高中數學導數解題典型性應用

何菊蔚

（江西省龍南中學，江西 贛州 341700）

導數是高中數學的重要組成部分，對于高中學來說也是比較難以接受的知識點，它不僅對于學生的思維邏輯能力有要求，而且對于學生的運算水平和解題速度有要求，要想熟練地運用導數來解決問題，就必須掌握好導數的相關知識點，通過對導數一系列類型題的訓練，最終使學生能夠熟練地解決導數問題，提高他們的解題速度和能力。本文主要從導數在函數中的運用和在切線中的運用展開的。

一、導數在函數中的運用

導數相對于其他而言，它的運用十分廣泛，具體表現在求解函數單調性、單調區間和最值等問題的運用上，通過導數的運用，可以最大限度地降低這些問題的求解，減少過于復雜的步驟，也方便理解。

（一）導數在求解函數中取值范圍的應用

眾所周知，不等式中是存在較多問題的，不等式問題與函數問題緊密性較大。在高考這個競技場上，通過這些年的觀察，我們發現，學生間的不平等是建立在一定基礎上的，主要問題就在于他們之間解題方法不同，在初等數學中，我們用傳統的解題方法就能解決問題，但這種方法解題步驟過于繁瑣，解題效率不夠，處于這種情形下，利用導數解決是最好的辦法，既能快速地解決問題，又能使解題步驟明晰化。然而對于不同的問題，導數的使用情形也會有差異，以下是具體實例：

解析：設g(x)=ax-f(x)，在g’(x)大于0的時候，f(x)≤ax.如果a的范圍在之間，同時令h(x)=sinx-3ax，可以得＞ax，通過對a取值情況的討論，可以得出a的范圍大小。

（二）導數在求解函數中單調區間的應用

導數對于解決函數中的單調性問題用處很大，導數可以把許多復雜的圖像問題簡單化，尤其是那些很復雜的問題，用導數去求單調區間比直接求函數的單調區間要容易的多，它具體的步驟如下：首先，將函數表達式直接求導，然后求導數值大于或小于零時對應的值，求出的這個值的兩邊就是增減相反的兩個單調區間，當導數值小于零時，即為單調遞減區間，當導數值大于零時，落入的即為單調遞增區間。以下是具體的例子：

如果有函數f(x)=-sinx，x∈(0，2π)，求該函數的單調遞減區間。

解析：已知某函數，求函數的單調遞減區間，用導數可以這樣求，先對該函數進行求導，f’(x)=cosx，當導數值小于零時，得f(x)=-sinx，x ∈ (0，2π) 的遞減區間。

上述的例子是求函數單調區間的問題，但也存在求方向的問題，比如已知函數的單調區間，要求函數本身的某個未知值。以下是具體例子：

如果有函數f(x)=ax3-3x+1≥0，x∈[-1，1]，求a的大小。

解析：解決這道題的核心就在于要用x去構建一個a的方程式，要使f(x)≥0，那么就要讓x與a建立不等關系，當x∈(0，1]，可得因此，假設求導后，可得出g(x)的單調區間，最后可得出g(x)在上遞增，在上遞減，因此可以看出，當時，函數可以取最大值，為4，我們可以得出這樣的結論，當x＞0時，a 最少可以取4，當x＜0時，a最多可以取4，所以a的取值為4。

（三）導數在求解函數中最值的應用

利用導數，不僅可以求函數的取值范圍和單調區間，還可以求函數的最值，但要注意，一般求到的是函數的極大值或者極小值，這些值不一定是函數的最值，這點需要特別注意。以下是具體例子：

有函數f（x)=（1-x2)(x2+ax+b)關于x=-2對稱，求f（x)的最大值。

解析：要求f（x)的最大值，首先要求出該函數中的未知數，根據給出的條件，可以得出a=8，b=15，然后令函數的導數為0求解，也就是將原函數的導數分解為不等式，可得出)，通過這個分解式便可得出x的值，之后便可知道該函數的單調區間，依據單調性可知，當x=-2+或者-2-時，可能出現函數的最大值，最后通過將兩處函數值進行比較得出最終的函數最大值。

二、導數在曲線切線中的運用

如果用最原始的方法求曲線上某一點的切線曲線是比較復雜的，而且曲線不是常規的圓，解決起來沒那么容易，但利用導數可以很輕松地解決切線圖形問題。我們知道，導數是求變化率，而求曲線的變化率其實是求切線的斜率，針對這類問題一般可以這樣求，將某表達式 就行求導，也就是將某點的橫坐標帶入導數，所得到的變化率就是切線斜率，最后通過直線方程可以畫出一條平滑的直線方程。以下是具體例子：

如果有曲線 y=kx+lnx在（1，k)上的切線與x軸平行，求k的值。

解析：該題的解題思路是先將該函數進行求導，再求出曲線的導數式，由于在（1，k)上的切線與x軸平行，也就是說切線的斜率為0，所以直線方程為y’=k+1=0，k=-1.

三、結束語

導數的應用使得數學問題更加簡單化，一方面，它可以使數學問題更加明晰簡潔，把復雜式子一步步分解，便于思維邏輯的發展，另一方面，通過導數去解決這些數學問題，可以加深學生們對于該知識點的理解，便于將知識點更好地融會貫通，比如求曲線的切線問題，學生通過導數的求解，對于斜率也會有更深地理解。在往后的數學函數或者切線問題中，要學會先思考能不能用導數進行求解，如果能，便可以用導數直接求，如果不能，再采用傳統的方法。學會用導數的思維去解決問題，也是高考考試中需要考察的重點，我們的學生需要嚴格要求自己，認真學習導數，我們的老師也要將方法用到實處，教會學生這幾類問題，在切線的問題和函數問題上使他們爭取做到從容不迫，游刃有余。