有界線性算子的限制及其譜性質

陳俐宏，蘇維鋼

（福建師范大學數學與信息學院，福建 福州 350117）

0 引言

文中，設X是無限維復Banach 空間，L(X)表示X上的有界線性算子的全體。對于T∈L(X)，α(T)表示零空間N(T)的維數，β(T)表示值域R(T)的虧維，p(T)和q(T)分別表示T的升指數和降指數，即

（若下確界不存在，記p(T)=∞，q(T)=∞），若T的升指數和降指數都是有限的，則兩者相等（見文 獻［1］的定理1.19）。若α(T)和β(T)都有限（R(T)是閉的且α(T)＜∞），則稱T是Fredholm 算子（上半Fredholm 算子），且Fredholm 指標定義為ind(T)=α(T)-β(T)。若T是上半Fredholm 算子且p(T)＜∞，則稱T是上半Browder 算子。若T是上 半Fredholm 算子且ind(T)≤0，則 稱T是上半Weyl 算子。若p(T)＜∞且R(Tp(T)+1)是閉的，則T是左Drazin 可逆的。若p(T)=q(T)＜∞，則T是Drazin 可逆的。

對任意的n∈N，Tn表示T在R(Tn)上的限制，即T：R(Tn)→R(Tn)（特別地，T0=T）。若存在n∈N，使得R(Tn)是閉的且Tn是Fredholm 算子（上半Fredholm 算子），則稱T是B-Fredholm 算子（上半B-Fredholm 算子）。由文獻［2］的命題2.1 知，若存 在n∈N，使得R(Tn) 是閉的 且Tn是上半Fredholm 算子，則R(Tm) 是閉的，Tm是上半Fredholm 算子且ind(Tm)=ind(Tn)，?m≥n。所以，半B-Fredholm 算子T的指標可以用半Fredholm 算子Tn的指標定義，即ind(T)=ind(Tn)。若存在n∈N，使得R(Tn)是閉的 且Tn是上半Browder 算子，則稱T是上半B-Browder 算子。若T是上半B-Fredholm 算子且ind(T)=ind(Tn)≤0，則稱T是上半B-Weyl 算子。

對于T∈L(X)，記T的譜為σ(T)，近似點譜為σa(T)，

σub(T)={λ∈C:λI-T不是上半Browder算子}，

σuw(T)={λ∈C:λI-T不是上半Weyl算子}，

σusbb(T)={λ∈C:λI-T不是上半B-Browder算子}，

σusbw(T)={λ∈C:λI-T不是上半B-Weyl算子}，

σld(T)={λ∈C:λI-T不是左Drazin可逆算子}

分別表示T的上半Browder 譜、上半Weyl 譜、上半B-Browder 譜、上半B-Weyl 譜和左Drazin 可逆譜，由文獻［1］的定理4.91 知，σld(T)=σusbb(T)。

若λI-T左Drazin 可逆，則稱λ∈σa(T)為T的左極點，記∏a(T)為T的所有左極點所構成的集合。若0＜p(λI-T)=q(λI-T)＜∞，則稱λ∈C為T的預解式的極點（簡稱極點），記∏(T)為T的所有極點所組成的集合。此外，記

設T∈L(X)，GUPTA 等［3-4］分別引入了譜性質Baw 和Bab 的概念。若σa(T)σusbw(T)=(T)，則 稱T滿足譜性質Baw；若σa(T)σusbw(T)=(T)，則稱T滿足譜性質Bab。文獻［5］引入了譜性質Caw 和Cab 的概念，若σa(T)σuw(T)=Ea(T)，則稱T滿足譜性質Caw；若σa(T)σuw(T)=∏a(T)，則稱T滿足譜性質Cab。

算子的限制Tn的引入為B-Fredholm 算子理論的建立奠定了基礎，因此，研究算子的限制Tn，尤其是T與Tn的關系，具有重要意義。本文通過探討算子T與其限制Tn的關系，得到T滿足譜性質Cab（譜性質Caw，Bab，Baw）等價于Tn滿足譜性質Cab（譜性質Caw，Bab，Baw）的條件。

1 有界線性算子T與其限制Tn的關系

證明由文獻［6］的引理2.1 知，式（1）～式（5）成立。式（6）中，若q(λI-T)＜∞，由式（2）知，R((λI-Tn)q(λI-T))=R((λI-T)q(λI-T))∩R(Tn)=R((λI-T)q(λI-T)+1)∩R(Tn)=R((λI-Tn)q(λI-T)+1)，所以q(λI-Tn)＜∞。反之，若q(λI-Tn)＜∞，由文獻［7］的引理3 知，q(λI-T)＜∞。

利用引理1，可得到以下重要引理：

引理2設T∈L(X)，0 ?∏(T)，若存在正整數n，使得R(Tn)是閉的，則∏(T)=∏(Tn)。

證明若0 ?∏(T)，可斷言σ(T)=σ(Tn)。事實上，設λ?σ(Tn)，（i）若λ=0，則p(Tn)=q(Tn)=0，由文獻［7］的引理2 和引理3 知，p(T)=q(T)＜∞。又 因 0 ?∏(T)，顯 然p(T)=q(T)=0，所 以λ?σ(T)。（ii）若λ≠0，則α(λI-Tn)=β(λITn)=0，由引理1 知，α(λI-T)=β(λI-T)=0，所 以λ?σ(T)，因 此σ(T)?σ(Tn)。反 之，設λ?σ(T)，（i）若λ=0，即T是可逆的，則Tn=T，所以λ?σ(Tn)。（ii）若λ≠0，則α(λI-T)=β(λIT)=0，由引理 1 知，α(λI-Tn)=β(λI-Tn)=0，所以λ?σ(Tn)，因此σ(Tn)?σ(T)。

先證∏(T)?∏(Tn)。設λ∈∏(T)，0 ＜p(λIT)=q(λI-T)＜∞。因0 ?∏(T)，則λ≠0，由引理1 知，0 ＜p(λI-Tn)=p(λI-T)＜∞且q(λITn)＜∞，所以0 ＜p(λI-Tn)=q(λI-Tn)＜∞，即λ∈∏(Tn)。

再 證 ∏(Tn)?∏(T)。設λ∈∏(Tn)，則λ∈σ(Tn) 且0 ＜p(λI-Tn)=q(λI-Tn)＜∞。由文獻［7］的引理2 和引理3 知，p(λI-T)=q(λIT)＜∞。若p(λI-T)=q(λI-T)=0，即λ?σ(T)，因σ(T)=σ(Tn)，則λ?σ(Tn)，矛盾，因此0 ＜p(λI-T)=q(λI-T)＜∞，即λ∈∏(T)。

引理3設T∈L(X)，0 ?∏a(T)，若存在正整數n，使得R(Tn)是閉的，則∏a(T)=∏a(Tn)。

證 明若0 ?∏a(T)，可斷言σa(T)=σa(Tn)。事實上，設λ?σa(Tn)，（i）若λ=0，則p(Tn)=0 且R(Tn)是閉的，由文獻［7］的引理2 知，p(T)＜∞。由文獻［7］的 注 1 知，p(T)=inf {k∈N：Tk是單射}≤n。又因R(Tn+1)=R(Tn)是閉的，由文獻［6］的引理1.1 知，對任意的m≥p(T)，R(Tm)是閉的，所以T是左Drazin 可逆的。假設0 ∈σa(T)，則0 ∈∏a(T)，矛盾，因此λ?σa(T)。（ii）若λ≠0，則N(λI-Tn)={0}且R(λI-Tn)是閉的，由引理1和文獻［8］的引理1.5 知，N(λI-T)={0} 且R(λI-T) 是閉的，所 以λ?σa(T)。因 此σa(T)?σa(Tn)。

反 之，設λ?σa(T)，（i）若λ=0，則N(T)={0}且R(T)是閉的，從而N(Tn)=N(T)∩R(Tn)={0}。又因p(T)=0 且R(T)是閉的，由文獻［6］的引理1知，R(Tn)=R(Tn+1)是閉的，所以λ?σa(Tn)。（ii）若λ≠0，由引理1 知，N(λI-Tn)=N(λI-T)={0}且R(λI-Tn)=R(λI-T)∩R(Tn)是閉的，所 以λ?σa(Tn)，因此σa(Tn)?σa(T)。

先 證 ∏a(T)?∏a(Tn)。設λ∈∏a(T)，則λ∈isoσa(T)，p(λI-T)＜∞且R((λI-T)p(λI-T)+1)是閉的。因σa(T)=σa(Tn)，所 以λ∈isoσa(T)=isoσa(Tn)。又因0 ?∏a(T)，所以λ≠ 0，由引理1知，p(λI-Tn)=p(λI-T) ＜ ∞且R((λI-Tn)p(λI-Tn)+1)=R((λI-T)p(λI-Tn)+1) ∩R(Tn)=R((λI-T)p(λI-T)+1) ∩R(Tn) 是閉的，因 此λ∈∏a(Tn)。

再 證∏a(Tn)?∏a(T)。設λ∈∏a(Tn)，（i）若λ=0，則0 ∈∏a(Tn)=σa(Tn)σld(Tn)。因σld(Tn)=σusbb(Tn)，所 以Tn是上半B-Browder 算子，即存在m∈N，使得R()=R(Tn+m)是閉的且Tn[m]是上半Browder 算子，其中Tn[m]表示T在R(Tn+m)上的限 制。因 此T是上半B-Browder 算子，從 而0 ?σusbb(T)=σld(T)。又 因σa(T)=σa(Tn)，所 以0 ∈σa(T)，λ∈σa(T)σld(T)=∏a(T)。（ii）若λ≠0，則λ∈σa(Tn)，p(λI-Tn)＜∞ 且R((λITn)p(λI-Tn)+1) 是閉的。因σa(T)=σa(Tn)，所 以λ∈σa(T)。由引理1 和文獻［8］的引理5 知，p(λI-T)=p(λI-Tn)＜ ∞且R((λI-T)p(λI-T)+1)=R((λI-T)p(λI-Tn)+1)是閉的，因此λ∈∏a(T)。

引理4設T∈L(X)，0 ?∏(T)，若存在正整數n，使得R(Tn)是閉的，則∏0(T)=∏0(Tn)。

證明由于0 ?∏(T)，因此0 ?∏0(T)。假設0 ∈∏0(Tn)，則0 ∈∏(Tn)，由引理2 知，0 ∈∏(T)，矛盾。因此0 ?∏0(Tn)。于是，對任意的0 ≠λ∈C，由引理1 知，α(λI-T)=α(λI-Tn)，又由引理2 知，∏(T)=∏(Tn)，所 以∏0(T){0}=∏0(Tn){0}，即∏0(T)=∏0(Tn)。

引理5設T∈L(X)，0 ?∏a(T)，若存在正整數n，使得R(Tn)是閉的，則(T)=(Tn)。

證明類比引理4 的證明過程，利用引理1 和引理3 可證得(T)=(Tn)。

引理6設T∈L(X)，0 ?E(T)，若存在正整數n，使得R(Tn)是閉的，則E(T)=E(Tn)。

證 明設λ∈E(T)，則λ∈isoσ(T) 且α(λI-T)＞0。因0 ?E(T)，所 以0 ?∏(T)，由 引理 2 的證明 過程知，σ(T)=σ(Tn)，從 而λ∈isoσ(Tn)，顯然λ≠0。由引理1 知，α(λI-Tn)=α(λI-T)＞0，所以λ∈E(Tn)。因此E(T)?E(Tn)，反之，設λ∈E(Tn)，則λ∈isoσ(Tn)且α(λI-Tn)＞0。同理可 知，σ(T)=σ(Tn)，則λ∈isoσ(T)。又 因N(λI-Tn)?N(λI-T)，有α(λI-Tn)≤α(λIT)，所以λ∈E(T)，E(Tn)?E(T)。

引理7設T∈L(X)，0 ?Ea(T)，若存在正整數n，使得R(Tn)是閉的，則Ea(T)=Ea(Tn)。

證明類比引理6 的證明過程，由引理1 和引理3 可 證得Ea(T)=Ea(Tn)。

類比引理4 的證明過程，由引理6 和引理7 可分別證得以下2 個引理。

引理8設T∈L(X)，0 ?E(T)，若存在正整數n，使得R(Tn)是閉的，則E0(T)=E0(Tn)。

引理9設T∈L(X)，0 ?Ea(T)，若存在正整數n，使得R(Tn)是閉的，則(T)=(Tn)。

2 譜性質及其限制

探討T滿足譜性質Cab（譜性質Caw，Bab，Baw）等價于Tn滿足譜性質Cab（譜性質Caw，Bab，Baw）的條件。

定理1設T∈L(X)，0 ?∏a(T)，則T滿足譜性質Cab 當且僅當存在n∈N 使得R(Tn)是閉的且Tn滿足譜性質Cab。

證明充分性。若存在n∈N，使得R(Tn)是閉的 且Tn滿足譜性質Cab，則σa(Tn)σuw(Tn)=∏a(Tn)。設λ∈∏a(T)，由引理3 知，λ∈∏a(Tn)=σa(Tn)σuw(Tn)，則λI-Tn是上半Weyl 算子，即R(λI-Tn) 是閉的 且 ind(λI-Tn)≤∞，因0 ?∏a(T)，顯 然λ≠0，由文獻［8］的引理5 知，R(λI-T)是閉的。又由引理1 知，α(λI-T)=α(λI-Tn)且β(λI-T)=β(λI-Tn)，則ind(λIT)=ind(λI-Tn)≤∞，所以λI-T是上半Weyl 算子，即λ∈σa(T)σuw(T)。因 此∏a(T)?σa(T)σuw(T)。反之，設λ∈σa(T)σuw(T)，（i）若λ=0，則T是上半Weyl 算子，即T是上半Fredholm 算子且ind(T)≤∞。因T0=T是上半Fredholm 算子，由文獻［2］的定理2.1 知，Tn是上半Fredholm 算子且ind(Tn)=ind(T)≤∞，所以λI-Tn是上半Weyl 算子。（ii）若λ≠0，則λI-T是上半Weyl 算子，即R(λI-T)是閉的且ind(λI-T)≤∞。由引理1知，R(λI-Tn)=R(λI-T)∩R(Tn) 是閉的，α(λI-Tn)=α(λI-T)且β(λI-Tn)=β(λI-T)，即ind(λI-Tn)=ind(λI-T)≤∞，所 以λI-Tn是上半Weyl 算子。因0 ?∏a(T)，由引理3 的證明過程知，σa(T)=σa(Tn)，所 以λ∈σa(Tn)σuw(Tn)。又因Tn滿足譜性質Cab，由引理3 知，λ∈∏a(Tn)=∏a(T)，所以σa(T)σuw(T)?∏a(T)。因此σa(T)σuw(T)=∏a(T)，即T滿足譜性質Cab。

必要性。若T滿足譜性質Cab，令n=0，則R(T0)=X是閉的且T0=T滿足譜性質Cab。

定理2設T∈L(X)，0 ?Ea(T)，則T滿足譜性質Caw 當且僅當存在n∈N 使得R(Tn)是閉的且Tn滿足譜性質Caw。

證明充分性。若存在n∈N，使得R(Tn)是閉的 且Tn滿足譜性質Caw，則σa(Tn)σuw(Tn)=Ea(Tn)。設λ∈Ea(T)，類比定理1 的證明過程，由引理1 和引理7 可證得Ea(T)?σa(T)σuw(T)。反之，因Tn滿足譜性質Caw，由文獻［5］的定理6 知，Tn滿足譜性質Cab。因0 ?Ea(T)，顯然0 ?∏a(T)，由定 理1 知，T滿足譜性質Cab，即σa(T)σuw(T)=∏a(T)。又 因 ∏a(T)?Ea(T)，所 以σa(T)σuw(T)?Ea(T)。因 此σa(T)σuw(T)=Ea(T)，即T滿足譜性質Caw。

必要性。類比定理1 的證明過程可得。

定理3設T∈L(X)，0 ?∏a(T)，則T滿足譜性質Bab 當且僅當存在n∈N 使得R(Tn)是閉的且Tn滿足譜性質Bab。

證明由文獻［5］的定理9 知，T滿足譜性質Bab 等價于T滿足譜性質Cab，由定理1 可證得。

定理4設T∈L(X)，0 ?Ea(T)，則T滿足譜性質Baw 當且僅當存在n∈N 使得R(Tn)是閉的且Tn滿足譜性質Baw。

證明充分性。若存在n∈N，使得R(Tn)是閉的 且Tn滿足譜性質Baw，則σa(Tn)σusbw(Tn)=(Tn)。設λ∈(T)，由引理9 知，λ∈(Tn)=σa(Tn)σusbw(Tn)，則λI-Tn是上半B-Fredholm 算子，從而存在m∈N，使得R((λI-Tn)m)是閉的。因0 ?Ea(T)，顯 然λ≠0，由文獻［8］的引理5 知，R((λI-T)m) 是閉的。又 因λ∈(T)，所 以α(λI-T)＜∞，從而α((λI-T)m)＜∞，(λI-T)m是上半Fredholm 算子。又由文獻［1］的定理1.46知，λI-T是上半Fredholm 算子。因λ∈isoσa(T)，所以T在λ處具有單值擴張性（single valued extension property，SVEP），又由文獻［1］的推論2.48 知，ind(λI-T)≤∞，從而λI-T是上半Weyl算子，λ∈σa(T)σuw(T) ?σa(T)σusbw(T)。因此，(T)?σa(T)σusbw(T)。反之，因Tn滿足譜性質Baw，由文獻［3］的定理4 知，Tn滿足譜性質Bab。因0 ?Ea(T)，顯然0 ?∏a(T)，則由定理3 知，T滿足譜性質 Bab，即σa(T)σusbw(T)=(T)。因(T)?(T)，所以σa(T)σusbw(T)?(T)，有σa(T)σusbw(T)=(T)，即T滿足譜性質Baw。

必要性。類比定理1 的證明過程可得。

注1將以上4 個定理的條件改為0 ?isoσa(T)，結論依然成立。