類比結構 揭示本質 提升素養

徐玉玲

【摘要】在解題教學中，通過分析問題的結構特征，找到解決問題的方法，是幫助學生提高解題能力的有效手段。本文借助基本不等式專題復習案例，嘗試通過對試題的條件和目標的結構分析，運用類比基本不等式及其變形式，解決一類雙變量最值問題。并從中得出經驗，將類比結構作為突破審題的一種有效方法，推廣到數學解題教學中。

【關鍵詞】基本不等式;類比結構;

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）32-071-01

1.問題提出

解題教學是數學教學的重要組成部分，是學以致用的一個重要環節。提高解題教學的效率和質量，提升學生的思維品質，發展學生的核心素養，是高中數學教學的最終目標。解題教學的開端是審題，可以說“成也審題，敗也審題”，讓學生學會有效地審題是解題教學成功的第一環。本文以基本不等式專題復習為例，說說“類比結構”在解題教學中第一環——審題中的運用。

2.案例分析

基本不等式的結構簡單，容易模式識別，具有將“和”，“積”互化的功能，常常用于解決雙變量最值問題。在解題教學中通過類比條件和目標的結構特點，找到解題的切入點，從而解決問題。

2.1和式和積式型

例1.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8 ，則x+2y最小值等于;;;.

分析：目標是“和”的結構，可以利用基本不等式把條件中的積式“x·2y”轉化為和式“x+2y”，得到關于目標式的不等式。

解答：由條件并結合基本不等式得8-（x+2y）=2xy≤（;? ）2，當且僅當x=2y時取等號，整理得（x+2y）2+4（x+2y）-32≥0，解不等式得到x+2y≥4.所以x+2y最小值為4.

方法點睛：上述過程是利用基本不等式將條件式中的積式轉化為關于目標式的不等式，然后通過解不等式得到目標式的最值。

2.2和式與倒數和式型

例2.已知實數x>0，y>0想x+y=1，且;+;，則的最小值是;;;;.

分析：目標是“倒數和”，本質也是“和”的結構，“見和湊積”，可條件也是“和”式?？紤]到x·;=2，y·;=1，于是有了目標式和條件式相乘的思路。

解答：（;+;）·（x+y）=3+;+;≥3+2 2 ，當且僅當x2=2y2時取到等號，故;+;的最小值為3+2 2 .

方法點睛：一般在和式與倒數和的題型中都可以考慮乘以常數的方法來湊積，從而解決和的最值問題或者倒數和的最值問題。

2.3 平方和式與和式型

例3.設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值;;;;? .

分析：目標是“和”，條件中既有“平方和”，又有“積式”。為使得結構平衡，可將條件式中平方和4x2+y2湊成目標式2x+y的平方，同時將條件式中xy的改寫為2xy.

解答：將4x2+y2+xy=1配方成目標式，（2x+y）2=1+3xy=1+? ·2x·y≤1+;（;;? ）2，設t=2x+y，則t2≤1+;，解得t2≤;，所以2x+y的最大值為;? .

方法點睛：上述解法中通過配方轉化為和式與積式的類型，利用基本不等式將條件式的積式轉化為目標式的不等式。

2.4平方和式與積式型

例4.已知實數x≥0，y≥0，滿足x2+; =1，則x? 1+y2的最大值為;;;; .

分析：目標是“積”，條件是“平方和”，而且因式的差別比較大，考慮將條件進行恒等變形為2x2+y2=2，目標恒等變形為x? 1+y2=; （2x2）（1+y2），于是就有平方和為2x2+（y2+1）=3為定值，利用變形式求得積有最大值。

解答：由不等式（;; ）2≥ab，

得x? 1+y2=; （2x2）（1+y2）≤;;;;;;=;? ，當且僅當2x2=1+y2，即當x=;? ，y=;;時取到最大值。

方法點睛：將條件和目標的結構進行類比，通過恒等變換湊和為定值使問題得以解決。

3.小結

關于基本不等式的應用，題目的形式很多，但萬變不離其宗：“和”與“積”之間的不等關系.類比目標和條件，類比公式，通過配湊系數、常數代換、整體換元、平方升次數、配方、化齊次等等恒等變形的“招術”，本質上都是在圍繞一個主題“湊和為定積有大，湊積為定和有小”。

4.核心素養觀導向下的解題教學

4.1 重視概念 熟記公式

“數學是玩概念的?！睌祵W的骨架就是概念，沒有概念就沒有數學。學數學最終為了解題，理解概念、掌握公式是展開解題的必要條件，是進行類比結構的基礎。就如前面的案例中，如果學生沒有掌握好公式，怎么可能進行類比結構，腦里沒貨，怎么可能想得出解決問題的方法呢。試題有千變萬化，概念和公式只是數個個，可恰恰是利用這有限個的概念和公式去解決那么多的變化莫測的問題。重視概念、熟記公式是順利開展解題的必備條件。

4.2重視運算 轉化題設

“思維”是數學的核心，但沒有正確的運算就不會產生合理的思維。少有試題可以一目了然的找到思路，總是要通過運算，將問題得以轉化。在上述案例中，大部分試題都要通過配湊系數、常數代換、整體換元、平方升次數、配方、化齊次等等恒等變形的“招術”，達到湊“積定和小，和定積大”的目的。新課標也規定要求學生掌握待定系數法、換元法、配方法、分離常數法、數學歸納法等常用的數學方法，這些方法也是展開運算的依據，只有熟悉這些方法才能將題設進行轉化。其實轉化過程中就是不斷地聯想概念和公式、類比結構的過程，也是不斷推進思維的過程。

4.3分析結構 突破審題

審題是解題的第一關，關注題目中式子的結構，是找到問題突破口的捷徑。它能夠讓學生“由此及彼”和“由表及里”的找到解題思路。就如上述基本不等式專題復習中，條件和結論的形式多種多樣，但只要仔細比較試題，類比大腦里存在的公式就容易找到解題思路.解題教學時強調對題目結構的分析，并配以相應的訓練，是提升學生解題素養有效手段。

【參考文獻】

[1]吳愛鏵.探究錯因，培養學生的數學核心素養.中學數學教學參考（上旬），2019.11

[2]趙銀倉.揭示學科本質，發展核心素養.中學數學教學參考（上旬），2020.中學數學教學參考（上旬），1-2

[3]李世桂.細說基本不等式求最值問題的常見結構與方法.中學數學教學參考（上旬），2019.中學數學教學參考（上旬），121

作者單位

（嵊州市高級中學;浙江;嵊州;312400）