列代數式巧解圖形問題

數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系。在一定條件下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透。用字母表示數，結合圖形呈現的規律和特征，把數和數量之間的關系巧用代數式簡明地表示出來，這是解決圖形問題的常規方法和路徑。

例1925 年，數學家莫倫發現了世界上第一個完美長方形（見下圖），它恰好可以被分成10 個不同的正方形，其中標注1，2 的正方形邊長分別為x，y。

（1）用含有x，y的代數式表示這10 個正方形邊長；

（2）當x=5 時，求此時完美長方形的周長和面積。

【解題過程】根據正方形4 條邊長相等這一幾何性質，逐一求各個正方形的邊長。

（1）根據題意：第3 個正方形邊長為x+y；第4個正方形的邊長為x+y+y=x+2y；第5個正方形的邊長為x+2y+y=x+3y；第6 個正方形的邊長為（x+3y）+（y-x）=4y；第7 個正方形的邊長為4y-x；第8 個正方形的邊長為（4y-x）+［（4y-x）-x-（x+y）］=7y-4x；第9 個正方形的邊長為（7y-4x）+［（4y-x）-x-（x+y）］=10y-7x；第10 個正方形的邊長為（4y-x）-x-（x+y）=3y-3x。

（2）由圖形，可知第5 個和第6 個正方形的邊長之和等于第8 個和第9 個正方形邊長的和，從而（x+3y）+4y=（10y-7x）+（7y-4x），即6x=5y，當x=5，則y=6，該完美長方形的長為15y-5x=65，寬為（x+3y）+4y=47，所以周長為224，面積為65×47=3055。

【反思】結合圖形，從邊長最易用代數式表示的正方形開始，由易到難，逐一突破。利用數形結合思想，用代數式表示數量關系和變化規律，實現思維的質的飛躍。

教師點評

這篇文章中，梅同學發現用數形結合的思想，根據長方形的對邊相等的性質迅速解決了相對比較復雜的問題。希望同學們學會用數學符號表示數量關系和變化規律，學會用數學的語言表達世界。