MATLAB和指數(shù)平滑法在福建省人口老齡化中的運用

黃 昱，劉金福，尤添革，周錚雯

（1.福建農(nóng)林大學 計算機與信息學院，福建 福州 350002；2.福建農(nóng)林大學 海峽自然保護區(qū)研究中心，福建 福州 350002；3.生態(tài)與資源統(tǒng)計福建省高校重點實驗室，福建 福州 350002）

隨著經(jīng)濟快速發(fā)展，人口老齡化成為當代中國所面臨的一個嚴重社會問題，即社會養(yǎng)老保障、勞動力的減少、消費與儲蓄等方面產(chǎn)生影響[1]，進而可能對社會穩(wěn)定發(fā)展帶來一定負面影響。

福建省于21世紀初進入老齡化社會，是目前人口的凈輸入省份，對其人口老齡化有一定的延緩作用，人口老齡化進程略低于全國平均水平[2]，原因主要是福建省經(jīng)濟發(fā)展相對較快，吸引了大量省外人口遷移流動，特別是勞動年齡人口的不斷遷入，延緩了人口老齡化的進程。

1 研究區(qū)現(xiàn)狀

從福建省六次人口普查數(shù)據(jù)看老齡化形勢，福建省老齡人口基數(shù)較大且加速增長。老齡人口比重從第四次人口普查（1990年）時的5.07%到第五次人口普查（2000年）時的6.69%，平均每年上升了0.17個百分點。2015年全省的老齡人口比重達到8.45%，比2010年上升了0.56個百分點，也超過國際老齡化標準1.45個百分點，超過同期中國老年系數(shù)平均水平（8.10%）0.35個百分點（表1、圖1）。

表1 福建省第六次人口普查年齡構(gòu)成Tab.1 Age composition of the sixth population census in Fujian Province %

圖1 福建省1953—2018年人口數(shù)占比Fig.1 Proportion of the population of Fujian Province from 1953 to 2018

對比2010年以后，2010—2018年，65歲及以上人口的比重上升1.11個百分點，可見隨著時間增長，福建省老年人口越來越多，逐步進入老年化社會。

2 數(shù)據(jù)來源與預測模型

采用數(shù)據(jù)來源于福建省統(tǒng)計局（http://tjj.fj.gov.cn）及福建省統(tǒng)計年鑒，參考《2015年福建省1%人口抽樣調(diào)查分析報告》的數(shù)據(jù)資料。采用65歲及以上的老年人口數(shù)，通過MATLAB的ARIMA模型及指數(shù)平滑法對福建省老年人口數(shù)進行建模分析，預測未來10 a的福建省老年人口數(shù)，比較2個的精準性。

3 ARIMA模型預測

3.1 ARIMA模型原理

ARIMA模型，也稱為Box-Jenkins模型，是由Box和Jenkins在70年代初創(chuàng)立的一種時間序列建模方法[3]。ARIMA是最常見的預測模型，它是由自回歸、滑動平均和差分變換3部分組成。

ARIMA（p,d,q）模型中的d為時間序列成為平穩(wěn)時所做的差分次數(shù)。AR是自回歸，p為自回歸項；MA為移動平均，q為移動平均項數(shù)[4]。

（1）階數(shù)為p的AR模型的算法方程

式中：yt表示樣本值，φi(i=1,2,…,p)表示AR(p)的參數(shù)，at表示白噪聲序列。

（2）階數(shù)為q的MA算法方程

式中：yt表示樣本值，θi(i=1,2,…,q)表示MA(q)的參數(shù)，εt表示白噪聲。

（3）一個ARMA(p,q)過程可以視為是AR(p)與MA(q)過程的迭加

式中：yt表示樣本值，φi(i=1,2,…,p)和θi(i=1,2,…,q)表示ARMA(p,q)的兩個參數(shù)，εt表示白噪聲，且εt～N（0，σ2）。

3.2 建模步驟

（1）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗

利用ARIMA模型建模必須確保數(shù)據(jù)具有平穩(wěn)性，對序列平穩(wěn)性檢驗有3種方法：第1種是時序圖法，第2種自相關圖法，第3種是構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進行假設檢驗的方法，如ADF檢驗法(單位根檢驗)[5]。

（2）數(shù)據(jù)平穩(wěn)性處理

采用d階差分法對非平穩(wěn)數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)化[6]，給定前一時間序列值｛xt｝（t=1,2,…,k），當前觀察序列集為｛xt+1｝（t=1,2,…,k），一階差分序列表示為：

同理二階差分方程可表示為：

（3）模型定階

根據(jù)差分次數(shù)確定參數(shù)d。根據(jù)自相關系數(shù)(ACF)和偏自相關系數(shù)(PACF)圖、AIC或者BIC準則確定q,p階數(shù)，一般常用的是利用AIC準則確定最佳模型階數(shù)[7]。

（4）模型參數(shù)估計

采用最大似然估計或者最小二乘估計。

（5）殘差白噪聲檢驗

好的ARIMA模型盡量擬合線性成分，殘差表現(xiàn)為白噪聲。可對殘差進行Q統(tǒng)計量和自相關圖進行分析[8]。

檢驗統(tǒng)計量為：

式中：ρΛ是k階滯后的自相關系數(shù)的估計值，m為自相關系數(shù)的階數(shù)(人為選定的一個數(shù))，n是樣本大小。

（6）對數(shù)據(jù)作出預測

（7）性能評估

3.3 結(jié)果分析

（1）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗

采用2000—2018年共19個65歲以上人口數(shù)據(jù)進行建模預測，預測結(jié)果如圖2、3所示。

圖2 數(shù)據(jù)時序圖Fig.2 Data sequence diagram

圖3 自相關和偏相關圖Fig.3 Autocorrelation and partial correlation graphs

圖2可看出從人口數(shù)是上下波動的，但是有明顯的上升趨勢性變化，因此可以大致判定老年人口數(shù)是非平穩(wěn)的。老年人口數(shù)的ACF圖呈現(xiàn)出自相關系數(shù)圖呈現(xiàn)出倒三角狀態(tài)，其因此可判斷該時間序列是非平穩(wěn)的（見圖3）。

為了更加準確的判斷數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，接下來采用定量法——單位根檢驗法（ADF）來對老年人口數(shù)進行平穩(wěn)性檢驗。由結(jié)果可知，t值均大于1%,5%,10%置信水平，拒絕原假設，即該序列為非平穩(wěn)時間序列。

（2）數(shù)據(jù)平穩(wěn)性處理

對老年人口數(shù)進行一階差分處理的到的時序圖如圖4所示。

圖4 一階差分時序圖Fig.4 First-order differential timing diagram

通過圖4時序圖觀察法可以看出一階差分后的序列無明顯的趨勢性變化，但是又有一定的下降趨勢，因此無法準確判斷差分后老年人口數(shù)的平穩(wěn)性。

圖5 一階差分自相關圖和偏相關圖Fig.5 First-order differential autocorrelation graph and partial correlation graph

通過圖5看出差分序列的自相關系數(shù)隨著延遲階數(shù)衰減向零的速度比較快，且表現(xiàn)出1階截尾，因此一階差分后的老年人口數(shù)是平穩(wěn)的。

通過單位根(ADF)檢驗法一階差分后數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性的判斷后，發(fā)現(xiàn)t值均小于5%,10%置信水平，接受原假設，即一階差分后的序列為平穩(wěn)時間序列。通過時序圖觀察法和單位根(ADF)檢驗法都說明一階差分后的序列為平穩(wěn)時間序列。

（3）模型定階

通過AIC準則可以得出,當階數(shù)p=1,q=0的時候，AIC有最小值。因此確定ARIMA模型的最優(yōu)階數(shù)為p=1，q=0，d=1。即ARIMA（1,1,0）為最佳模型。

（4）模型參數(shù)估計

模型參數(shù)估計在MATLAB中有自帶的庫函數(shù)可直接調(diào)用。

（5）模型檢驗-殘差分析

通過LB(Ljung-Box)檢測統(tǒng)計量對殘差數(shù)據(jù)進行檢驗。通過結(jié)果來看，顯著性水平為0.05，前1～8階的P值都顯著大于0.05，那么相關系數(shù)與零沒有顯著差異，即時間序列中有用的信息已經(jīng)被提取完畢，殘差數(shù)據(jù)為白噪聲序列，建模成功。

（6）數(shù)據(jù)預測

預測值如圖6所示。

圖6 福建省老年人口數(shù)預測Fig.6 Forecast of the elderly population in Fujian Province

從圖6中可以看出，福建省老年人口數(shù)隨著時間的推移，也逐漸增加，但是到了一定時期，老年人口數(shù)由于某些原因?qū)е缕錅p少，但是又逐步增加，其變化是不穩(wěn)定的。

4 指數(shù)平滑法

4.1 指數(shù)平滑法原理

指數(shù)平滑法屬于時間序列法中的一種，是由美國學者布朗（Robert G.Brown）于1960年提出的[9]，布朗認為時間序列的發(fā)展具有規(guī)律性、穩(wěn)定性和規(guī)則性，能夠合理地向外順延。[10]根據(jù)平滑次數(shù)不同，指數(shù)平滑法分為一次指數(shù)平滑法、二次指數(shù)平滑法和三次指數(shù)平滑法等[11]。但它們的基本思想都是：預測值是以前觀測值的加權和，且對不同的數(shù)據(jù)給予不同的權數(shù)，新數(shù)據(jù)給予較大的權數(shù)，舊數(shù)據(jù)給予較小的權數(shù)[12]。

（1）指數(shù)平滑法基本公式

式中：St為時間t的平滑值；yt為時間t的實際值；St-1為時間t-1的平滑值；a為平滑常數(shù)，其取值范圍為[0,1]。

（2）一次指數(shù)平滑法

當時間數(shù)列無明顯的趨勢變化，可用一次指數(shù)平滑預測[13]。其預測公式為：

（3）二次指數(shù)平滑法

二次指數(shù)平滑是對一次指數(shù)平滑的再平滑[14]，其預測公式為：

（4）三次指數(shù)平滑法

三次指數(shù)平滑預測是二次平滑基礎上的再平滑。其預測公式為：

4.2 指數(shù)平滑法的預測

4.2.1 平滑系數(shù)的確定

當已知時間序列中的數(shù)據(jù)個數(shù)大于20時，可以近似認為初始值對未來預測值的影響較小，因此可考慮將目標序列的第一期數(shù)據(jù)作為模型初值。[16]當目標序列中的數(shù)值個數(shù)少于20，則可以取時間序列平均值作為當模型的初值。[17]初始值取平均值246，令a=0.3、0.6、0.9，進行一次指數(shù)平滑，結(jié)果如表2所示。

表2 一次平滑后老年人口數(shù)預測Tab.2 Forecast of the elderly population after a smoothing

由表2可看出，當a=0.9的時候，數(shù)值最接近真實人口數(shù)，故平滑系數(shù)取0.9。

表3 三次平滑后老年人口數(shù)預測Tab.3 Forecast of the elderly population after three smoothing

4.2.2 模型確定

根據(jù)第一次指數(shù)平滑取得的平滑指數(shù)值，依次進行二次平滑和三次平滑，得出人口預測如表3所示。

綜上所述，可以得出預測模型為Ft+m=At+Btm+Ctm2，即F2018+m=355+11.36m+0.298m2。

4.2.3 模型預測

通過預測模型，對福建省2019—2032年進行老年人口預測，得出的人口預測值見圖7所示。

圖7 福建省老年人口數(shù)預測圖Fig.7 Forecast of the number of elderly in Fujian Province

從圖7中看出福建省老年人口數(shù)隨著時間的推移是在逐漸增加的。同理，對福建省總?cè)丝跀?shù)同時進行三次指數(shù)平滑法，得出的預測模型為：F2018+m=3 941+27.969m-2.282m2，進行預測得出福建省總?cè)丝跀?shù)預測。

圖8中更能清晰發(fā)現(xiàn)隨著年份的增加，老年人口數(shù)在總?cè)丝跀?shù)當中的比例逐漸增加。

圖8 福建省預測老人人口數(shù)占比Fig.8 Proportion of the population of the elderly in Fujian Province

從上述圖表中可以看出，隨著時間的變化，福建省老年人口數(shù)的比例雖有漲幅，但沒有特別大的變化。

5 結(jié)論

研究通過分析福建省老年人口數(shù)，對人口老齡化進行了分析，通過建立ARIMA（1,1,0）模型和指數(shù)平滑模型，對福建省未來的老年人口數(shù)做了一個預測。研究發(fā)現(xiàn)福建省老年人口數(shù)呈現(xiàn)逐步上升的趨勢，但是隨著時間的延續(xù)，老年人口數(shù)又逐漸減少，呈現(xiàn)一種周期性。繼而建立指數(shù)平滑模型F2018+m=355+11.36m+0.298m2，發(fā)現(xiàn)福建省老年人口數(shù)雖然呈現(xiàn)逐步增加的趨勢，但趨勢是平緩的。為了減緩進入老齡化社會的腳步，需要正確認識人口老齡化，抓住機遇，迎接挑戰(zhàn)，積極采取相應的對策。[18]所以針對福建省人口老齡化，研究建議：

（1）實現(xiàn)健康老齡化，建立老年醫(yī)療健康保險制度

建立健全老年醫(yī)療健康保險制度是實現(xiàn)健康老齡化的現(xiàn)實路徑。[19]老年人脫離工作崗位之后，大部分成為了弱勢群體，而且老年人群是醫(yī)療保險的絕大部分人口，所以制定并完善醫(yī)療保險制度相關政策且建立醫(yī)療保障體系，改善老年人當前醫(yī)療條件水平。[20]

（2）構(gòu)建老年人信息平臺，鼓勵用人單位對老年員工返聘

對于一些單位或者企業(yè)來說，老年員工擁有年輕員工所缺少的工作責任心，更重要的是擁有嫻熟的知識理論和技能運用，所以政府可以搭建一個信息平臺專門為老年人服務，并可以鼓勵單位和企業(yè)對于老年員工進行返聘。

（3）促進構(gòu)建養(yǎng)老保險制度體系框架

針對人口老齡化，政策設計者沒有辦法對其進行改變，但是他們能夠制定合理的參數(shù)來平衡養(yǎng)老金的支出水平。這樣不僅能為政府的財政負擔減輕壓力又能減少企業(yè)的繳費行為，并且能為老年人口提供充足的收入保障來避免出現(xiàn)老年貧困現(xiàn)象，最終達到長期財務收支平衡且能夠可持續(xù)性的發(fā)展。