一類高階非線性非自治動態方程的動力學性質

張萍，楊甲山

（1.邵陽學院 理學院,湖南 邵陽 422004；2.梧州學院 大數據與軟件工程學院,廣西 梧州 543002）

0 引言

振動（亦稱振蕩）是一種常見的物理現象，廣泛存在于自然界和工程技術的各個領域，如機械振動、同步加速器中波束的振動、化學反應過程中的復雜振動以及自動控制系統中的自激振動等，這些振動現象可以統一為系統的振動理論。急動度［1］（亦稱加加速度）是描述機械運動的重要基本概念，常用于物理學的混沌理論和非線性動力學、高層建筑的抗風抗震設計以及交通工具設計等。急動度是加速度對時間的變化率，為三階微分方程。近年來，微分差分方程的“統一、推廣形式”——時間測度鏈上動態方程的有關理論的研究取得了重要進展［2-17］，但大多是對一階和二階動態方程的研究［4-7，16-17］，對三階及三階以上高階動態方程的研究相對較少［8-15］。本文研究時間測度鏈T 上一類非線性非自治高階動態方程：

的振動性，其中，y(t)=x(t)+p(t)g(x(t))，φ(u)=|u|λ-1u，實數λ＞0，而n≥3 為整數，并且下 列條件成立：

（H1）T 是任意時間測度鏈，且sup T=+∞；對t0∈T 且t0＞0，定義時間測度鏈區間[t0，+∞)T=[t0，+∞)∩T。

（H2）函數p，qi∈Crd(T，R)，且p(t)≥0，qi(t)≥0，i=1，2（下同，略）。

（H3）函數g，fi∈C(R，R)，且ug(u)＞0(u≠0)，ufi(u)＞0(u≠0)，當u≠0 時，g(u)/u≤η，f1(u)/u≥L1，f2(u)/u≤L2，且L1q1(t)-L2q2(t)＞0，其中，0 ＜η≤1 和Li＞0 均為常數。

系統（1）的解及其振動的定義可參看文獻［2-15］。時間測度鏈T 的理論及其微積分的一般知識，可參看文獻［2-3］。本文的目的是在無0≤p(t)＜1條件限制下建立n（n≥3）階非線性非自治動態方程（1）振動的若干準則，得到的振動準則改進了現有的結論。在相應的高階非線性非自治微分方程和差分方程中，此振動準則也是新的。

1 引 理

2 主要結果及證明