例談辯證思想在解數學題中的應用

連錦釗

[摘要]在中學階段，由于數學基礎知識容量增多，方法技巧多樣化，在思考解決數學問題的過程中，時常會碰到直接研究、分析、解決問題較困難的情況。為有效地回避解題出現的這種困境，如果能嘗試用辯證思想來處理這類問題，一般可以達到較為理想的解決問題的效果。

[關鍵詞]辯證思想;數學題;應用

用辯證思想、技巧、方法觀察、分析、理解客觀現實世界，有利于更快地接受真實實際問題。數學教學不僅應讓每個學生學會基本數學知識技能，更重要的是數學教學要教給學生用數學觀點、思想、方法等看待或思考生產生活等實際問題。辯證思想是解決數學問題極其重要的思想。因此，研究辯證思想解決中學數學問題是很有必要的。本文結合平時的數學課程教學，以實例的形式加以分析、說明、總結。

一、正與反思想

如果從正面去思考數學問題比較困難，情況較復雜，那么就可以嘗試用逆向思維去思考。

分析：討論這道題，就應分三種情況，即恰有一函數、恰有兩個函數、恰有三函數有零點。其解題過程非常煩瑣。反之，從三個函數都沒有零點去考慮問題后再求補集就能很輕松地解決問題。

二、數與形思想

“數”與“形”的結合是數學解題的重要思想。如果學會積極采取有效的“數”與“形”的結合或轉換，那么就可以創造性地解決困難問題。

四、繁與簡思想

例4：討論不定方程x+v+z=10的解的個數（其中：x、v、z為正整數）。

分析：如果將本題分類討論，其過程較繁，可能會因顧此失彼而考慮不周，其實本題只要構造簡單的組合模型便可以輕松解題。

解：把本題構造成為10個小球排成一排，在其間插入2塊隔板把10個小球自然地分成三段，每一段的數目分別就是x、v、z對應值，這樣不同插法有C9⁹=36種，因此符合原方程的正整數解一共有36組。

五、主與次思想

有些問題變換主與次的角色后，問題的解決思路更清晰。

八、或然與必然思想

大部分概率主要研究“偶然”中的“必然”，然后用規律性的東西去解決“偶然”的實際問題，這體現了數學或然與必然思想。

例8：元旦節前，一學生在自己家院子里樹上掛了兩盞燈以增加節日氣氛。假設這兩盞燈通電后4秒內任何時刻閃爍是等可能的，接著每盞燈每隔4秒一次閃爍。當給這兩盞燈通電之后，求這兩盞燈第一次閃爍的時刻差不到兩秒鐘的概率。

可以注意到，隨機事件發生的隨機性和概率的確定性是隨機事件發生的規律問題，體現了或然與必然聯系。

九、有限與無限思想

中學數學課程很強調有限性與無限性的對立統一，相關的教學內容比比皆是。下面例舉線性規劃問題的教學與考查。

本文較為系統地分析了九種辯證思想的解題思路和技法。解題過程中往往滲透著幾種重要的數學思想，有利于培養學生多角度、靈活思辨地思考及解決數學問題，擺脫定勢思維習慣的困境，提高解題思維品質，培養積極創新的思辨意識。