整體著眼 巧妙求值

代數式求值問題是歷年中考試題中一種極為常見的題型，它除了按常規思路代入求值外，還可以利用整體思想方法對代數式進行化簡求值，這就需要我們對代數式的整體結構進行分析和改造，善于用“整體”的眼光，把某些代數式看成一個整體，把握它們之間的內在聯系，進行有目的、有意識的處理。下面彭老師以幾道中考試題為例與大家一起分析，構建解題思路。

一、直接整體代入求值

例1（2018·湖南岳陽）已知a2+2a=1，則3（a2+2a）+2的值為________。

解：∵a2+2a=1，

故答案為5。

【評析】本題中我們將a2+2a作為一個整體直接代入，解題的關鍵是學會用整體代入的思想解決問題。

變式（2018·江蘇無錫）若3a-2b=2，則代數式2b-3a+1的值等于（ ）。

A.-1 B.-3 C.3 D.5

解：當3a-2b=2時，

故選A。

【評析】本題中我們將3a-2b作為一個整體，而所求的代數式中并沒有直接出現3a-2b，而是出現了3a-2b的倍數，從而我們可以將所求代數式先變形后再整體代入求值。

二、部分整體代入求值

例2（2019·江蘇常州）如果a-b-2=0，那么代數式1+2a-2b的值是______。

解：∵a-b-2=0，

故答案為5。

【評析】本題中，我們可以把所給條件中的部分項組成一個整體，代入到要求的代數式中。一般來說，要求的代數式中，必然也有部分項可以看作一個整體，是所給條件中部分項整體的倍數關系。同樣，求解時，別忘了給已知條件的部分項添上括號和系數。

三、兩次代入求值

例3（2019·遼寧大連改編）當x=1時，代數式mx3+nx+1 的值是5，求當x=-1時，mx3+nx+1的值為________。

解：∵當x=1時，

故答案為-3。

【評析】本題中，我們需要把x=1 代入代數式mx3+nx+1中，但是僅僅代一次是不能解決問題的。因為只能得到關于m、n的多項式作為整體，所以我們需要把x=-1再次代入，觀察此時關于m、n的多項式的整體與之前的關系，并求值。

四、拆項重組代入求值

例4（2019·北京大興期末）已知：m2+mn=6，mn-n2=-4，求下列代數式的值：

【評析】這種類型的題目，因為無法直接求出m、n的具體數值，所以我們只能觀察所求的代數式與所給的代數式之間的聯系。我們通常將中間同時含有字母mn的項拆解，使其中一項與第一項合并后是所給第一個整體的倍數，另一項與最后一項合并后是所給第二個整體的倍數。（1）將2mn拆成mn+mn；（2）將0 拆成mn-mn；（3）看到第一項為2m2，則有一項被拆成2mn，湊出第一個所給整體的2倍。

用整體思想解決代數式的求值問題，就是把一些看似彼此獨立而實質是緊密相連的代數式看作一個整體。這樣做，不僅可以擺脫固定模式的束縛，使復雜問題變得簡單，陌生的問題變得熟悉，往往還可以解決按常規方法解決不了的問題。