基于改進小波閾值函數的癲癇信號去噪算法*

呂 健

（江蘇科技大學電子信息學院 鎮江 212003）

1 引言

腦電信號（EEG）是非線性、非平穩的隨機弱信號，幅度較為微弱，腦電信號的幅度一般只有50μv，最大幅度不超過100μv。通常，在檢測得到的EEG 信號中包含了大量的干擾信號，例如來源于非腦部神經活動產生的生理電信號：心電信號（ECG）、眼電信號（EOG）和肌電信號（EMG），電磁場干擾引發的工頻干擾偽差信號。因此，癲癇信號分析處理的首要任務是消除癲癇信號中的各類干擾信號，為接下來的癲癇診斷做準備。

小波變換是通過對信號的時間-尺度（時間-頻率）進行分析的方法，擁有多分辨分析的能力和時頻局部化分析的良好特性。目前小波去噪方法常見的有小波閾值去噪法、小波系數相關去噪法和基于模極大值去噪法等，但用途最廣的是小波閾值去噪法。

目前，閾值去噪常用的函數為硬閾值和軟閾值函數，但是硬閾值函數和軟閾值函數都存在些許缺陷，硬閾值函數在小波重構信號時，信號波形容易產生震蕩，而軟閾值在信號重構后，信號的均方差過大。如何盡可能地去除噪聲的同時保持信號重構波形不失真，確定最優小波基函數、分解層數、閾值函數和閾值選擇的方法，這是研究小波閾值去噪算法的關鍵。因此本文構造了一種新的閾值函數，仿真實驗表明本文構造的閾值函數不僅有效地克服軟硬閾值函數的缺點，而且去噪效果優于已有閾值函數，擁有一定的實用價值。

2 小波閾值去噪

2.1 小波閾值去噪基本原理

包含噪聲的癲癇信號可以用以下模型表示：

其中，s（n）為含噪癲癇信號，f（n）為癲癇信號，e（n）為噪聲信號，n 是信號的長度，σ為噪聲信號的標準方差［1］。

由于小波變換方法是線性變換，因此通過對f（n）做離散小波變換后，獲得的小波系數由兩部分組成，其分別對應于癲癇信號的小波系數和噪聲所對應的小波系數。幅值較大的小波系數對應于癲癇信號，幅值較小的小波系數對應于噪聲信號［2～3］。因此Donoho 提出了基于閾值函數的小波去噪方法，即將高頻系數中較小的小波系數置為零，而保留較大的小波系數，常用的方法有硬閾值和軟閾值［4～6］。在小波閾值去噪方法中，所構造的閾值函數，對小波系數的閾值量化處理一定程度上它直接決定信號去噪的效果。

小波閾值去噪法通常可以分為如下三個基本步驟［7～8］：

1）小波分解：選擇最佳小波基函數，對含噪信號s（n）做j層小波分解；

2）閾值量化：選擇合適的閾值準則，量化處理每層高頻小波系數；

3）信號重構：根據近似系數和量化后的細節系數，重構信號。

圖1 小波閾值去噪基本步驟

2.2 小波基函數的選擇

小波系數的本質便是度量小波基函數與原信號相似程度。信號經小波變換后得到的小波系數越大，則表明信號與小波基函數的波形越相似；反之，則相似程度較?。?］。為了盡量凸顯癲癇信號分解所得小波系數與噪聲信號分解對應的小波系數之間的差異性，應盡量選擇與癲癇信號的波形相似程度最好的小波基函數。經過實驗對比，db4 小波基與癲癇波形相似度極高，因此本文選擇db4 小波基進行小波變換。

2.3 分解尺度的選擇

對癲癇信號進行小波變換時，分解尺度i 的選取也極為重要。尺度越大，則噪聲和信號也將更明顯表現出不同特性，越利分離信號和噪聲。但與此同時，隨著尺度的增大，信號重構時失真程度也越大，影響了信號去噪的性能［10］。因此，在選擇分解尺度的時，要特別注意處理好兩者之間的關系。

3 小波閾值函數

Donoho 提出了兩種閾值函數：軟閾值和硬閾值函數，這兩種函數在信號去噪中得到了廣泛的應用［11］。

1）硬閾值函數

硬閾值函數是將小波系數的絕對值小于或等于閾值作噪聲置零處理，而保留小波系數絕對值大于閾值［12］。硬閾值函數的表達式如下式：

式中Wj，k為小波系數，λ 為選用的閾值，為經過硬閾值函數量化后的小波系數。

2）軟閾值函數

軟閾值函數也是將小波系數絕對值小于或等于閾值的小波系數置零，而將小波系數絕對值大于閾值的予以收縮保留［13］。軟閾值函數的表達式如下：

式中，Wj，k為小波系數，λ 為選取的閾值，為經軟閾值函數量化處理后的小波系數。函數sgn（Wj，k）是符號函數。

雖然軟、硬閾值函數在實際中應用廣泛，但是它們自身也存在一些不足：

（1）硬閾值函數可以很好地保留信號的邊緣局部特性，但由于硬閾值函數在閾值λ 處存在間斷點，重構的信號會產生振蕩現象。

（2）軟閾值函數圖像連續性好，去噪信號平滑。但量化后的小波系數存在固定偏差，會丟失信號的高頻信息，造成邊緣模糊。

4 小波閾值選取

在小波閾值函數方法去噪的關鍵環節之一便是選擇閾值，閾值選取的大小關系到信號去噪的最終效果。如果閾值選取的數值過小，則將在去噪后的信號中保留絕大部分噪聲信號；如果閾值數值選取過大，將會去除部分有用信號，導致信號失真。因此，在小波閾值函數去噪方法中關鍵之一便是選取合適的閾值λ。

本文介紹以下幾種常見的閾值估計準則［14］：

1）固定閾值（Sqtwolog 規則）：固定閾值的基本原理是N 個具有獨立同分布的標準高斯變量中的最大值小于Th的概率隨著N的增長而趨近于1。

2）Stein 無偏風險閾值規則（Rigrsure 規則）：本準則的基本原理基于Stein 的似然估計而選擇自適應閾值。

3）啟發式閾值規則（Heursure 規則）：啟發式閾值方法是固定閾值和自適應閾值兩種方法的綜合，是最佳閾值選擇的方法。但當信噪比過小時，這時應選用固定閾值準則。

4）極大極小準則（Minimaxi規則）：該準則也選擇采用一種固定的閾值，它計算最小均方誤差下的極值。

5 小波去噪的性能評價標準

為了比較不同閾值函數之間處理癲癇信號的去噪效果，本文引入了兩種常用的評價指標［15］：信噪比（SNR）、均方根誤差（RMSE）。

1）信噪比：信噪比通常用來作為信號去噪性能的評斷標準。信噪比的單位是分貝（dB），信噪比的定義表達式為

表達式中，f(i)為原始信號，f′(i)為去噪后的信號，信噪比SNR越大，表示去噪性能越好。

2）均方根誤差［16］：即原始信號與去噪后的估計信號之間的方差的平方根，其定義式為

式中，f(i) 為原始信號，f′(i) 為去噪后的信號。RMSE均方根誤差越小，表示信號去噪性能越好。

6 閾值函數的改進

由上文可知，傳統的軟、硬閾值函數均有其自身的缺陷，因此在實際的信號去噪應用中有存在一定的局限，為此本文構造了一種改進閾值函數。

根據閾值函數的基本原理所構造出來的函數，應當滿足如下條件：

1）在閾值門限處函數應連續，以避免出現偽吉布斯現象。

2）在小波系數大于閾值λ，閾值函數圖像需單調且連續。

3）函數應有漸近線。經過變換操作后，可使其漸近線與y（x）=x曲線重合。

本文構造的閾值函數表達式如下：

其中0 ≤k ≤1，0 ≤α ≤1，軟硬閾值函數及改進閾值函數的圖像如圖2所示。

圖2 改進閾值函數及軟硬閾值圖像

本文所構造的閾值函數在定義域內，和軟閾值函數擁有著相同的連續性，避免了出現由于函數不連續而出現偽吉布斯現象。隨著小波系數的變大，可以明顯看出閾值函數逐漸逼近于硬閾值函數圖像。當k=0，本閾值函數變為軟閾值函數，當k=1，閾值函數變為硬閾值函數。參數k 在（0，1）區間內可靈活選取，不僅可以減少軟閾值方法中產生的恒定偏差，也可以彌補硬閾值的不連續的缺陷，可以盡量避免出現信號振蕩的現象，使重構信號更平滑。當小波系數小于閾值時，調節α使新閾值函數在閾值處理時保留較小的小波系數，即保留了部分有用信號，降低重構信號時產生的均方差，去噪效果較為顯著。

7 實驗仿真

本文研究采用的癲癇信號數據來源于CHB-MIT 頭皮腦電數據庫，采樣頻率256Hz 分辨率為16 位。本文選用了chb04.edf 文件，采樣頻率256Hz，本文選擇癲癇信號發生的片段中的1s 做仿真，取采樣數為256，用db4小波基函數對信號進行4 層小波分解，閾值取固定閾值，在不同的分解層次取，其中j為第j 層分解層，符合噪聲所對應高頻小波系數隨分解層數增大而減小的特征。對癲癇數據分別進行軟硬閾值以及改進閾值去噪處理。

圖3 原始信號圖像

圖4 硬閾值去噪圖像

圖5 軟閾值去噪圖像

圖6 k=0.2改進閾值去噪圖像

圖7 k=0.4改進閾值去噪圖像

圖8 k=0.6改進閾值去噪圖像

表1 閾值函數去噪參數

通過觀察Matlab實驗仿真圖，我們從圖中可以明顯看出，經過本文所構造的閾值函數去噪處理后的信號，比常規閾值函數方法所處理的癲癇信號更為接近原始信號，更加能反映原始信號的特征信息。為了更加準確地評價去噪性能，通過計算比較去噪后癲癇信號的信噪比以及均方根誤差。通過分析比較表1當中的數據，隨著k值的增大，本文的閾值函數去躁后的信噪比更大，均方根誤差更小，相較于軟、硬閾值函數的信噪比至少提高9%，而均方根誤差至少降低了19%和4%。因此本閾值函數擁有比軟、硬閾值函數更好的去噪效果，適合用于處理癲癇信號。

8 結語

本文主要介紹了小波閾值去噪方法的根本原理及基礎步驟，選擇合適的小波基函數、小波分解層數和閾值估計規則的選取。然后分析總結了軟、硬閾值函數的優劣勢，針對傳統的閾值函數中所存在的缺陷，本文構造了一種新型改進閾值函數，與軟、硬閾值函數相比，本函數計算速度較快、連續性好且參數易于調整。在實際處理癲癇信號時，經過去噪處理后的信號，不僅去除了癲癇信號中的毛刺。此外，信噪比得到較大提升，均方根誤差也相應的降低，癲癇診斷的準確性得到提高。

目前，本算法所處理的癲癇數據來源于CHB-MIT 頭皮腦電數據庫，并且只能進行離線癲癇數據處理。接下來的重點便是實現實時處理采集中的癲癇信號，應用到臨床實驗中。