基于特征值擬合優(yōu)度的頻譜感知算法研究

李 賀， 趙 文 靜， 羅 雪 松， 劉 暢， 鄒 德 岳， 金 明 錄

( 大連理工大學 信息與通信工程學院, 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

隨著無線寬帶和多媒體用戶市場的迅速擴大以及高數(shù)據(jù)速率的應用，固定的頻譜分配策略導致的可用頻譜資源使用效率低和頻譜資源匱乏給無線通信網(wǎng)絡(luò)5G甚至是6G帶來了很大挑戰(zhàn).認知無線電作為5G關(guān)鍵技術(shù)，允許次用戶使用授權(quán)主用戶的空閑頻譜進行機會通信，這是緩解頻譜資源緊缺的一項有前途的技術(shù)[1].頻譜感知是認知無線電技術(shù)的一項基本任務，它的目的是在特定地理維度獲取授權(quán)頻譜使用和主用戶存在的認知信息.當主用戶處于激活狀態(tài)時，認知用戶必須以較高的概率檢測到主用戶的存在，并在一定時間內(nèi)清空信道或降低傳輸功率.然而，錯綜復雜的實際場景給頻譜感知帶來了很大挑戰(zhàn)，也促進了認知無線電技術(shù)的不斷發(fā)展[2-4].

在過去的10年中，人們提出了許多頻譜感知算法.在這些算法中，因計算復雜度低和硬件實現(xiàn)簡單，能量檢測(energy detection，ED)算法得到較為廣泛的使用[5].能量檢測算法不需要知道主用戶信號參數(shù)特征信息，對獨立同分布(i.i.d)信號檢測具有最優(yōu)檢測性能，但對相關(guān)信號的檢測性能較差.為了克服能量檢測算法的這一缺點，Zeng等[6]提出了基于樣本協(xié)方差矩陣最大特征值檢測(maximum eigenvalue detection，MED)算法.由于協(xié)方差矩陣能夠捕獲信號樣本間的相關(guān)性，該算法對相關(guān)信號的檢測優(yōu)于傳統(tǒng)能量檢測算法.MED算法也被應用于其他場景，并獲得了較好的檢測性能[7-9].

ED算法和MED算法不需要已知信號的先驗信息，但都需要已知噪聲功率作為檢測前提.在實際系統(tǒng)中，噪聲隨時間的變化而變化，導致了信噪比墻現(xiàn)象的存在和虛警概率的增加.為此，人們廣泛研究了不需要已知噪聲功率的全盲檢測算法，包括最大最小特征值檢測(maximum-minimum eigenvalue，MME)[10]、算數(shù)幾何平均算法檢測[11]和特征值加權(quán)檢測[12].使用所有特征值的檢測算法在矩陣維數(shù)較大的情況下具有較高的計算復雜度，因此需要采用最大最小特征值的頻譜檢測算法.在這些基于特征值的檢測算法中，MME算法檢測效果相對較好且具有較低的計算復雜度.

另一方面，頻譜感知可以表述為一種擬合優(yōu)度(goodness-of-fit，GoF)檢測問題[13]，它不需要主用戶信號的任何先驗信息，只需要已知噪聲的統(tǒng)計分布，通過檢驗觀測到的樣本是否服從該噪聲分布來進行判決.在GoF理論框架下，人們提出了許多檢測算法，如Anderson-Darling(AD)檢測[14]、單邊右尾AD(unilateral righttail Anderson-Darling，URAD)檢測[15-17]、Cramer von Mises(CM)檢測[14]和Kolmogorov-Smirnov(KS)檢測[18].對于擬合優(yōu)度檢測問題，人們研究的關(guān)注點在于擬合度量和擬合統(tǒng)計量.

這些已有的算法大多以信號樣本或能量作為擬合統(tǒng)計量，在檢測動態(tài)相關(guān)信號時，性能會急劇下降.如果利用基于特征值的統(tǒng)計量來捕獲信號的相關(guān)性，可以進一步提高檢測性能.賀亞晨等[16]提出了一種新的基于樣本協(xié)方差矩陣最大特征值的擬合優(yōu)度檢驗頻譜感知算法.該算法利用隨機矩陣理論分析樣本協(xié)方差矩陣最大特征值的分布，通過GoF檢驗檢測主用戶的存在，在動態(tài)信號下能表現(xiàn)出良好的檢測性能.

但是基于最大特征值擬合優(yōu)度的檢測仍然存在噪聲不確定性問題，實際應用受到限制.為此，本文著重研究特征值域的擬合優(yōu)度檢測問題，采用基于最大最小特征值之比作為擬合統(tǒng)計量的全盲擬合優(yōu)度檢測算法，以便克服噪聲不確定性問題.在隨機矩陣理論框架下，基于最大特征值的Tracy-Widom分布，分析所提算法的檢測概率、虛警概率和判決門限.最后，通過仿真實驗說明新算法的有效性和性能提升.

1 系統(tǒng)模型和擬合優(yōu)度檢測

圖1是一個典型的多天線頻譜感知場景，其中隨機分布一些單天線主用戶和一些多天線次用戶，次用戶可以根據(jù)接收到的信號樣本進行頻譜感知.如果主用戶開始廣播信號，那么次用戶就能夠接收到主用戶信號和噪聲信號，否則只接收噪聲信號.

設(shè)每個次用戶配備M個陣元的線天線陣，設(shè)有D(D≤M)個不相關(guān)的PU信號分別來自不同方向的發(fā)射機，則在次用戶接收天線處的頻譜感知問題實際是對某一授權(quán)頻段是否可用的判斷，可以表示為如下的二元假設(shè)檢驗問題[14]：

(1)

同一時刻的采樣數(shù)據(jù)可以表示為如下的向量形式：

x(k)=(x1(k)x2(k) …xM(k))T
hj(k)=(h1j(k)h2j(k) …h(huán)Mj(k))T
n(k)=(n1(k)n2(k) …nM(k))T
s(k)=(s1(k)s2(k) …sD(k))T

(2)

則式(1)的頻譜感知問題可以表示為如下的二元假設(shè)檢驗問題：

H0：x(k)=n(k)
H1：x(k)=H(k)s(k)+n(k)

(3)

其中H(k)=(h1(k)h2(k) …h(huán)D(k)).如果假設(shè)信道為慢衰落，則信道矩陣為常數(shù)陣，表示為H.

假設(shè)FX(x)表示觀測值xi(k)的經(jīng)驗累積分布函數(shù)，可以定義為

FX(x)=|{(i，k)：xi(k)≤x，1≤i≤M，1≤k≤N}|/MN

(4)

其中對任意的有限集合S，|S|表示集合S的基數(shù).

在零假設(shè)下，隨著擬合對象數(shù)的增多，接收信號經(jīng)驗累積分布函數(shù)FX(x)會逐漸收斂于噪聲信號的實際累積分布函數(shù)F0(x)，即當MN足夠大時，在零假設(shè)成立的情況下，F(xiàn)X(x)會非常接近F0(x)，如果FX(x)顯著偏離F0(x)，則認為零假設(shè)H0不成立，說明存在主用戶信號.怎樣度量兩種分布F0(x)和FX(x)之間的距離，是擬合優(yōu)度檢測算法的關(guān)鍵.隨著數(shù)學統(tǒng)計理論的發(fā)展，人們提出了許多度量分布F0(x)和FX(x)之間距離的優(yōu)秀算法，統(tǒng)稱為擬合準則.常用的GoF檢測的擬合準則包括KS準則、CM準則和AD準則等.擬合優(yōu)度假設(shè)檢驗問題可以表示為如下的二元假設(shè)：

H0：FX(x)=F0(x)
H1：FX(x)≠F0(x)

(5)

基于擬合準則計算得到FX(x)與F0(x)的判決統(tǒng)計量T，通過與判決門限γ進行比較，當T<γ時，就接受H0假設(shè)，認為不存在發(fā)送信號；否則拒絕H0(即接受H1)，認為存在發(fā)送信號.

除了信號樣本之外，還有樣本能量和其他量(如特征值)都可以作為擬合統(tǒng)計量.一般情況下，設(shè)T(L)={t1，t2，…，tL}為L個時間樣本的觀測統(tǒng)計量，其累積分布函數(shù)記為F0(t)，則零假設(shè)可以表示為

H0：T(L)～F0(t)

(6)

因此，主用戶存在(H1)等價于T(L)不是服從分布F0(t)的序列.

擬合優(yōu)度檢測算法的設(shè)計除了擬合統(tǒng)計量的選擇之外，重要的是擬合度量(擬合準則)的選擇.基于文獻[16-17]的考慮，本文也選擇URAD擬合準則.在URAD擬合準則下，判決統(tǒng)計量定義為

(7)

其中L為樣本數(shù).另外，F(xiàn)T(t)表示擬合統(tǒng)計量tl，l=1，2，…，L的累積經(jīng)驗分布函數(shù).對于有限數(shù)量的擬合統(tǒng)計量，TURAD可以寫成

(8)

其中Zl=F0(tl).因此，通過比較TURAD和判決門限γ進行檢測判決.如果TURAD>γ，拒絕零假設(shè)H0，即主用戶信號存在；否則，該通道未被使用.

2 基于最大最小特征值的GoF檢測

首先介紹樣本協(xié)方差矩陣特征值的分布，然后簡單介紹基于最大特征值的擬合優(yōu)度檢測算法，最后提出改進的基于特征值的擬合優(yōu)度檢測算法.

2.1 樣本協(xié)方差矩陣特征值分布

協(xié)方差矩陣能夠捕獲信號樣本間的相關(guān)性，且廣泛應用于信號檢測領(lǐng)域，為此許多協(xié)方差矩陣的估計方法被提出，其中樣本協(xié)方差矩陣是最大似然估計.考慮N個采樣序列，接收信號的樣本協(xié)方差矩陣可以表示為

(9)

其中(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置.在H0假設(shè)下，即當不存在發(fā)送信號時，Rx(k)=Rn(k)，如下式所示：

(10)

(11)

根據(jù)隨機矩陣理論可知，Wishart隨機矩陣特征值的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)(PDF)有著非常復雜的表達式，并且其特征值邊緣PDF也還沒有找到一個合適的表達形式.幸運的是Johnstone和Johansson等已經(jīng)對Wishart隨機矩陣的最大特征值分布做了一定的研究[10-11]，研究成果描述如下：

由定理1可知，在主用戶信號不存在的情況下，樣本協(xié)方差矩陣最大特征值的歸一化值服從Tracy-Widom分布，表現(xiàn)出了一種特定的統(tǒng)計特性.

對最小特征值則有如下的結(jié)論：

2.2 基于特征值的GoF檢測算法

由定理1可知，在假設(shè)H0下，樣本協(xié)方差矩陣最大特征值的歸一化值服從TW分布FTW1(t)，因此根據(jù)URAD擬合準則可以得到基于最大特征值的擬合優(yōu)度檢測算法.

(12)

其中Zl=F0(tMED)=FTW1(tMED).

(13)

因此，根據(jù)定理1和定理2，可以得到最大最小特征值之比的分布函數(shù)如下：

F0_MME=Pr{λmax(Rx(N))≤βλmin(Rx(N))}=

(14)

其中F1(·)是一階TW分布的累積分布函數(shù)(CDF)，β為門限.

根據(jù)式(8)的URAD擬合準則，可以得到基于最大最小特征值的擬合優(yōu)度檢測算法.步驟如下：

步驟1數(shù)據(jù)處理.將長為N的接收數(shù)據(jù)均分為長為Ns的L段(Ns=N/L)，即

x(2+(l-1)Ns)，…，

x(lNs)}

(15)

步驟2計算各部分的樣本協(xié)方差矩陣.

(16)

步驟3計算每個樣本協(xié)方差矩陣的擬合統(tǒng)計量.

(17)

步驟4按升序排列擬合統(tǒng)計量.假設(shè)已排序的擬合統(tǒng)計量是

tMME(1)≤tMME(2)≤…≤tMME(L)

(18)

步驟5計算判決統(tǒng)計量.

(19)

其中Zl=F0(tMME)=FTW1(tMME).

步驟6判決.如果TMME-GoF>γ，那么信號存在；否則，信號不存在，γ是判決門限.

注意到，當數(shù)據(jù)分組數(shù)L=1時，即數(shù)據(jù)不分割，判決統(tǒng)計量為TMME-GoF=-1-ln(1-Z1).由于函數(shù)ln( )和F1( )都是單調(diào)函數(shù)，則MME-GoF算法的判決統(tǒng)計量TMME-GoF是MME的判決統(tǒng)計量TMME的單調(diào)函數(shù)，此時MME-GoF算法和MME算法等價，MME算法可以看作是MME-GoF算法的特例.這也說明研究基于特征值的擬合優(yōu)度檢測算法有較好的理論意義.

3 性能分析

檢測概率(Pd)與虛警概率(Pf)是評價檢測方法性能的兩個重要指標，可以表示為

Pd=Pr{T>γ|H1}
Pf=Pr{T>γ|H0}

(20)

其中T表示由式(19)給出的判決統(tǒng)計量，γ為判決門限.為了計算檢測概率和虛警概率，需要求解判決統(tǒng)計量T在H1假設(shè)和H0假設(shè)下的概率分布函數(shù).從式(19)可以看到，求解判決統(tǒng)計量T的概率分布函數(shù)很難.為此本文利用中心極限定理簡化推導所提算法的檢測概率、虛警概率和判決門限.

根據(jù)式(1)中的系統(tǒng)模型和最大最小特征值擬合優(yōu)度檢測算法，所劃分的L個樣本協(xié)方差矩陣是獨立同分布的.因此，tMME(1)、tMME(2)、…、tMME(L)可視為i.i.d序列.在這種情況下，ln(1-Z1)，ln(1-Z2)，…，ln(1-ZL)也是i.i.d序列.利用中心極限定理，TMME-GoF近似服從如下分布：

TMME-GoF～N(-L-L×E[ln(1-Zl)]，L×Var[ln(1-Zl)])

(21)

其中E[·]和Var[·]表示均值和方差；N(a，b)表示均值為a、方差為b的真實高斯分布.注意，ln(1-Zl)的PDF閉式表達式很難求出.因此，均值和方差的近似值可以通過蒙特卡羅方法得到.

Pf_MME-GoF=Pr{TMME-GoF>γ|H0}=

(22)

Pd_MME-GoF=Pr{TMME-GoF>γ|H1}=

(23)

對于任何給定的Pf_MME-GoF，判決門限γ可以通過下式計算：

(24)

4 仿真與討論

本文給出一些仿真結(jié)果對所提算法的性能進行分析討論.沒有特別說明，假設(shè)有4個PU源信號通過平坦瑞利衰落信道傳輸，被具有4個天線陣元的多天線接收機系統(tǒng)接收.假設(shè)樣本數(shù)量N=100，分段數(shù)量L=4，虛警概率為0.1.所有結(jié)果通過5 000次蒙特卡羅實驗平均得到.與一般文獻一樣，假設(shè)主用戶信號服從相關(guān)高斯多變量分布，相關(guān)矩陣系數(shù)定義為(Rx)p，q=0.5|p-q|，其中(·)p，q表示第p行、第q列元素[8].為了比較公平，所有算法都采用URAD方案作為擬合度的度量.

比較分析了最大特征值擬合優(yōu)度算法(MED-GoF)、最大最小特征值擬合優(yōu)度算法(MME-GoF)、基于樣本的擬合優(yōu)度算法(SAM-GoF)和基于能量的擬合優(yōu)度算法(EN-GoF)的檢測性能.從圖2可以看到，對弱相關(guān)性高斯信號，EN-GoF算法優(yōu)于MED-GoF算法，而MME-GoF算法則接近于SAM-GoF算法.

圖2 不同擬合優(yōu)度算法比較(ρ=0.1)

圖3給出了在強相關(guān)性高斯信號下的檢測性能，此時MED-GoF算法優(yōu)于EN-GoF算法，MME-GoF算法也優(yōu)于SAM-GoF算法，但是不如EN-GoF算法.

圖3 不同擬合優(yōu)度算法比較(ρ=0.9)

此外，考慮了噪聲方差不確定性的影響，將閾值固定為0.1，噪聲方差設(shè)置為0、1和2 dB，結(jié)果如圖4所示.可以看到，經(jīng)典的EN-GoF和SAM-GoF算法與MED-GoF算法都存在噪聲不確定性問題，并且在存在噪聲不確定性時呈現(xiàn)較高的虛警概率.因此，設(shè)計的MME-GoF算法可以實現(xiàn)較高的檢測概率，并且對噪聲不確定性問題具有魯棒性.

圖4 在噪聲不確定條件下不同擬合優(yōu)度算法比較

5 結(jié) 語

本文考慮了基于特征值的GoF檢測問題，提出了基于MME的GoF檢測算法.該算法是一種全盲檢測器，能夠捕獲相關(guān)信息以提高檢測性能.對所提算法的理論性能進行了相應的分析.最后，仿真結(jié)果驗證了該算法能夠克服噪聲不確定性的問題，與現(xiàn)有基于時間樣本的GoF算法相比，在高度相關(guān)的PU信號情況下，算法實現(xiàn)了性能提高.