最短路徑問題的變式與探究

袁玉曉 張麗

最短路徑問題是初中數學學習過程中較為常見的問題，本節內容是對“將軍飲馬”問題進行變式設計，開展對“最短路徑問題”的課題研究，從中讓學生體會轉化思想在解決實際問題中的重要作用.

一、建立模型

以課本中的將軍飲馬問題（如圖1）為基礎，教師提出問題，啟發學生思考，將實際問題轉化為數學問題，將草地、家兩地抽象為兩個點，將河抽象為一條直線，這個問題是從草地出發到河邊飲馬再回到家（如圖2），也就是線段AC、BC的和.到河邊飲馬的地點有多個，設點C是直線l上的一個動點，上面的問題就轉化為C在直線l什么位置時AC+BC的值最小.

以將軍飲馬問題為基礎，啟發學生思考，理解題意，畫出圖形，并將實際問題轉化為數學問題，以便于更好地解決問題.

二、解決問題

如圖3，如果B地位于河對岸，如何在直線l上找到一點C，使線段AC與CB的和最小？學生會很自然地想到“兩點之間線段最短”，連接AB與直線l的交點即為所求.這個問題大部分學生都能掌握，如何遷移到我們剛才的問題呢？

受到啟發，學生會將新舊知識產生聯想，想到用“兩點之間線段最短”去解決，若把曲線轉化為直線，那么兩條線段的和不就最小了嗎？接下來讓學生自主探究、合作交流，與教師的適當點撥相結合，展示分析過程.根據線段垂直平分線的性質和軸對稱，學生會想到只要做出點B關于直線l的對稱點B′，就滿足了BC等于B′C，再用問題 圖5一的方法，連接AB′，線段與直線l的交點就是我們要求做的點，如圖5所示.

學生對于最短路徑問題無從下手，通過以上解決問題的方法進行總結，運用軸對稱的性質，將“同側”難以解決的問題，轉化為“異側”容易解決的問題，學生體會轉化的數學思想，起到突破難點的作用.

讓學生回顧總結，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟數學轉化思想，明確解題的方法與策略，為后面進一步的學習探究做準備.

三、運用新知

如果題目中再多一個動點呢，要找到MN兩點的位置使路徑最短，也就是三條不在同一條直線上的線段轉化到一條直線上，學生會想到分別做A的對稱點，連接兩對稱點，從而得到了兩點的位置和最短的路徑.此題由一個動點上升到兩個動點，對學生提出了更高的要求和挑戰，但是符合學生的認知規律.

四、拓展新知

想一想：如圖，如果從A地出發，到一條平直的河邊a的某一地方飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來到B地，如何在河邊找到一點可使所走的路線全程最短？

引導學生分析行走一定的路程的含義，再提出如下問題：

（1）要使所走的路線全程最短，實際上是使幾條線段之和最短？

（2）如何將實際問題轉化為“兩點之間，線段最短”的數學問題.

在“將軍飲馬問題”的背景下進行改編，有造橋選址問題的影子，培養學生的應用意識、創新意識，讓學生的能力得到進一步鍛煉與提高.

問題教學是啟發學生思維的源泉和動力.以問題為核心的教學，是通過引導學生分析問題、解決問題，培養學生思維能力的重要方式，通過設置有層次性、靈活性的問題，調動學生探索的積極性.數學問題的解決，環環相扣，之間有著密切的聯系.因此，學生學習要善于觀察、發現、總結知識之間的聯系，把新知識與舊知識進行融合，轉化問題和解決問題是深度學習最核心的特征，學生要根據已有經驗，在相似的問題情境中舉一反三，才能夠更好地理解問題、轉化問題、解決問題.