中美高校微積分教材比較

孫保炬 傅宇辰 陳怡 沈喆

摘 要：本文選用了同濟大學出版的《高等數學》第七版與由葉其孝、王耀東等翻譯的《Thomas Calculus》譯本第十版進行比較分析。對于兩本教材的內容、排版、結構、習題進行初步分析，為我國微積分課程的教學提供指導意見。

關鍵詞：高等數學;教材比較;內容分析

微積分是一門研究微分、積分及其相關概念的一門學科，屬于數學大類。自然科學的發展離不開數學的發展，幾百年來微積分理論對自然科學的進步提供了巨大的動力，為解釋一些自然現象提供了有力的理論依據。微積分促進了理學、工學、農學、醫學、經濟學等學科發展，直到今日我們仍能從中受益，這也是許多高校的理工科專業開設微積分為必修課的原因。微積分課程的教學質量既關系到學生今后的發展，也關系到本科學生讀研深造，然而微積分課程的教學質量與其選用的教材息息相關。

隨著全球化的持續推進，我們不能僅僅拘泥于本國原有的教材和教學方法，需要開拓國際化視野。眾所周知，美國是世界上本科教育質量最高的國家之一。故本文我們將對其采用的微積分教材進行比較探究，并在最后提出幾點對我國目前本科微積分教學的建設性意見。以下文章中所提到的《微積分》即指《Thomas Calculus》，《高等數學》即指同濟版《高等數學》。

一、 教材知識點比較

1. 教材知識容量

《微積分》的知識依次包含：預備知識、極限、一元微分學、一元積分學、微分方程、級數、向量、多元微分學、多元積分學，共計14個章節;《高等數學》的知識依次包括：極限、一元微分學、一元積分學、微分方程、空間向量、多元微分學、多元積分學、級數，共計12章。

兩本書的知識點幾乎都是重合的，只是在知識排版和順序上有所不同。特別的是，《微積分》中有預備知識這一章節，很好的銜接了高中和大學，給了大學生一段從高中的初等數學過渡到高等數學的時間。當然也可能是中國和美國的高中教育的差異導致了美國學生學習高等數學時需要過渡。但同時對中國高中階段一些知識漏洞的補充也有幫助：例如反函數和參數方程內容，由于中國各省份的高考試卷考綱有些不一致，所以對反函數和參數方程進行細化講解很有必要。

兩本教材對于章節順序的設定均比較合理，但現在許多中國的教材將級數這一章節放在了一元積分學之后，因為級數畢竟是一個求和的式子，和積分有著密不可分的關系。例如極限中利用積分的黎曼和式解答，黎曼和實際上就是級數的一種。微分方程解題過程中需要結合一元微積分學的知識，故將微分方程和級數放在一元微積分學之后是一種比較合理的順序。

從教材難度來說，我國教材要優于美國教材，我國教材中的曲線曲面積分是美國教材未涉及的，我們的教材涉及范圍更廣，內容體系更為嚴密。

2. 教材各課時排版

《微積分》中每一小節的大致順序，先是知識引入，一般由物理問題引入，其次是主干知識與例題，最后是習題，而《高等數學》缺少這一引入，在大部分章節中均沒有引入這一環節。這導致學生很難理解學習微積分到底有什么用。微積分課程是大部分理工科開的課程，對于物理知識的引入很有必要，這對于學生今后專業課的學習也是很有幫助的。

3. 教材適用學生類型

《微積分》這本教材其實更加適合自學的人，因為它的語言簡潔，適用于零基礎的人，且習題量大于《高等數學》，習題涉及了許多理學，工學，藝術學等諸多領域，教學內容更加注重應用，缺點是不注重分析結論的理論來源，更注重實際來源，對于本科專業是數學且今后要從事數學研究的學生不太適用，但對于以微積分為工具的工科學生是比較適合的。《高等數學》更偏重基礎，基礎較好和較差的學生學習起來很容易拉開差距，其學術性更為嚴謹，教材體系也更為詳細。

4. 教材對數學文化的體現

數學文化，不僅包括數學的定理、公式、思想方法、語言、觀點，還包括它們的形成與發展、數學史、數學教育以及數學與社會的聯系。這對于一名學生數學素質的培養，起著重要的意義。微積分屬于數學的一門分支學科，它系統地創立于17世紀，由英國的科學家牛頓與萊布尼茨創立。實際上，在我國古代，這種思想也出現了萌芽，如劉徽的“割圓術”、祖暅的“祖暅原理”等。

對于教材中一小節的知識點內容，我們大致可以分為正文、材料拓展、例題三個模塊。在這些模塊中處處可融入數學文化。如表一所示，從縱向比較來看，《微積分》中對于數學文化的補充極其豐富，幾乎是《高等數學》的三倍，從橫向來看，《高等數學》分布不太勻稱，材料拓展部分幾乎沒有，而《微積分》分布較為勻稱。

5. 以“導數及微分”為例的對比

“導數及微分”這一章節是微積分中微分學部分的基礎，兩本教材都放在了極限章節的后面，兩書也不約而同地將“導數及微分”與“導數的應用”，分成了兩個章節。在我國，人教版高中教材選修2-2中已有導數章節，并且在高考數學中也有體現，相比較美國學生，我國學生對于初等函數的求導更為得心應手，只是對于求導其中的數學原理不是很了解，故對于二者差異，兩本教材也選擇從不同的出發點對“導數及微分”進行講述。《微積分》的教材知識模板較多，但總體來說，二者在本章節的知識點大致相同。整體的講述順序都是從導數入手，再介紹二階、高階求導以及隱函數、參數方程求導，最后介紹微分。其主要區別大致有這么兩點：

① 《高等數學》依據的是求導進行推進，《微積分》依據的是函數進行推進。

兩教材都是先介紹了導數的定義、幾何意義，然后《高等數學》中介紹了求導基本公式、高階求導、隱函數與參數方程求導，最后介紹微分。而《微積分》是從函數類型入手學習冪函數、三角函數等函數的求導與微分，沒有把微分列為單獨一個小節，在各個函數的小節中介紹。相比較而言，《高等數學》的章節設置更為循序漸進，知識體系合理嚴密，《微積分》的章節設置更為獨立分散，有利于幫助學生培養“大膽猜測，小心證明”的數學思想，如通過這一函數的求導聯想猜測另一函數的求導。

② 《微積分》更傾向于實際應用。

在《高等數學》中，雖然有介紹相關變化率，但卻把這一內容安排在一個小節中。而《微積分》將其列為一個大節，這足以體現《微積分》更重視知識的實際應用，這一方面在后文的習題比較中也有體現。

二、教材習題比較

習題，無論對于學生學習還是老師教學，都起著很重要的作用，一本教材的優劣不僅僅取決于它對于知識點的講述，還在于它的習題，數學是一門偏理論的學科，是許多應用型學科的基礎，故而習題的選擇也十分重要。

1. 習題類型比較

兩書中的“拓展”模塊占比最低，當然這也可以理解，本身“拓展”部分對于學生水平要求過高，兩書的“了解”模塊占比相似，都比較重視基礎的習題。《高等數學》習題大部分屬于“理解”模塊，這能夠促進學生思考。但“應用”模塊過少，關于應用數學的習題過少，更注重學生邏輯思維能力培養，而《微積分》恰恰相反，“應用”模塊相比起《高等數學》較多，“理解”模塊相比于《高等數學》較少，更加注重學生的發散型思維培養，有利于學生在學習數學中加強與其他學科的聯系。

2. 習題涉及其他學科領域比較

據統計《高等數學》中涉及其他學科領域的共56題，《微積分》共549題，不難看出《高等數學》中涉及到其他學科的習題數量要遠遠低于《微積分》。數學，無論微積分也好，線性代數、概率論也好，都屬于基礎學科，除了要從事數學研究的學生外，學習的最終目的就是應用于其他學科，這也是學生在求學階段一直要學習數學的原因。在這一點上，《高等數學》對于其他學科的涉及過少，不利于幫助學生明確學習數學的目的，不明確目的的學習是盲目的，是沒有動力的，這也是我國許多理工科高校生反感數學的原因之一。

《微積分》中涉及物理學共287道，經濟學102道，建筑學65道，醫學及其他共95道，可以看出，占總量一半以上的是物理學，也應了“數理不分家”這句話。事實上，物理的學習確實離不開微積分，例如力的做功，我們在中學階段只學習定力做功，而在實際生活中并沒有多少定力做功的情況，更多的還是變力做功，所以這就需要利用微積分相關知識來進行求解。

三、研究結論與建議

1. 結論

綜合上述比較，可以得出中美微積分教材之間的差異與共同點：首先《高等數學》更偏向于學術研究，抽象性更高，對于知識的合理嚴密性要求更高，而《微積分》更偏向于實際的生活應用，更看重知識的應用層次。其次，在排版順序上，《微積分》將“級數”放在“定積分”之后更為合理。再次，從習題方面來看，對于學習學透微積分，《高等數學》更為合理，習題大部分是屬于“理解”類型。此外，從書的質量與美觀程度來看，《微積分》更加美觀，其配圖也比《高等數學》更為生動。從數學文化角度看，《微積分》也優于《高等數學》，其涉及的數學文化更加全面、廣泛，人文藝術氛圍更濃厚。最后，從知識的組成看，《高等數學》是“高樓”結構，而《微積分》屬于“平房”結構，例如學習求導，《高等數學》會鋪墊函數知識，再學習所有函數的求導法則，而《微積分》是先學習某一個函數性質再研究這個函數的求導。總體來說，沒有誰優誰劣，只有適合與不是之分。

2. 對學生的建議

首先，數學作為一門基礎學科，與學生們今后的發展息息相關。微積分是高等數學的基礎，應用領域廣泛，故同學們應當明確學習態度，了解學習微積分的目的，積極地學習這門課程。其次，在學習微積分時，要加強對概念的思考和理解，用邏輯性思維將相關的內容串聯起來。最后，要加強微積分知識的應用能力，習題的練習是微積分學習中不可或缺的一個環節。除此以外，希望同學們不要只拘泥于課本，可以聯系自己所學的專業知識，用微積分的思想來解決實際問題，做到學以致用。

3. 對教師的建議

從事微積分相關教學的教師，可以更多的引入微積分在生產生活中應用的例子，理論聯系實際。這樣既能激發學生對微積分學習的興趣，又能讓學生更好地理解和學習這門課程。還可以引入介紹一些數學史，包括各類定理的產生的年代背景與數學家的故事。在習題的選擇上，也可以增加與生活更加貼近的微積分問題，培養學生的應用意識和實際應用能力。

4. 對我國高校教材編寫的建議

在我國之后發行的微積分教材中，可以適當地增加微積分應用于其他學科的例子，并運用更加通俗易懂的語言講訴知識、聯系實際，從而增強讀者的理解能力和應用能力。其次，在版面設計上，多放插圖幫助學生理解內容，盡量減少大篇幅的文字闡述，從而更加突出重點。

結語：

這次論文的撰寫，使我提升了總結比較能力，進一步了解了高等數學各部分的框架與聯系，這對我將來的工作應用與深造考學都有很大的幫助。另外，我要感謝本文的指導老師吳福珍和沈喆同學、陳怡同學，沒有他們的持續努力與辛勤付出，便沒有這篇論文的誕生。本文若有缺憾與不足之處，煩請斧正。

（作者單位：1.浙江水利水電學院建工學院，浙江 杭州 310018; ?2合肥工業大學電氣學院，安徽 合肥 230009）