應(yīng)用零點(diǎn)定理和中值定理證明方程根的存在性的對(duì)比與分析

（洛陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 河南·洛陽(yáng) 471934）

方程根的存在性在高等數(shù)學(xué)教學(xué)以及考研中都是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，具有極其重要的地位，也是一個(gè)比較困難的問(wèn)題。零點(diǎn)定理和中值定理均可以證明方程根的存在性，在證明的過(guò)程中通常需要構(gòu)造輔助函數(shù),而在教學(xué)和輔導(dǎo)學(xué)生考研時(shí)發(fā)現(xiàn)這方面對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)非常薄弱的環(huán)節(jié).本文通過(guò)對(duì)考研中的試題和典型例題進(jìn)行探究，對(duì)比分析得到證明的簡(jiǎn)便方法，從分析的過(guò)程中也可以看到如何尋找合適的輔助函數(shù)來(lái)證明所需要的結(jié)論。

首先給出幾個(gè)定理。

從定理的內(nèi)容可以看出，零點(diǎn)定理和中值定理都可以用來(lái)證明方程根的存在性或等式，那么在具體的應(yīng)用中如何快速找到合適的定理需要我們進(jìn)一步來(lái)探討。從結(jié)論上來(lái)看，中值定理中有函數(shù)在兩點(diǎn)處的值，對(duì)存在的來(lái)說(shuō)，零點(diǎn)定理中是函數(shù)本身，而中值定理中都包含函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，羅爾中值定理和拉格朗日中值定理只有一個(gè)函數(shù)，而柯西中值定理包含兩個(gè)函數(shù)，在解題中我們可以抓住這個(gè)特點(diǎn)來(lái)判斷用哪一個(gè)定理比較合適，從而更好的解決問(wèn)題.另外在解題過(guò)程中一般來(lái)說(shuō)所要證明的結(jié)論并不是標(biāo)準(zhǔn)的形式，因此需要構(gòu)造輔助函數(shù).那么如何構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，從而把原問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為定理中的形式，這在數(shù)學(xué)中是一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)的內(nèi)容.下面通過(guò)對(duì)考研中的試題和典型例題的分析及證明過(guò)程來(lái)探討輔助函數(shù)的構(gòu)造方法以及定理的應(yīng)用條件.

分析：該例題是2020年考研數(shù)學(xué)二中的試題。（1）中要證明的表達(dá)式中對(duì)存在的來(lái)說(shuō)，是函數(shù)本身，因此可考慮用零點(diǎn)定理來(lái)證明，由于題中不是標(biāo)準(zhǔn)的的形式，需改寫為，因此要構(gòu)造輔助函數(shù)，證明在內(nèi)有根即可，另一方面注意到，因此可改寫為，若令，只需證，因此也可考慮用羅爾中值定理來(lái)證明；（2）中要證明的結(jié)論中顯然有函數(shù)值，由可知，對(duì)需要證明中的存在的來(lái)說(shuō)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式出現(xiàn)的，而且還含有的形式，即含有兩個(gè)函數(shù)，因此可考慮用柯西中值定理來(lái)證明.

證明：令

通過(guò)以上例題以及分析可知，在證明方程根的存在性時(shí)，要根據(jù)需要證明的結(jié)論來(lái)分析應(yīng)用哪一個(gè)定理合適，并由證明等式的變形來(lái)構(gòu)造合適的輔助函數(shù).特別的在應(yīng)用中值定理時(shí)，關(guān)鍵要把等式中的表達(dá)式寫成導(dǎo)數(shù)的形式，這就要求我們對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)要熟練掌握，靈活運(yùn)用.另外例1中的（1）和例4均可以用零點(diǎn)定理和中值定理來(lái)證明，從分析和證明過(guò)程來(lái)看，用零點(diǎn)定理更直觀、簡(jiǎn)便一些。