用Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件提效幾何開放題的教學
——以“旋轉(zhuǎn)求角問題”的教學為例

黃 靜 胡云高 張祥婕

（[1]廣西師范大學附屬外國語學校 廣西·桂林 541004；[2]廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 廣西·桂林 541006）

幾何開放題是中考的熱點問題，高效的幾何開放題教學對培養(yǎng)學生思維的深刻性、全面性、嚴謹性、靈活性等方面具有重要作用。在傳統(tǒng)的教學中，教師只通過枯燥的講解和概括常見模型讓學生掌握類型題，學生難以在抽象的幾何情境中準確挖掘題目中隱含的條件和幾何模型，難以全面分析多解的情況，解題低效。Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件功能強大、操作簡便，具有數(shù)學化、視覺化、動態(tài)化呈現(xiàn)數(shù)學對象與思維的功能，是提效學生數(shù)學學習的神器。本文試圖應用Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件，以較為典型的旋轉(zhuǎn)求角問題為例，呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)求角問題的教學片段及評析，以期提升幾何開放題的教學有效性。

1 教學設計的基本思路

針對上述提及的不足，對“旋轉(zhuǎn)求角問題”的教學進行思考。首先引導學生對例題進行審題，旋轉(zhuǎn)問題要關注旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向這三大基本要素，接著動態(tài)展示三角板的旋轉(zhuǎn)過程，引導學生討論旋轉(zhuǎn)角與所求角之間的聯(lián)系，將未知向已知轉(zhuǎn)化，特別是要讓學生抓住平行這個關鍵的前提條件，善于運用平行線間拐點模型。問題解決后，對解題思路與方法進行概括，同時結(jié)合平行線拐點模型復習回顧，這個環(huán)節(jié)注重發(fā)散學生思維，以靈活轉(zhuǎn)化。最后以該例題的變式結(jié)尾，在變式拓展中體現(xiàn)變與不變的本質(zhì)。

2 教學片段的實錄評析

2.1 教學片段及實錄

限于篇幅主要呈現(xiàn)解題階段的教學片段。

典例：如圖1，將一副三角板的直角重合放置，其中，∠A=30°，∠CDE=45°。若三角板ACB的位置保持不動，將三角板CDE繞點C旋轉(zhuǎn)一周。在這一過程中，是否會存在△CDE其中一邊與AB平行?如果存在，請你畫出示意圖，并直接寫出∠ECB的大小；如果不存在，請說明理由。

（解題環(huán)節(jié)）師：我們選取順時針為旋轉(zhuǎn)方向討論。在解決與旋轉(zhuǎn)有關的問題時，我們需先確定旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角，由題知，旋轉(zhuǎn)中心為點C，旋轉(zhuǎn)角為∠BCE，通過動態(tài)的展示（操作Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學積件），第一次平行發(fā)生在哪兩條邊之間呢？∠ECB如何求得？

生1：我發(fā)現(xiàn)第一次平行應該發(fā)生在AB//CD，這時候∠ECB，∠ACD都為旋轉(zhuǎn)角，又因為AB//CD，所以∠ECB=∠ACD=∠BAC=30°。

師：非常好，你抓住了旋轉(zhuǎn)角都相等這一個特點，還把平行當作解決問題的條件。

師：那么當△CDE繼續(xù)旋轉(zhuǎn)后，還能得到那些直線平行呢？讓我們接著看。我們可以發(fā)現(xiàn)第二次平行是AB//CE，此時所求角為旋轉(zhuǎn)角，∠BCE=120°是怎樣得到的呢？

小圓：與第一次平行類似，∠BCE=∠ACB+∠ACE，因為AB//CE，所以∠ACE=∠A=30°，則∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120°。

師：哎，不錯，看來這些都難不倒大家，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，我們發(fā)現(xiàn)，第三次平行時，有AB//DE，且∠CBE=165°，觀察圖像，∠ECB怎么求？

小靜：可以發(fā)現(xiàn)∠ECB=∠BCA+∠ACE。

小方：（產(chǎn)生困惑）那∠ACE的度數(shù)該怎么得到呢？

師：我把幾條主要的邊用紅線標出（如圖1），大家看看有什么啟發(fā)？

圖1

小方：哦！可以過點C作平行線，然后再運用內(nèi)錯角相等！

師：是的，這就變成了我們之前常見的平行線間拐點問題。很容易發(fā)現(xiàn)這是我們熟悉的“鉛筆型”。那你們能把證明過程寫出來嗎？

生2：沒問題。過點C作FG//AB，∵AB//DE，F(xiàn)G//AB，∴FG//DE，∵FG//AB，F(xiàn)G//DE，∴∠A=∠ACF，∠E=∠FCE，∠ACE=∠ACF+∠FCE=75°，∴∠ECB=∠BCA+∠ACE=165°。

師：通過上述推導，再結(jié)合我們的動畫觀察（動態(tài)展示），相信同學們也能很輕易求出第四次與第五次平行，它們都是通過平行線的性質(zhì)即可求得。

師：我們接著往下看，當出現(xiàn)第六次平行時（如圖1，即AB//DE時，旋轉(zhuǎn)角是哪個？此時要求解∠ECB是不是就有一些難度了呢？

生3：可以考慮用∠DCE減去∠DCB。

生4：我覺得也可以把它看作是平行線的拐點問題，可以過點C作AB的平行線。

師：不錯，大家的方法都非常好。如果我們把幾條邊抽象出來，就可以把它看作是平行線間的拐點問題來求解，這也是我們所熟悉的“鋤頭型”。

小圓：我知道，∠BCE=∠BCG-∠GCE，過點C作平行線后，有FG//AB,FG//DE，所以∠ABC=∠BCG，∠E=∠GCE，代入求得∠BCE=∠BCG-∠GCE=∠ABC-∠E=15°。

師：非常好！

師：通過本節(jié)課學習，我們解決了這個“旋轉(zhuǎn)求角”問題。大家有什么收獲呢？

小方：我感受到要先弄清所求角與旋轉(zhuǎn)角分別是誰，再通過圖中角的關系求解。

師：有道理。其實我們可以把很多題目轉(zhuǎn)化成學習過的幾何模型來求解，只要把握住旋轉(zhuǎn)中變與不變的量，善于聯(lián)系已知模型，問題就會變得簡單化。

師：最后老師準備了一個小問題供大家思考，同學們想一想，如果把題目中的“△CDE其中一邊與AB平行”這個條件變式成“DE所在直線與AB垂直”，那么此時的旋轉(zhuǎn)角大小是多少呢？請大家發(fā)揮自己的聰明才智，一起解決這個問題吧！

2.2 教學片段評析及反思

針對學生難以理解旋轉(zhuǎn)中角度與角的關系如何變化的問題，本次教學結(jié)合Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件展示了“旋轉(zhuǎn)求角問題”的解題過程，具有以下幾個突出的亮點：

2.2.1 “拖”“動”結(jié)合，挖掘隱含條件

審題的關鍵在于引導學生弄清題意，學會分析題目中的已知和未知。首先，利用Hawgent皓駿動態(tài)軟件，根據(jù)題意，以順時針為旋轉(zhuǎn)方向，拖動三角板CDE，可以直觀看到旋轉(zhuǎn)的三要素，即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向，其次，拖動三角板旋轉(zhuǎn)一周，可確定旋轉(zhuǎn)角的取值范圍，明確旋轉(zhuǎn)三要素是解決問題的切入口。教師結(jié)合動畫演示，提問學生旋轉(zhuǎn)角在變化過程中可由哪些角構(gòu)成，師生互動解讀隱含信息。

2.2.2 “數(shù)”“形”相依，明確旋轉(zhuǎn)過程

解題環(huán)節(jié)建立在學生已有的知識經(jīng)驗上，首先，順時針拖動三角板CDE，可直觀看到旋轉(zhuǎn)角的變化，當三角板發(fā)生平行時，要引導學生把平行當作條件，將所求角轉(zhuǎn)化為已知角的和差關系，接著，在平行的前提下聯(lián)系邊角關系求解，引導學生思考如何將求角轉(zhuǎn)化為已知幾何模型，即將求角問題轉(zhuǎn)化為平行線間的拐點問題。最后，讓學生類比第三次平行來求解所有平行的情況。通過Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學技術軟件的展示，結(jié)合題意呈現(xiàn)出三角板的旋轉(zhuǎn)過程，主要突出旋轉(zhuǎn)角的動態(tài)變化，“數(shù)”“形”相依。通過激發(fā)學生對旋轉(zhuǎn)情況的討論，不僅體現(xiàn)了學生的主體地位，同時達到了“授人以魚的同時授人以漁與欲”的目的。

2.2.3 “動”“靜”互用，發(fā)散解題思維

在解決這個旋轉(zhuǎn)求角問題時，每一次平行都可以運用平行線的性質(zhì)來求角度，并把其中幾次平行抽象成已經(jīng)學習過的拐點問題。在傳統(tǒng)教學中，學生無法把握解題過程的動態(tài)變化，而運用動態(tài)技術，能促進學生對題目的理解，幫助提升學生的數(shù)學思維品質(zhì)，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)。除此之外，旋轉(zhuǎn)求角還能將圖形全等、相似、方程等結(jié)合起來。基于學生的學情和已有認知，在復習初中幾何時，可以考慮以旋轉(zhuǎn)這一類問題作為切入點，把其他的知識點有機結(jié)合起來系統(tǒng)地復習，開拓學生的多維度思考。

但是，用Hawgent皓駿動態(tài)數(shù)學軟件提效幾何開放題教學需要教師對Hawgent皓駿軟件有一定的熟練度，同時要求教師在動態(tài)呈現(xiàn)過程中恰當?shù)匾龑W生思考。