的意識，形成數(shù)學化的認識。只有借助“數(shù)學化”，學生的數(shù)學實驗才不會劍走偏鋒，從而具有數(shù)學特質。數(shù)學化的數(shù)學實驗，不僅要求學生對實驗結果具有數(shù)學化的判斷，而且對實驗過程也有著相應的理性認知。

數(shù)學實驗的關鍵、核心在于讓數(shù)學實驗“數(shù)學化”。只有讓數(shù)學實驗“數(shù)學化”，才能讓學生的數(shù)學實驗不是僅僅停留在簡單的、機械的、盲目的“操作化”層面。通過數(shù)學化的操作、數(shù)學化的思考、數(shù)學化的探索、數(shù)學化的審視、數(shù)學化的拓展等，才能讓學生真正理解數(shù)學實驗。通過“數(shù)學化”的數(shù)學實驗，學生的數(shù)學思維才能從低階邁向高階，進而才能有效地提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。