擴張Schrodinger-Virasoro李代數及其一些子代數研究

余 德 民， 李 笛， 柴 嘉 潞， 羅 德 仁

( 湖南理工學院 數學學院， 湖南 岳陽 414000 )

0 引 言

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m， [Mm，Mn]=0；

此運算在基向量上線性擴張，并滿足反對稱性和Jacobi不等式，稱g為擴張李代數Schrodinger-Virasoro，文獻[1]研究了擴張李代數Schrodinger-Virasoro的結構，文獻[2]研究了Schrodinger-Virasoro的表示.文獻[3-7]研究了Virasoro李代數及其推廣的Virasoro李代數，文獻[8-10]研究了推廣的Virasoro李代數的結構分類、導子、自同構和最高權模.本文研究這類李代數的子代數、同構.

1 主要結果

定義1若李代數g無非零的交換理想，則稱g為半單李代數.又若李代數g還無非平凡的理想，則稱g為單李代數.

定義2設由Li(?i≥2，i∈Z)張成的子空間為g2.

定理1g2是g的無限維非交換子代數.

證明?i≥2，j≥2，i，j∈Z，可驗證

[Li，Lj]=(j-i)Li+j

(1)

從而，g2是g的子代數，g2也是g的無限維非交換子代數.

定理2g2是g的半單李子代數.

證明由于?i≥2，i∈Z，?j≥2，j∈Z，Li∈g2，Lj∈g2

[Li，Lj]=(j-i)Li+j

g2無二維交換李子代數，反證假設h為g2的二維交換子代數，設x、y為h的基，則x≠0，y≠0，設

x=k2L2+…+kn-1Ln-1+knLn

y=l2L2+…+ln-1Ln-1+lnLn

觀察矩陣：

因為h為交換子代數，所以

[x，y]=0

(2)

仔細觀察系數矩陣，式(2)左邊經過具體計算之后可知L2n-1系數為

同理觀察L2n-2的系數

利用行列式有關知識，又kn、ln不全為零，因為

(3)

于是L2n-3的系數

kij≠0，i1

φ1在g2的基向量Li上線性擴張.

φ1([Li，Lj])=[φ1(Li)，φ1(Lj)]；

?i≥2，j≥2，i，j∈Z

定義3設由Mi(?i∈Z)張成的子空間為g3.

定理4李代數g不是單李代數，也不是半單李代數.

證明先證明g3是g的無限維交換子代數，并且g3是李代數g的交換理想，?i，j∈Z，由于

[Mi，Mj]=0

從而g2是g的無限維交換子代數，?m，n∈Z，由于

從而g2是李代數g的交換理想.從而原命題成立.構造g到g映射如下：

φ2：g→g，φ2(Li)=aiLi，φ2(Ni)=aiNi，

定理5φ2是g到g的同構.

定理6g-是g的無限維非交換子代數.

證明?m<0，n<0，m，n∈Z，可驗證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m，

[Mm，Mn]=0；

[Lm，Nn]=nNn+m， [Mm，Nn]=-2Mn+m，

從而g-是g的無限維非交換子代數.

定理7g0-是g的無限維非交換子代數.

證明?m≤0，n≤0，m，n∈Z，可驗證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m， [Lm，Mn]=nMn+m，

[Mm，Mn]=0；

[Lm，Nn]=nNn+m， [Mm，Nn]=-2Mn+m，

從而g0-是g的無限維非交換子代數.

顯然，g-?g0-?g.

定理8g-是g0-的無限維非交換子代數，g-是g0-理想.

證明由于g-是g的無限維非交換子代數，當然g-是g0-的無限維非交換子代數.?m>0，n>0，m，n∈Z，可驗證

[Lm，L0]=-mLm， [L0，Mn]=0，

[Lm，M0]=0， [Mm，M0]=0，

[Lm，N0]=0， [Mm，N0]=-2Mm，

從而g-是g0-理想.

定義6設由Mi，Ni(?i∈Z)張成的子空間為g13.如前所述Mi(?i∈Z)張成的子空間為g3.

定理9g13是g的無限維非交換子代數，g3是g13的理想，g13不是單李代數，也不是半單李代數.

證明?m>0，n>0，m，n∈Z，可驗證

[Mm，Mn]=0， [Mm，Nn]=-2Mn+m，[Nm，Nn]=0

從而g13是g的無限維非交換子代數.顯然g3是g13的交換理想，g13不是單李代數，也不是半單李代數.

定義7設由Li，Mi(?i∈Z)張成的子空間為g14.如前所述Mi(?i∈Z)張成的子空間為g3.

定理10g14是g的無限維非交換子代數，g3是g14的理想，g14不是單李代數，也不是半單李代數.

證明?m，n∈Z，可驗證

[Lm，Ln]=(n-m)Ln+m，

[Lm，Mn]=nMn+m， [Mm，Mn]=0

從而g14是g的無限維非交換子代數.顯然g3是g14的交換理想，g14不是單李代數，也不是半單李代數.

2 結 語

本文研究了擴張Schrodinger-Virasoro李代數部分結構問題.可以進一步研究這類李代數的中心和理想，及其全部自同構以及自同構群等結構問題.并可繼續研究擴張Schrodinger-Virasoro李代數的表示.