淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中邏輯規(guī)律的引入

劉志蘭

（河北省張家口市宣化區(qū)龐家堡鎮(zhèn)東風(fēng)路小學(xué)，河北 張家口 075100）

一、知識結(jié)構(gòu)、邏輯推理及相互間的關(guān)系

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生邏輯思維能力的一個重要途徑。烏辛斯基早就指出：“所謂智力發(fā)展不是別的，只是很好組織起來的知識體系。”而知識體系因?yàn)槠鋬?nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)而獲得邏輯意義。數(shù)學(xué)中基本的概念、性質(zhì)、法則、公式等都是遵循科學(xué)的邏輯性構(gòu)成的。

“數(shù)學(xué)作為一種演繹系統(tǒng)，它的重要特點(diǎn)是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通過定義引入的。”這種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學(xué)內(nèi)容以邏輯意義相關(guān)聯(lián)。另一方面從知識結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的邏輯思維形式中得到的研究方法（如邏輯推理等），再去獲取更多的知識。如學(xué)習(xí)“能同時被2、5 整除的數(shù)的特征”時，我們是通過演繹推理得到的：

所有能被2 整除的數(shù)的末尾是0、2、4、6、8；

所有能被5 整除的數(shù)的末尾是0、5；

因此，能同時被2、5 整除的數(shù)的末尾是0。數(shù)學(xué)中的這種推理形式一旦被學(xué)生所熟識，他們又會運(yùn)用它在已有知識的基礎(chǔ)上做出新的判斷和推理。學(xué)生知識的習(xí)得和構(gòu)建，主要依賴認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的適當(dāng)觀念，去影響和促進(jìn)新的理解、掌握，溝通新上知識的互相聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這是數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容：一是新舊知識建立下位聯(lián)系；二是新舊知識建立上位聯(lián)系；三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結(jié)構(gòu)中的三類推理恰好建立相應(yīng)的聯(lián)系。推理，是從一個或幾個已知的判斷得出新的判斷的過程。通常有：演繹推理（從一般性的前提推出特殊性結(jié)論的推理）；歸納推理（從特殊的前提推出一般結(jié)論的推理）；類比推理（從特殊的前提推出特殊結(jié)論的推理或從一般前提推出一般結(jié)論的推理）。

在教學(xué)的過程中，教師結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識地把邏輯規(guī)律引入教學(xué)，注意示范、點(diǎn)撥，顯然是有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。

二、邏輯推理在教與學(xué)過程中的應(yīng)用

如果原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)觀念極其抽象，概括性和包容性高于新知識，新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬于舊知識時，那么宜適當(dāng)運(yùn)用演繹推理的規(guī)則，由一般性的前提推出特殊性的結(jié)論。

“演繹的實(shí)質(zhì)就是認(rèn)為每一特殊（具體）情況應(yīng)當(dāng)看作一般情況的特例”。為了得以關(guān)于某一對象的具體知識，先要找出這一對象的類（最近的類概念），再將這一對象的類的屬性應(yīng)用于哪個對象。如：運(yùn)用乘法分配律簡便運(yùn)算時，學(xué)生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎(chǔ)，才能得出：

999×999+999=999×（999+1）=999000

這里999×999+999=999×（999+1）是根據(jù)一般性判斷a×c+b×c=（a+b）×c推出的。當(dāng)學(xué)生理解這種推理的順序，且懂得要使演繹推理正確，首先要前提正確，并學(xué)會使用這樣的語言：

只有兩個約數(shù)（1 和它本身）的數(shù)是質(zhì)數(shù)；

101 只有兩個約數(shù)；

101 是質(zhì)數(shù)。

那么，符合形式邏輯的演繹法則就初步被學(xué)生所掌握。

在知識層面中，這種類屬過程的多次進(jìn)行，就導(dǎo)致知識不斷產(chǎn)生新的層次，其邏輯結(jié)構(gòu)就越加嚴(yán)密，新的知識也就會不斷分化和精確化，就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知識。教學(xué)中正確把握這種結(jié)構(gòu)，用演繹推理的手段組織學(xué)習(xí)過程，不但能培養(yǎng)學(xué)生的思考方法，理解內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，還能提高學(xué)生的模式辨認(rèn)能力，縮短推理過程，快速找到解題途徑。

在新舊知識建立下位聯(lián)系時，整個類屬過程可分化為兩種情況。

（一）當(dāng)新知識從屬于舊知識時，新知識只是舊知識的派生物。可以從原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)中直接推衍。新知識可以直接納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。

如學(xué)生已學(xué)過兩位數(shù)的筆算，清晰而穩(wěn)固地掌握了加法的計(jì)算法則，現(xiàn)在要學(xué)三、四位數(shù)的加法，只要讓學(xué)生思考并回憶兩位數(shù)加法計(jì)算的表象結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)撥一下三、四位數(shù)加法與兩位數(shù)加法有相同的筆算法則，學(xué)生就能順利解決新課題。新知識很快被舊知識同化，并使原有筆算法則得到充實(shí)新的知識獲得意義。雖然這些知識的外延得到擴(kuò)大，但內(nèi)涵不變。

教學(xué)中，掌握這些知識的內(nèi)涵的邏輯結(jié)構(gòu)，就會有一個清晰的教學(xué)思路，就會自覺地運(yùn)用演繹推理的手段，與學(xué)生一起愉快地順利地進(jìn)行下位學(xué)習(xí)。就不會在講三、四位數(shù)加法時，著眼于竭力以三、四位數(shù)加法為例證，說明加法的計(jì)算法則。

（二）新知識類屬于原有較高概括性的觀念中，但不能從原有上位觀念中直接派生出來，而需要對原有知識做部分的改組，才能同化新知識。新知識納入原有知識后，原有知識得到擴(kuò)展、加深、限制、修飾和精確化。新舊知識之間處于相關(guān)類屬。這時，運(yùn)用演繹推理之前，先要對原有知識做部分改組，請出一個“組織者”，再步步演繹。（為新知識生長提供觀念上的“固定點(diǎn)”，增加新舊知識間的可辨性，充當(dāng)新舊知識聯(lián)系的“認(rèn)知橋梁”，奧蘇伯爾稱它為“先行組織者”簡稱“組織者”。）

如果原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)已形成幾個觀念，要在原有的觀念上學(xué)習(xí)一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識，即新舊知識建立上位聯(lián)系時，那么適當(dāng)運(yùn)用歸納推理的規(guī)則，可由特殊的前提推出一般性的結(jié)論。當(dāng)需要研究某一對象集時，先要研究各個對象（情況），從中找出整個對象集所具有的性質(zhì)，這就是歸納推理。歸納推理的基礎(chǔ)是觀察和試驗(yàn)，是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況（結(jié)論、推論）。

教材中關(guān)于概念的形成，運(yùn)算法則和運(yùn)算定律、性質(zhì)得出，一般是通過歸納推理得到的。如分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識。在學(xué)習(xí)前，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有了分?jǐn)?shù)的某些具體經(jīng)驗(yàn)，加上教材提供的和教師列舉的生活實(shí)例和圖形。如：一個蘋果平均分成兩份，每份是它的1/2，一根鋼管平均截成三段，每段是它的1/3，一張紙平均分成4 份，每份是這張紙的1/4……所有這些操作和演示都讓學(xué)生認(rèn)識到幾分之一這個概念。隨后，再認(rèn)識幾分之幾。這種不完全的歸納推理，是在考察了問題的若干個具體特例后，從中找出的規(guī)律。（嚴(yán)格地說，由不完全歸納法推理得到的結(jié)論還需要論證，才能判定它的正確性。）

運(yùn)用歸納推理傳授知識時，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取典型的特例，并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結(jié)論。又要用這個“一般結(jié)論”，去解決具體特例。在教與學(xué)的進(jìn)程中，歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的，它們緊密交織在一起。