“圖形與幾何”教學(xué)如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

孔凡哲

教育學(xué)博士，中南民族大學(xué)教育學(xué)院副院長(zhǎng)、二級(jí)教授、博士生導(dǎo)師，中南民族大學(xué)教育碩士學(xué)位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國(guó)高考數(shù)學(xué)命題專家，國(guó)家義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組核心成員，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組成員，教育部中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)研制組成員、義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)專家、教育現(xiàn)代化縣級(jí)示范區(qū)評(píng)估專家、哲學(xué)社會(huì)科學(xué)重大重點(diǎn)項(xiàng)目評(píng)審專家;主持完成國(guó)家、省部級(jí)以上科研項(xiàng)目12項(xiàng);出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學(xué)校科學(xué)研究（人文社會(huì)科學(xué)）優(yōu)秀成果獎(jiǎng)著作獎(jiǎng)、教育部第四屆全國(guó)教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎(jiǎng)著作獎(jiǎng)、教育部第五屆全國(guó)教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎(jiǎng)著作獎(jiǎng)等獎(jiǎng)項(xiàng)。

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是“圖形與幾何”教學(xué)的核心目標(biāo)之一。與發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念是“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的中心目標(biāo)、發(fā)展運(yùn)算能力與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的中心目標(biāo)相比，“圖形與幾何”教學(xué)的核心目標(biāo)在于發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，培養(yǎng)初步的推理能力，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，而運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)建模是“圖形與幾何”領(lǐng)域教學(xué)的“副產(chǎn)品”。

一、結(jié)合具體的幾何內(nèi)容的教學(xué)，培養(yǎng)相應(yīng)的核心素養(yǎng)

小學(xué)“圖形與幾何”包含“圖形的認(rèn)識(shí)”“測(cè)量”“圖形的運(yùn)動(dòng)”“圖形與位置”。這些內(nèi)容分別隸屬于直觀幾何、度量幾何、變換幾何和坐標(biāo)幾何領(lǐng)域。

在“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。在“圖形的認(rèn)識(shí)”中，學(xué)習(xí)是從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)中所熟悉的形體入手，借由學(xué)生本身的知覺(jué)，經(jīng)過(guò)操作與實(shí)測(cè)，以察覺(jué)、辨識(shí)幾何形體的組成要素及其與幾何形體之間的關(guān)系，進(jìn)而確定空間的基本概念，掌握基本性質(zhì)，對(duì)幾何圖形及其性質(zhì)形成直觀感受，進(jìn)行初步推理。因而，在學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)歷程中，教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，讓他們探索、觀察、感覺(jué)、構(gòu)建和分解身邊的幾何形體，經(jīng)歷圖形概念的抽象過(guò)程、幾何操作過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng);經(jīng)歷觀察、展開(kāi)、折疊、拼擺、畫(huà)圖等幾何活動(dòng)，積淀幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)和初步的數(shù)學(xué)推理能力。

在“測(cè)量”教學(xué)中發(fā)展直觀想象素養(yǎng)、運(yùn)算能力。“測(cè)量”屬于度量幾何的內(nèi)容，是從度量的視角進(jìn)一步研究圖形，從量的視角重新認(rèn)識(shí)空間。素養(yǎng)蘊(yùn)含在過(guò)程中，只有經(jīng)歷過(guò)程，才能培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng)。因而，幫助學(xué)生親身經(jīng)歷圖形測(cè)量活動(dòng)、積淀測(cè)量的直接經(jīng)驗(yàn)，才能發(fā)展直觀想象素養(yǎng);讓學(xué)生親身經(jīng)歷幾何量的計(jì)算過(guò)程，進(jìn)行合理的推理和計(jì)算，才能逐步發(fā)展運(yùn)算能力。

在“圖形的運(yùn)動(dòng)”教學(xué)中發(fā)展直觀想象素養(yǎng)和初步的數(shù)學(xué)推理能力。“圖形的運(yùn)動(dòng)”屬于變換幾何的內(nèi)容，是利用運(yùn)動(dòng)的視角研究圖形、認(rèn)識(shí)空間。教師只有幫助學(xué)生親身經(jīng)歷圖形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，積淀幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，只有幫助學(xué)生親身經(jīng)歷圖形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，體驗(yàn)幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中的不變性，并初步感知圖形運(yùn)動(dòng)不變性的原因，才能逐步發(fā)展他們初步的數(shù)學(xué)推理能力。

在“圖形與位置”教學(xué)中發(fā)展直觀想象素養(yǎng)、運(yùn)算能力。“圖形與位置”屬于坐標(biāo)幾何（解析幾何）的內(nèi)容，是利用代數(shù)量（“數(shù)對(duì)”）的視角重新刻畫(huà)圖形、認(rèn)識(shí)空間中的位置關(guān)系。學(xué)生只有經(jīng)歷圖形上點(diǎn)的定位過(guò)程和操作過(guò)程，才能發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，只有親身經(jīng)歷點(diǎn)的坐標(biāo)變化與圖形變化之間的關(guān)系，才能發(fā)展運(yùn)算能力。

二、分階段培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和運(yùn)算能力，各個(gè)階段各有側(cè)重

對(duì)小學(xué)“圖形與幾何”而言，幾何學(xué)習(xí)要經(jīng)歷“直觀感知——抽象——模型再抽象”三個(gè)階段。三個(gè)階段橫跨小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的全部?jī)?nèi)容。

1.第一階段（小學(xué)低段）：直觀感知、操作確認(rèn)——初步建立和培養(yǎng)空間觀念

對(duì)距離遠(yuǎn)近的感知是人的本能，這是小學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)的起點(diǎn);對(duì)大千世界中形形色色的實(shí)物形狀感知的經(jīng)驗(yàn)積淀，是小學(xué)生直觀想象建立的源泉。

在第一階段（一至二年級(jí)），學(xué)生應(yīng)該認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的物體，感悟三維空間，把握共性，分辨差異。以圓柱、圓錐體、球體為例，學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)差異而不容易發(fā)現(xiàn)共性，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圓柱、圓錐體與球體的共性是什么。具體的方法是，可以讓學(xué)生實(shí)物操作（展開(kāi)、折疊、拼擺等），理解空間的表達(dá)不僅有高低和胖瘦，還有前后、不同的截面，還可以借助分類活動(dòng)體會(huì)共性和差異。

2.第二階段（小學(xué)中段）：幾何抽象——培養(yǎng)空間觀念、建立幾何直觀，發(fā)展“四能”

幾何抽象是從三維空間的圖形中把點(diǎn)、線、面等基本概念抽象出來(lái)，知道它們的性質(zhì)，即兩點(diǎn)決定一條直線，三點(diǎn)決定一個(gè)平面;知道這些概念的關(guān)系，即點(diǎn)在線上、線在面上、面在體上;感悟度量的本質(zhì)，即兩點(diǎn)間的距離。除了直觀認(rèn)識(shí)圖形，增加從運(yùn)動(dòng)（對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)）的角度研究基本圖形（角、線段、三角形、四邊形、圓）的運(yùn)動(dòng)不變性，這個(gè)階段還要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，讓他們初步建立幾何直觀。

設(shè)計(jì)一些恰當(dāng)?shù)乃季S操作活動(dòng)和實(shí)踐操作活動(dòng)是非常重要的，如讓學(xué)生“拆盒子”：三年級(jí)學(xué)生會(huì)把三維的盒子的展開(kāi)圖表達(dá)在二維平面上;四年級(jí)學(xué)生會(huì)從二維的展開(kāi)圖想象出三維的盒子，從而建立三維空間和二維平面之間的聯(lián)系。

再比如，在思維操作中感受“平行”的含義。教材中把“在平面內(nèi)，兩條不相交的直線”叫作平行線。這里的“不相交”是指永遠(yuǎn)不相交。其實(shí)，對(duì)于兩條直線之間的平行關(guān)系，有多種理解方式：

（1）木工師傅雖然沒(méi)有學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)，卻能通過(guò)“兩條垂直于同一直線的直線是互相平行”的操作活動(dòng)畫(huà)平行線（如圖1）。其中的道理就在于，在平面內(nèi)只要兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，這樣的兩條直線就是相互平行的直線，即構(gòu)成平行關(guān)系。

（2）兩條直線總有相同的距離，這兩條直線就是相互平行的（如圖2、圖3）。

圖2展示的是跨欄運(yùn)動(dòng)中的“欄”，它直立的兩根柱子的高度是一樣的，此時(shí)，橫著的欄就平行于地面上的水平線。圖3所示商場(chǎng)筆直的扶梯的每一段踏板之間的距離都相同，踏板兩端的兩條直軌之間的位置關(guān)系就是相互平行的（圖中的兩條黃色線）。

運(yùn)用上述“平行”的含義，我們可以解釋生活中的大量現(xiàn)象，如圖4、圖5、圖6、圖7。

現(xiàn)實(shí)中存在著大量的相交線和平行線，如果我們細(xì)心觀察直線與直線之間的位置關(guān)系，仔細(xì)琢磨其中的道理，常常能體會(huì)到大自然的奇妙和人類的奇思妙想。比如，商場(chǎng)、機(jī)場(chǎng)的水平式的手扶電梯的兩側(cè)扶手是彼此平行的，而室外的觀光電梯的軌道之間也是平行的（圖4）;同向的行人在斑馬線上走的是平行線（圖5）;雙杠的兩個(gè)杠之間是平行關(guān)系（圖6）;閱兵儀式中，每一排士兵所在的直線彼此之間是相互平行的（圖7）;等等。

3.第三階段（小學(xué)高段）：度量計(jì)算、滲透推理——培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)、初步的數(shù)學(xué)推理能力，發(fā)展運(yùn)算能力

對(duì)于五至六年級(jí)學(xué)生，“圖形與幾何”內(nèi)容深化為從運(yùn)動(dòng)變換的視角、位置的視角和度量的視角研究圖形，滲透推理意識(shí)：

（1）感悟幾何度量的重要性，知道為什么要設(shè)置統(tǒng)一的度量單位，學(xué)會(huì)基于兩點(diǎn)間距離的各種度量方法，會(huì)度量長(zhǎng)度、面積、體積、角度，并且基于度量重新認(rèn)識(shí)空間。

（2）隨著年級(jí)的升高，幾何直觀的層次需要逐級(jí)提升，從最初側(cè)重于實(shí)物直觀、關(guān)注實(shí)物抽象，逐步過(guò)渡到以符號(hào)直觀和圖形直觀為主、實(shí)物直觀為輔，關(guān)注符號(hào)抽象、圖形抽象（當(dāng)然，與初中階段相比，小學(xué)階段出現(xiàn)的符號(hào)抽象相對(duì)偏少）。而空間觀念的發(fā)展需要從涵蓋“根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形”“根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體”“想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系”“描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化”“依據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出圖形”等方面，而不可局限在某些方面，比如從實(shí)物到圖形的轉(zhuǎn)換。

幾何直觀需要更高的思維水平，更需要教師在日常教學(xué)中不斷地主動(dòng)運(yùn)用幾何直觀幫助學(xué)生建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)理解，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的整體思維方式和數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，并幫助學(xué)生把握往往起核心作用的那些基本圖形，諸如三角形、正方形等。

（3）小學(xué)“圖形與幾何”通過(guò)說(shuō)理、佐證滲透推理意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)推理能力不僅體現(xiàn)在幾何概念的學(xué)習(xí)中，而且體現(xiàn)在圖形性質(zhì)的探索中。比如，拼擺紙片探索三角形的內(nèi)角和。

利用拼擺三角形紙片探索三角形的內(nèi)角和的規(guī)律，并非亂拼亂擺，而是引導(dǎo)學(xué)生按照一定規(guī)律拼擺：

如圖8（2），討論三個(gè)內(nèi)角的和，最簡(jiǎn)單的思路就是將三個(gè)角放在一起（頂點(diǎn)重合）。比如，將∠1、∠2拼到∠3的位置，拼擺后，∠1、∠2分別拼擺到∠4、∠5的位置。此時(shí)，∠1、∠2與∠3的和變成∠4、∠5與∠3的和，而∠4、∠5與∠3形成一個(gè)平角。這個(gè)過(guò)程其實(shí)就是將∠1旋轉(zhuǎn)180°變成了∠4，∠2平移到了∠5的位置。同樣，如果將∠2、∠3拼到∠1的位置，如圖8（3）所示。常態(tài)教學(xué)中，到這一步就結(jié)束了。其實(shí)，教師再引導(dǎo)一句，“上面拼擺的過(guò)程，其實(shí)通過(guò)做一條平行線就可以同時(shí)完成角的平移與另一個(gè)角的旋轉(zhuǎn)，這就是作平行于第三邊的平行線”，就能既自然地應(yīng)用“軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)保持圖形的形狀不改變”的性質(zhì)推理出∠1=∠4、∠2=∠5，又為初中進(jìn)行嚴(yán)格的證明埋下了伏筆。

特別地，空間想象需要滲透在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的方方面面，而幾何直觀需要滲透在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)領(lǐng)域，特別是在“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計(jì)與概率”“實(shí)踐與綜合”領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)之后所積淀和升華的產(chǎn)物。學(xué)生只有親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化活動(dòng)，積淀數(shù)學(xué)抽象、推理和直觀想象的直接經(jīng)驗(yàn)，才能逐步養(yǎng)成運(yùn)用幾何的思維方式主動(dòng)思考問(wèn)題、分析解決問(wèn)題的習(xí)慣，才能真正形成具有幾何特征的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（本文系中南民族大學(xué)2019年校級(jí)重點(diǎn)教研項(xiàng)目“卓越小學(xué)教師課程體系改革實(shí)踐研究”（序號(hào)JYZD19034）成果）

責(zé)任編輯? 姜楚華