洛必達法則在高中數學導數教學中的應用

李欣

（重慶市江津第五中學校，重慶 402260）

在高中數學教學中，很多數學題目不僅側重考察學生的邏輯思維能力，更關注學生的解題能力。在高考數學試卷中，單選、判斷等題目難度不大，而大題中的最后一問則是區分優等生和普通學生的關鍵，這種題目較為復雜，需要學生正確掌握解答方法，如果題目為求導問題，利用洛必達法則可以提升解答效率，有利于取得良好成績。

一、不等式恒成立問題

如果在等式或者不等式中存在兩個變量，而一個變量范圍已知、另一個變量范圍未知，并且可以借助恒等變形把兩個變量分別置于不等號或者等號兩邊，就可以把恒成立問題轉化成為函數最值問題求解[1]。

二、洛必達法則相關內容

洛必達法則是在特定條件下借助分子分母求導再求極限，進而確定未定式極限值的方法，普遍認為該法則由法國數學家洛必達于1969年提出，不過該法則創造者為瑞士數學家約翰.伯努利，因此該法則也被稱作伯努利法則。具體內容為當分子分母都無窮小或無窮大時，兩個函數的比極限可能存在也可能不存在，即便極限存在也不可利用商的極限等于極限的商這一法則，所以這種極限稱為未定式，如果當x→∞或者x→a，兩個函數f（x）和F（x）都會趨于零或者無窮大，則極限被稱為未定式。

洛必達法則的定義為在一定條件下，通過分子和分母分別求導再求極限值，以此確定未定值的方法。定理為：①設x→0時，函數f（x）和F（x）都會趨于零；②在a點的某個鄰域內 f'（x）和F'（x）都存在并且F'（x）不為0。

在利用洛必達法則的過程中，需要注意如下問題：首先分子分母都必須是無窮小，并且分母和分子都可導；其次分母導數不可為0，導數之比的極限存在[2]。

三、傳統方法和洛必達法則求導情況

由于高中數學課程安排較為密集，學時有限，所以洛必達法則沒有被安排到高中數學課本當中，而是以課外閱讀的形式呈現在課堂當中，部分教師只會簡單介紹，不過該法則在高中求極限值的過程中會發揮出重要作用，高中數學試卷中經常會發現洛必達法則在求導中得到利用，比如求解未知數的取值范圍就需要先通過不等式求解參數變化范圍。在高中數學知識學習中，洛必達法則作為拓展知識，如果能對其有效了解，可以顯著提升解答效率。

如題：已知函數f（x）=ln（x+1），曲線y=f（x）在點（x0，y0）處的切線方程為y=g（x）。①證明對任意 x∈（-∞，+∞）時，f(x)≤g（x）恒成立，②當x≥0時，f（x）≤ax/（1+x）恒成立，求解實數a的取值范圍。

方法1為傳統方法，具體說來：當x≥0時，f（x）≤x+ax/（1+x）恒成立，由于x≥0，所以1+x＞0，不等式去分母得到（1+x）f（x）≤x2+x+ax，所以（1+x）In（1+x）≤x2+x+ax。

如果G（x）=（1+x）ln（1+x）-x（1+x）-ax，設x+1=t，所以t≥1，那么G（t）=tlnt-（t-1）t-a(t-1),G'(t)=lnt-2t+2-a。

一種情況是，當a≥0時，G'（t）≤0，G（t）在t≥1上為減函數，所以G（t）≤G（1）=0，即G（x）≤0。另一種情況是，當a＜0時，G'（t）=lnt-2t＋2-a=0，可解得t=to（t＞1），當to＞t＞1時，G（t）是增函數，所以G（t）＞G（1）=0和已知存在矛盾，最終得出a＜0不滿足G(x)≤0。

綜合以上條件得出a取值范圍為[0，＋∞）。

方法2為洛必達法則，具體說來：當x≥0時，f（x）≤x＋ax/（1+x）恒成立，即ln（x＋1）≤x+x＋ax/（1+x）在x≥0成立。

一種情況是，當x=0時，式子成立，此時a∈R。另一種情況是，當＞0時，a≥ln（x＋1）/x（x+1）-1-x恒成立，即a大于等于G（x）=ln（x＋1）/x+ln（x+1）-1-x的最大值，G'（x）=x-（x+1）ln（x＋1）-x2/x2（x+1）。

設H（x）=x-（x＋1）ln（x＋1）-x3，H'（x）=-3x2-ln （x＋1）。因為x＞0，所以 H'（x）＜0，判定 H（x）為減函數，所以H（x）≤H（0）=0。得到G'（x）≤0，也就是G（x）在 x＞0是減函數。

綜合以上條件得出a取值范圍為[0，＋∞）。

從以上例題的兩種解答方法可以看出傳統方式。需要學生全面分析，靈活掌握數學知識。要求學生具有良好的邏輯性和條理性，一旦出現疏忽，將導致解答不全面，而洛必達法則這種方式可以有效解決學生解答過程中出現的問題，有利于學生具備清晰的解答思路。通過構建函數最小值的方法確定參數范圍，在解答的過程中盡管需要學生設置幾次函數，不過整體解答思路較為清晰。

結束語

綜上所述，隨著新課改的不斷推進，對高中數學教學也提出了更高的要求。為了學生在高考中取得佳績，教師需要適當講解洛必達法則，以此幫助學生更加全面的掌握數學知識，而洛必達法則又與大學的數學知識存在密切關系，如果學生掌握該方法，同樣可以為今后的數學學習打下良好基礎。