“兩角差的余弦公式”的教學設計

劉婷

【摘要】文章以高中數學“兩角差的余弦公式”為例，針對高中數學的教學目標，明確教學重點和難點，堅持采用“引導——啟發——探究”的教學方法，以學生為本，讓學生體驗知識發現的過程，對教學內容進行教學設計，以期建構“生本課堂”，提高課堂教學質量.

【關鍵詞】高中數學;兩角差的余弦公式;生本課堂

一、教學內容分析

本節課選自人教A版高中數學必修4第三章“三角恒等變換”第一節課“3.1.1兩角差的余弦公式”.變換是數學的重要工具，而三角恒等變換處于三角函數知識與數學變換知識的結合點和交匯點，是前面所學三角函數知識的繼續與發展，是培養學生推理能力和運算能力的重要素材.兩角差的余弦公式是“三角恒等變換”這一章的基礎和出發點，公式的發現和證明是本節課的重點，也是難點.教材選擇兩角差的余弦公式作為基礎，其基本出發點是使公式的證明過程盡量簡潔，易于學生理解和掌握，同時也有利于提高學生運用向量解決相關問題的意識和能力.教材里面沒有直接給出兩角差的余弦公式，而是分探求結果、證明結果兩步進行，從簡單情況入手得出結果，有利于學生學會探究和思維的發展.由于本節課可以從不同的角度提出不同的問題，并且可以用不同的途徑與方法解決問題，因此本節課為學生的思維發展提供了很好的空間和平臺.教師要注意引導學生用觀察、聯想、對比、化歸等方法分析問題，尋找解決問題的思路.

二、教學目標

1.知識與技能：通過探索得到兩角差的余弦公式，證明兩角差的余弦公式，熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能運用該公式進行求值、計算.

2.過程與方法：利用單位圓中正弦線、余弦線證明以及利用向量知識證明，通過一系列設問和答疑，形成公式的全部證明思路，培養學生觀察、猜想、歸納、分類討論等思維能力.

3.情感態度與價值觀：培養學生嚴謹求實的科學態度，體會數與形的和諧統一，領略數學的應用價值，激發學生的學習興趣.

三、教學重點、難點

1.重點：通過探索得到兩角差的余弦公式與運用兩角差的余弦公式.

2.難點：證明兩角差的余弦公式.

四、教法及教具

教法：本課采用“引導——啟發——探究”的教學方法，以學生為本，讓學生體驗知識發現的過程，感悟數學研究的思路，滲透數學思想方法.

教具：采用平板電腦上課.

五、教學過程

（一）探索兩角差的余弦公式

思考1?我們在初中時就知道cos45°=22，cos 30°=32，由此我們能否得到cos 15°=cos（45°-30°）=？大家可以驗證一下，是不是等于cos 45°-cos 30°呢？

設計意圖：讓學生意識到兩角差的余弦并不是簡單的兩角余弦的差，同時引起學生探究學習的興趣.

思考2?若已知α，β的正余弦函數值，那么cos（α-β）的值是否確定？它與α，β的正余弦函數值有什么關系？

設計意圖：依托學生已學的三角函數知識，啟發學生聯想，觸發學生形成解決問題的基本方向.

思考3?請你計算下列式子的值，并根據這些式子的共同特征，寫出一個猜想.

設計意圖：通過四個特殊的式子，讓學生發現共同的特征，探究歸納，提出猜想，滲透了猜想、歸納、特殊到一般的數學思想.

（二）證明兩角差的余弦公式

證法1?播放一個微視頻，在角α，β與α-β均為銳角的特殊情況下，運用三角函數線證明兩角差的余弦公式.

設計意圖：此證法運用三角函數線證明兩角差的余弦公式，過程較煩瑣，學生不好理解，而且將特殊角推廣到任意角很復雜.觀看微視頻可以激發學生的學習興趣，并且可以節省時間，提高課堂效率.

證法2?如圖，以坐標原點為中心，作單位圓，以Ox為始邊作角α與β，設它們的終邊分別與單位圓相交于點A，B，請回答下列問題：

問題3?設向量OA與OB的夾角為θ，它與角α，β之間有什么關系呢？

設計意圖： 利用向量探究兩角差的余弦公式的思維形成過程，通過和證法1的比較，學生自然體會證法2的思路更清晰，過程更簡潔.

（三）運用兩角差的余弦公式

例1?利用兩角差的余弦公式求cos 15°的值.

設計意圖： 此例題是簡單題.啟動平板電腦師生互動環節中的搶答模式，可以充分調動學生的積極性，從而使其掌握公式的簡單運用.

學生的反思與感悟：在利用兩角差的余弦公式求某些角的三角函數值時，關鍵在于把待求的角轉化成已知特殊角（如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…）之間和與差的關系問題，然后利用公式化簡求值.而把一個具體角構造成兩個角的和、差形式，有很多種構造方法，例如：cos 15°=cos（60°-45°），cos 15°=cos（45°-30°）.

設計意圖： 此例題是中檔難度題型，解答此題不僅要運用本節課的公式，還需要運用同角三角函數基本關系式.啟動平板電腦師生互動環節中的展示模式，學生的解答過程呈現在大屏幕上，方便教師點評答題是否按照高考采分點閱卷模式規范作答.

設計意圖：本題對于初學兩角差的余弦公式的學生來說，是一道中檔偏難的題型.學生有可能會將π4+θ=π4-（-θ），運用兩角差的余弦公式得到一個關于cos θ和sin θ的方程，再聯立cos2 θ+sin2 θ=1求解.設計變式訓練可以更進一步突出本節課的教學重點，從而突破教學難點.

學生的反思與感悟：給式求值或給值求值問題，由給出的某些函數關系式或某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，關鍵在于“ 正負號”的取舍以及巧妙地變換角度.

（四）當堂檢測

設計意圖：本節課的自我檢測，有利于學生及時鞏固所學內容，利用課堂時間熟記和靈活運用公式，提高課堂的效率.

（五）課堂小結

1.在本節課的學習中，教師用到了什么數學思想方法？

2.在本節課的學習中，教師聯系了什么數學知識？

3.利用兩角差的余弦公式進行求值、計算時，應注意什么？

設計意圖：學生進行自我小結可以鞏固本節課的數學知識和數學思想方法，以及完善知識結構體系和強化理解思路的完整性.

（六）課后反思

你通過本節課的學習，收獲了什么？還有什么困惑嗎？

設計意圖：開放式的課后反思，不同的學生有不同的學習體驗和收獲.學生可以交流心得和體會，查漏補缺，再次扣住本節課的重點、難點、易錯點和易漏點.

設計意圖：本題是綜合題，考查了兩角差的余弦公式，同角三角函數的基本關系和角度的變換，難點是角度的范圍和“正負號”的取舍，設置選做題部分，促進優生成長.

六、教學后記

1.本節課采用平板電腦上課，借助平板電腦存儲容量強大，并且集音頻、視頻、圖片、PPT等多種形式于一身的優勢，使課堂授課方式靈活多樣. 師生人手一臺平板電腦，輕松實現屏幕同傳，使師生的互動更加輕松流暢.學生通過平板電腦提交作業，教師講課、評作業方便快捷，及時反饋課堂的教學效果.同時資料在平板電腦終端能永久留存，便于學生課后隨時查閱復習.

2.“生本課堂”是新課程的一個重要理念.在課堂設計中，充分讓學生成為課堂主動求知和探索的主體.根據學生的認知發展規律來設計教學方案，讓學生親身體驗公式的“探索”和證明過程，在靈活運用公式、掌握基礎知識的同時獲得學習的成就感.

筆者認為作為一位數學教師，首先要做到傳授數學基礎知識，其次要培養學生提煉總結能力和滲透數學思想，更重要的是立德樹人，做好學生的引路人.