生活原型在數學概念教學中的應用

陳延

概念是思維的核心，是推理的基礎。概念結構一般包含概念名稱、概念定義、概念屬性和概念例證四部分。

《圓的認識》是人教版數學教材六年級上冊的圖形概念課。幾何學中對圓的定義如下：

1. 平面上到定點O的距離等于定長r的全體點組成一條曲線稱為以點O為圓心、以r為半徑的圓周，簡稱圓，記為⊙O或⊙O（r）;

2. 到定點的距離等于定長的動點的軌跡稱為圓;

3. 給定一條線段，使其繞著它的一個固定的端點在平面內旋轉一周，其另一個端點所經過的封閉曲線稱為圓。

圖形特征和定義有著緊密的聯系。以圓的半徑數量為例，正是因為圓是無數個到定點距離相等的點的集合，而半徑是連接圓心到圓上任意一點的線段，因此圓的半徑有無數條。

考慮學生年齡特點，小學階段的教材并沒有要求學生掌握圓的準確定義。但如果學生不能真正理解圓的形成過程、畫圓的原理以及圓的特征的來源，僅停留在對知識進行機械記憶，不利于學生推理能力的提升和數學思維的發展。

借助生活原型，可以將抽象的定義以更直觀的方式呈現在學生面前，幫助學生更深刻地理解圓的特征和畫圓的原理。

一、從生活中“引出圓”

問題：套圈游戲這樣站公平嗎？為什么？如果有更多人想加入可以站哪里？滿足到目標距離是2m的點有幾個？

結合學生說理，PPT動態演示，首先把人和目標抽象成點（圖1），再把每人到定點距離調整到相等，最后動態出現點（圖2），直至圍成圓（圖3）。

以“套圈游戲”進行導入，學生比較感興趣，而且熟悉規則——每個人到定點的位置必須相等才公平。再通過動畫演示，將有限的點演變成無限，直至引出圓。在這一環節中，借助學生熟悉的生活原型，結合多媒體演示，成功滲透圓的第一個定義，初步讓學生感受到“圓上任意一點到圓心距離相等”的特征，為之后的學習做鋪墊。

二、利用生活經驗“創造圓”

活動：回憶套圈游戲，根據圓“由無數個點組成的，它們到目標點的距離相等”的特點，利用硬紙條、回形針、圓規來畫圓。

學生小組合作嘗試，并進行展示（圖4）。

對比三種畫法，學生發現：雖然運用不同的工具，但畫的時候是有共同之處的：都有固定的點、都要旋轉一周。然后出示反例（圖5），引導學生思考，畫不好的原因可能是什么？強調畫圓時除“定點”外，“定長”同樣重要，引出“圓心”“半徑”。

數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，學生要對圓的形成有更加感性的認識，就必須嘗試自己動手“創造圓”。在以往的教學及教材中，往往會出現“拓印”以及使用圓規兩種畫圓方法。對比圓規畫圓，拓印是直接使用已有物體進行復制，雖然方便，但并不利于學生感悟圓的形成。如果只用圓規畫圓，會導致學生形成錯覺，是因為有圓規才有圓，而事實是圓規是根據圓的定義所創造的一種作圖工具。

本課的教學中，我舍棄了“拓印”，而改為使用跟圓規相同原理的另外兩種工具畫圓，先讓學生聯系“套圈游戲”，再對比不同工具嘗試畫圓，然后找出共性，能更加深刻地感悟到“圓上任意一點到圓心距離相等”的特征，理解圓規畫圖的原理;也了解到“定點”“定長”對圓形成的重要性，引出圓心、半徑;同時也能更好地滲透圓的第二、第三個定義。

三、結合生活情景“認識圓”

承接上一環節，介紹圓心、半徑及其字母表示方法后，PPT動態出示圓的五條半徑（圖6）。引導學生觀察并發現其相同點：半徑連接圓心和圓上一點;半徑是一條線段。然后引導學生概括出半徑的定義：半徑是連接圓心和圓上任意一點的線段。再讓學生結合圓的定義、套圈游戲和畫圓活動（圖7），嘗試說明圓的半徑的特征。

然后再以相同的思路教學直徑，并在過程中得出同一圓中，直徑和半徑的關系。

概念教學的一個常規做法，就是通過豐富的例子，對比概括出其本質。圓的半徑和直徑定義方式都是屬于“屬加種差”。以半徑為例，線段是鄰近的屬，而“連接圓心和圓上任意一點”則是其種差。在本課中，我首先給出同一圓中的五條半徑，讓學生進行觀察，找出相同點并嘗試概括，學生很容易就會找出它們的共同點：連接圓心和圓上任意一點。但由于學生之前缺乏概括定義的經驗，因此學生在概括的時候一般只能說出共性，而沒有表達出完整概念，這時就需要教師加以引導。半徑是一條線段，結合教師的引導，學生就能完整概括半徑的概念，并真正理解其本質。

在教學半徑和直徑的特征時，我也選擇了從定義出發，結合生活情景和畫圖經驗，引導學生進行推理：圓上各點到圓心距離相等，所以半徑也相等。在教學直徑特征時，學生發現，同一圓內，直徑長度是半徑兩倍，因為同圓內半徑長度相等，所以直徑長度也相等。這樣的教學能讓學生再次深化對圓的特征的認識，順勢突破教學難點，有效提升學生的推理能力，發展學生數學思維。

四、回歸生活“應用圓”

問題：如果把車輪做成正三角形、正方形和橢圓，哪輛車行駛起來更平穩？車輪為什么要做成圓的呢？如果把車輪做成這樣（圖8），汽車行駛起來會怎樣，為什么？

學生帶著問題和思考觀看微課，理解圓形車輪中的數學原理。然后教師趁勢追問，當“定點”不在圓心時（不同長），汽車行駛起來會怎樣，為什么？引導學生思考，然后通過動畫讓學生直觀感受。

“車輪為什么設計成圓形”是圓特征應用的經典例子。課前我設置了兩個問題讓學生進行調查。

1. 平地行駛時，車輪應該做成什么形狀？

2. 如果把車輪造成正三角形、正方形和橢圓，你認為哪輛車行駛起來更顛簸，為什么？

對于問題1，學生有充足的生活經驗，知道車輪是圓的。但在問題2中，95%以上的學生認為橢圓車輪行駛起來會相對平穩，原因是橢圓沒有角。觀看實驗視頻后，學生發現事實和他們的判斷明顯不同，橢圓才是最顛簸的，引起他們的強烈探究欲望。

而在學習圓的特征之后，大部分學生都能將該例子和圓的特征聯系起來，再通過觀察、比較和思辨，學生發現：圓心到圓上任意一點距離相等，車軸安裝在圓心，能保證車身到地面的距離相等，車子行駛起來才會平穩。

理解其背后所隱藏的數學原理后，我趁勢追問：是否只要車輪是圓的就可以，如果車軸不安裝在圓心上呢？通過反例再次說明車軸在圓心位置的重要性，也再一次增強學生對圓的特征的理解。

借助生活原型進行教學，能讓學生在觀察、想象中形成概念，在對比和思辨中，更深刻地理解概念，進而運用概念。這樣的教學方式，有效地幫助學生內化數學知識，自主建構概念，提升推理能力，發展數學思維。

責任編輯? ?羅 峰