且“形”且“真晰”

邱小珊

【摘要】初中階段的幾何學習，是學生數學基礎幾何學習的起步階段：初步學會如何分析圖形，聯系所學圖形的定義、幾何性質，進行簡單有序的邏輯推理去解決問題;為逐步構建完整的幾何知識體系、培養嚴謹的幾何分析能力及邏輯推理思維打下扎實的基礎。

【關鍵詞】基本模型圖;階梯式教學;知識體系;模型思想

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）32-201-02

在北師大版數學七年級下冊第二章《相交線與平行線》這一章的教學中，筆者把“轉化”思想、整體思想、模型思想貫穿于這一章教學的整個過程——在解題的過程中，把復雜的問題，轉化為幾個簡單的小問題;把問題中復雜的圖形、結構，轉化為簡單的、經典的基本圖形結構，利用基本模型圖的概念、性質以及相關定理等知識，清晰、快速地解決問題，讓學生對直線的位置關系有了一個由淺入深的階梯式的認識，幫助學生從“模型思想”的角度完整地構造幾何知識體系。這樣的學習思路和方法，降低了學生幾何學習的臺階，學生在心理上很容易接受，從而解題的效率也提高了。在教學中真正做到以學生為學習的主體，貫徹課標中“基礎教學”的指導思想。

初中階段的幾何學習，是學生數學基礎幾何學習的起步：初步學會如何分析圖形，聯系所學圖形的定義、幾何性質，進行簡單有序的邏輯推理去解決問題;為逐步構建完整的幾何知識體系打下扎實的基礎。所以，如何有效學習初中階段的幾何基礎知識，打好幾何學習的入門基礎，尤為重要。

一、為什么要重視幾何知識中的基本模型圖

平面幾何是研究平面上幾何圖形的性質（形狀、位置、大小關系等等）的數學分支，要能夠有效地解決一個平面幾何問題，不僅要正確地認識一些基本平面模型圖及其性質，還要具有把復雜問題轉化為簡單、基本問題的能力——從復雜問題中挖掘出基本模型圖，并運用所選的基本模型圖的性質、判定等知識及方法去解決問題。學會用基本模型圖的相關知識去解決問題，不僅能提高解題的效率，又能進一步加深對知識的理解，構建知識之間的聯系，逐步構建完整的數學知識結構，從而提高數學素養。

例如，在七年級下冊第二章《相交線與平行線》的教學中，緊扣相交線和平行的基本模型圖，強調解題中轉化思想的應用;在八年級下冊第一章第3節、第4節《線段的垂直平分線》、《角平分線》的教學中，強化垂直平分線和角平分線性質的基本模型圖及模型思想，降低起點，根據我們學生的實際學情——基礎差，圖形分析能力差，確定這樣的出發點是很適合的，避免了學生在幾何解題方面無從下手的尷尬局面。平行線、垂直平分線、角平分線的性質是幾何學習里面很重要的基本性質，是后面學習全等三角形、平行四邊形、相似三角形、圓等幾何知識的重要基礎。

本文將簡單總結關于《相交線與平行線》、《垂直平分線》、《角平分線》這三課的課堂教學指導。

二、基本模型圖的相關知識

筆者認為文獻中對基本圖形的相關知識的總結比較全面。

圖形作為幾何學科的研究對象，無論多么復雜，都是由一個或者若干個最簡單的、最基本的圖形組合而成，找到這些基本圖形往往也就找到了解決問題的突破口。那什么是基本圖形呢？筆者參考了以下幾種理解：

1. 基本圖形的幾種看法

（1）埃及人把正方形、矩形、三角形和梯形作為基本圖形;

（2）認為基本圖形是課本上一些重要的定理或者重要練習所對應的圖形（如切割線定理、割線定理和射影定理等圖形）;

（3）認為現行初中幾何課本中的概念、性質、例題、習題所對應的圖形可視為平面幾何基本圖形;

（4）認為現行初中幾何課本中一些具有廣泛應用的、有代表性和典型性的圖形可稱為基本圖形;

（5）認為凡是與幾何定理相關的圖形都是基本圖形;

（6）認為現行中學平面幾何課本中概念、定理、公理所對應的圖形都稱為基本圖形，它們可分為第一類和第二類基本圖形。所謂第一類基本圖形，是指點、直線、射線、線段、角、相交線、平行線、三角形、四邊形、多邊形和圓等，其余的則稱為第二類基本圖形。

參考以上幾種看法，我認為，基本圖形，就是在幾何問題中，組成一個幾何問題的最簡單的、最基本的，但又最重要的，且具有特定性質的，或者可以獨立形成概念的，能明確闡明應用條件和應用方法的圖形。

2.基本圖形的分類

基于不同的分類標準，基本圖形也有許多不同的分類方法：

第一類，現行教材中概念、公理、定理以及推論所對應的圖形（如點、直線、射線、線段、角、相交直線、平行線、三角形、四邊形、多邊形和圓等）;

第二類，教材中具有一定典型性的例題、習題所對應的圖形，也可以說是若干個第一類基本圖形的組合（如“X”型，“A”型，“三線八角”， 直角三角形及其斜邊上的高，三角形及其角平分線，平行四邊形及其對角線，垂徑定理及其推論，圓內接四邊形及其對角線，圓及其切割線，圓的相切或相交等）， 在實際教學中教會學生挖掘這些基本圖形的結構性質并運用其性質解決問題具有重要的實踐性意義。

三、相交線與平行線的“基本模型圖”的教學思路

在七年級下冊第二章《相交線與平行線》的基本模型圖，是以平面中直線的兩種位置關系來展開討論的：相交線的基本模型圖（一般的相交、特殊的相交即垂直），平行線的基本模型圖（“三線八角”、同位角、內錯角、同旁內角）。直線的這兩種位置關系的基本模型圖，是本章學習的基礎，更是幾何解題的重要基本模型，對于系統學習幾何，培養圖形分析能力、邏輯推理能力、深化模型思想的理解及運用都有重要的啟發作用。

下面，筆者將展示這兩種基本圖形，以及如何進行清晰有效的教學引導。

1.兩直線相交的基本模型圖的教學思路

（1）相交線的定義：若兩條直線只有一個公共點，稱這兩條直線為相交線。

（2）根據這個定義，就可以畫出相交線的基本模型圖如下：;;

（3）研究相交線，形成基本概念、掌握性質：

①在這個基本的幾何模型中，基本的幾何元素（圖形）有：一個交點（點O）;兩條直線（直線AB，CD）;四個角（∠AOD;∠AOC;∠BOD;∠BOC）;

②位置關系：直線AB與直線CD相交;

③相關性質：四個角的位置關系、數量關系的探討：引出對頂角的概念（對頂角的位置關系和數量關系）、余角和補角的概念以及性質;通過對這些角進行定性和定量的探索，深刻了解兩直線相交的性質并得到鞏固。

④由抽象到具體：特殊的直線相交關系：互相垂直。用具體的特殊角（90度角）這一數量研究兩直線互相垂直的性質。再把兩直線互相垂直應用到實際問題中：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直;通過垂直來定義：點到線之間的距離。（圖形語言、數學語言可參考北師大版數學教科書七年級下冊第二章）

（4）解題中基本模型圖的應用：從幾何圖形中提煉出相交線的基本圖形，再利用對頂角相等或者余角、補角的性質，解決全等或者相似的相關問題;用垂直的基本圖形的性質解決幾何問題和實際問題。構建完整的數學知識體系。

2. 兩直線平行的基本模型圖的教學思路

（1）平行線的定義：若兩條直線沒有公共點，稱這兩條直線互為平行線。

（2）根據這個定義，就可以畫出相交線的基本模型圖如下：（口頭上我們稱它“三線八角”：其中，所成的夾角之間的關系有：Z型中互為內錯角，F型中互為同位角，U型中互為同旁內角）

（3）研究平行線，形成基本概念、掌握性質：

①在這個基本的幾何模型中，基本的幾何元素（圖形）有：三條直線，兩個交點，八個夾角;

②直線之間的位置關系：一組直線互相平行;兩組直線相交;;

直線相交的關系在上面已經學習過，故進行下面的教學引導：

③兩條平行線之間的位置關系的探討：兩直線平行這種位置關系的性質太抽象，需要通過定量來研究平行這一性質，因此引出第三條直線與原來兩條直線形成相交關系，構造角這個具體的量，通過研究所成的角之間的數量關系來體現原兩條直線的位置關系;反過來，兩直線的平行關系這一性質又可以推理出各類角之間的數量關系。這就是平行的性質與判定。（圖形語言、數學語言可參考北師大版數學教科書七年級下冊第二章）

這是研究幾何性質的重要方法：量的關系體現性質的關系，即量變促成質變;反過來，性質可以推理出量的關系。

（4）解題中基本模型圖的應用

教學手段：引導學生在幾何圖形中，能用鉛筆描繪（識別并提煉出）平行線“三線八角”的基本模型圖，進一步分析角與角之間的位置關系和數量關系（Z型中互為內錯角？F型中互為同位角？U型中互為同旁內角？），從而解決與直線性質或者角的數量有關的問題。

四、垂直平分線與角平分線的“基本模型圖”的教學思路

1.線段的垂直平分線

（1）基本模型圖：

（2）定義：與線段垂直并平分該線段的直線;

性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

（3）線段垂直平分線基本模型圖的補充推論：

①全等三角形的提煉與運用：ΔMAO≌ΔMBO;

相關知識點：全等的判定與性質等;

②等腰三角形的提煉與運用：等腰三角形ΔMAB;

相關知識點：等腰三角形三線合一等;

③直角三角形的提煉與運用：RtΔMOA等;

相關知識點：直角三角形角的性質;勾股定理;三角函數等;

（4）解題中基本模型圖的應用

教學手段：幾何問題中遇到線段垂直平分線，首先能快速識別基本模型圖，熟練運用其定義、性質解決問題;第二是能夠利用基本模型圖的補充推論去解決更加綜合的幾何問題;第三，在提高題中，能夠由此啟發添加輔助線構出此模型圖，從而運用性質和推論解決問題。

2.角的平分線

（1）基本模型圖：;

（2）定義：平分一個角的射線;

性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

（3）角平分線基本模型圖的補充推論：

①全等三角形的提煉與運用：ΔDEO≌ΔDFO;

相關知識點：全等的判定與性質等;

②點到線之間的距離的提煉與運用;

相關知識點：距離的概念;

③直角三角形的提煉與運用：RtΔMOA等;

相關知識點：直角三角形角的性質;勾股定理;三角函數等;

（4）解題中基本模型圖的應用

教學手段：幾何問題中遇到角平分線，首先能快速識別基本模型圖，熟練運用其定義、性質解決問題;第二是能夠利用基本模型圖的補充推論去解決更加綜合的幾何問題;第三，在提高題中，能夠由此啟發添加輔助線構出此模型圖，從而運用性質和推論解決問題。

關于線段垂直平分線和角平分線的教學指導：

學生在學習的過程中，從一個簡單的定義、性質及其圖形開始，通過對圖形的分析，把幾何中相關的知識聯系起來，在這樣的學習過程中，知識之間的聯系逐漸清晰;幾何的知識系統逐漸完善，在往后幾何學習、解題中對知識和方法的理解會越來越深刻、提煉知識也會越來越快。因此，筆者認為這是幾何教學中有效的指導方法。

綜上所述，在數學幾何模塊的學習中，由基本圖形構成的基本模型圖是學習幾何的重要部分，對于基礎比較差的學生，階梯式學好基本模型圖（由最簡單的幾何圖形以及最簡單的圖形之間的關系圖開始，逐漸過渡到重要性質的典型基本圖形，逐步把幾何知識聯系起來，形成一個逐漸完整的幾何知識體系，以整體的思維看待幾何知識、幾何問題），可以更好地理解幾何性質和啟發解題思路，進一步而言，有助于學生頭腦中數學知識結構的完善以及問題解決中知識和方法的提煉，也就是數學素養的提高。

另外，基本模型圖的熟練掌握，對于數學的提高也是非常關鍵：基本模型圖是一個整體，審題有了分析基本模型圖的習慣，就提高了對數學解題的整體思想的理解，這是數學的重要思想;對于難度比較大的幾何題，需要作輔助線的時候，往往可以從基本模型圖出發去分析、構造，得到啟發，從而可以很快做出有效的輔助線構圖，解決問題。

初中階段平面幾何的基本模型圖不止以上幾種，在課堂學習的過程中，從新知的理解到知識的運用，我們都要教會學生懂得以整體的角度去看待、理解、運用基本模型圖;善于自己去總結、積累并且可以做到變式創新提高，從更高的角度去滲透每個基本模型圖，提高幾何解題能力及自身的數學素養。由基本模型圖散發開去，最后又離不開幾何知識系統這個整體。

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作者單位

（廣東省佛山市南海區桂城街道映月中學;廣東;佛山;528000）