基于“大概念”的高中數(shù)學(xué)教學(xué)探索*
——以“基本不等式的綜合運用”為例

張海強

2018年1月，教育部發(fā)布了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》，凝練了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)處理六個方面，并以此為據(jù)，更新了課程內(nèi)容與評價體系。值得注意的是，新課程標(biāo)準(zhǔn)首次使用大概念統(tǒng)整各學(xué)科課程內(nèi)容，引領(lǐng)課程與教學(xué)改革，明確強調(diào)以學(xué)科大概念為核心促進學(xué)科核心素養(yǎng)的落實。筆者以為，大概念是核心素養(yǎng)的具體化，構(gòu)建大概念視角下的單元整體教學(xué)設(shè)計是落實核心素養(yǎng)的有效途徑。

一、大概念概述

大概念，英文為“big idea”，也有學(xué)者將其譯為“大觀念”。在教育領(lǐng)域，有關(guān)大概念的研究至少可以追溯到布魯納對于教育過程的研究，他強調(diào)，無論教師教授哪門學(xué)科，一定要使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生解決課堂內(nèi)外所遇到的各類問題。

隨著對大概念研究的深入，大概念的內(nèi)涵趨于統(tǒng)一，即大概念是一種高度形式化、兼具認(rèn)識論與方法論意義、普適性極強的概念；它已經(jīng)不僅僅是一個簡單詞匯，而是作為一種深刻思想、學(xué)說的負載體，成為“思想之網(wǎng)”的樞紐，其表述方式可以是相關(guān)的概念、主題、有爭議的結(jié)論或觀點。

大概念的“大”不是指“龐大”和“基礎(chǔ)”，而是指“核心”。“大概念”中的“概念”的英文為“idea”，大概念可以是概念，但不局限于概念，也可以是方法、思想和觀點，它反映了專家的思維方式。大概念有三個顯著特征：

首先，大概念反映專家思維。專家思維的一個典型特征是專家的知識是通過大概念來組織的，反映專家對學(xué)科的理解深度。

其次，大概念體現(xiàn)協(xié)同思維。大概念是從具體中概括出的抽象，體現(xiàn)出具體與抽象的兩面性。

最后，大概念具有生活價值。專家的知識常常鑲嵌在應(yīng)用的情境中，因此，大概念對學(xué)生而言，極具生活價值。

從大概念的外延來看，大概念可以是位于學(xué)科知識金字塔頂?shù)纳衔恢R，也可以是一種學(xué)科思維方式、學(xué)科思想方法。大概念可以是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個“綱”，是整合所學(xué)知識的“組織者”，是串聯(lián)知識的“紅線”。

二、作為大概念的“轉(zhuǎn)化與化歸”

關(guān)于化歸，匈牙利女?dāng)?shù)學(xué)家路莎·彼得在《無窮的玩藝：教學(xué)的探索與旅行》一書中，講了一則膾炙人口的故事，其大意是：“現(xiàn)有煤氣灶、水龍頭、水壺、當(dāng)你要燒開水，應(yīng)怎樣做呢？”答曰：“在壺里注滿水，放在灶上，點燃煤氣即可。”“這自然是正確的，但若壺中已灌滿了水呢？”這時，“靈活”的人可能說：“放在灶上，點燃煤氣就可以了。”而數(shù)學(xué)家的回答則是：“把水倒掉”，就化成原問題了。

路莎評論說：“如上所述的推理過程，作為數(shù)學(xué)家的思維來說，是很典型的。他們往往不對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題。”

數(shù)學(xué)上有三類典型的轉(zhuǎn)化：一是通過抽象概括，把一個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題；二是通過引進恰當(dāng)?shù)姆柣驁D形，把數(shù)學(xué)問題加以形式化，使題意明確地呈現(xiàn)出來；三是在數(shù)學(xué)內(nèi)部的轉(zhuǎn)化。由此可知，“轉(zhuǎn)化與化歸”具有大概念的三個顯著特征，即具有專家思維的特征、具有生活價值、體現(xiàn)了具體與抽象的協(xié)同思維。因此，“轉(zhuǎn)化與化歸”堪稱名副其實的數(shù)學(xué)學(xué)科“大概念”。

“轉(zhuǎn)化與化歸”的教學(xué)有兩個關(guān)鍵，一是幫助學(xué)生建立“能夠解決的問題或常見的模型”的集合，即轉(zhuǎn)化的目標(biāo)（目的地）；二是幫助學(xué)生尋找轉(zhuǎn)化的策略與方法，即轉(zhuǎn)化的技藝（路徑）。基于這樣的認(rèn)識，筆者進行了如下教學(xué)設(shè)計。

三、基于“大概念”的“基本不等式的綜合應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計

“基本不等式”是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，因其變化靈活而成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點，學(xué)生往往花了許多功夫而不得要領(lǐng)，經(jīng)常出現(xiàn)“一講就會，一做就懵”的學(xué)習(xí)窘態(tài)。筆者以為產(chǎn)生這一教學(xué)現(xiàn)象的主要原因有兩個：一是學(xué)生頭腦中“能夠解決的問題”的集合不明確，沒有建立合適的模型；二是學(xué)生轉(zhuǎn)化的路徑不通暢，沒有形成相對穩(wěn)定的方法。

本課選擇“轉(zhuǎn)化與化歸”為大概念，以構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)（模型）為實現(xiàn)“轉(zhuǎn)化與化歸”的載體，明確學(xué)生應(yīng)掌握的知識、能解決的問題及常見的模型的集合；以消元法、換元法和配湊法為落實“轉(zhuǎn)化與化歸”的工具和方法，讓學(xué)生明確解決問題的路徑與方法，做到有章可循。這一教學(xué)設(shè)計也初步勾勒出了基于“大概念”的課堂教學(xué)設(shè)計（復(fù)習(xí)課）的基本框架。

案例1：介紹華羅庚自學(xué)的“厚薄法”。

華羅庚是享譽中外的數(shù)學(xué)家。他的自學(xué)方法被稱為“厚薄法”:第一步“由薄變厚”，即讀書要扎扎實實，每一個概念、定理都要追根溯源，這樣一來，本來一本較薄的書，由于增加了不少內(nèi)容，就變得“較厚”了；第二步“由厚到薄”，通過分析、歸納、抓住本質(zhì)，做到融會貫通，就是“由厚到薄”。

前階段我們系統(tǒng)學(xué)習(xí)了基本不等式的主要內(nèi)容，完成了“由薄到厚”的過程；今天這節(jié)課我們一起對以前學(xué)過的知識作歸納與概括，以達到融會貫通的目的，實現(xiàn)“由厚變薄”。

【設(shè)計意圖】由華羅庚自學(xué)的“厚薄法”引出本課題，一方面起到學(xué)法指導(dǎo)的作用；另一方面就如何“由厚到薄”作一示范，為大概念“轉(zhuǎn)化與化歸”的出場做必要的鋪墊。

因為 ab＞0，所以 ab≥3，即ab≥9。（當(dāng)且僅當(dāng)a=3，b=3時取等號）

【設(shè)計意圖】①本題的選擇旨在讓學(xué)生領(lǐng)悟消元法和換元法（整體思想）是解決基本不等式試題的基本方法，為大概念“等價與化歸”的落實提供有效的工具和方法。

②構(gòu)建較為完整的模型結(jié)構(gòu)，

【設(shè)計意圖】①利用換元法和消元法，將新問題轉(zhuǎn)化與化歸為已有模型，讓學(xué)生體會大概念“轉(zhuǎn)化與化歸”的價值；②分母的結(jié)構(gòu)特征是解題的有效觀察點之一。

案例6：歸納總結(jié)。

本節(jié)內(nèi)容可用“一二三”來總結(jié)。一個思想指轉(zhuǎn)化與化歸的思想；兩類結(jié)構(gòu)指和定結(jié)構(gòu)與積定結(jié)構(gòu)；三種方法指消元法、換元法和配湊法。其結(jié)構(gòu)與關(guān)系如圖1。

【設(shè)計意圖】用最簡潔的語言概括本節(jié)課的主旨，并用圖示的方法揭示三者之間的結(jié)構(gòu)與關(guān)系。這一教學(xué)環(huán)節(jié)有利于學(xué)生體會“厚薄法”的真正含義，領(lǐng)悟大概念“轉(zhuǎn)化與化歸”對知識與方法的統(tǒng)攝作用。

綜上，大概念是一種高度形式化、兼具認(rèn)識論與方法論意義、普適性極強的概念，其表達方式可以指向?qū)W科的核心概念、主題、有爭議的結(jié)論或觀點。因此，帶著觀點進課堂成為基于大概念的課堂主要特征，大概念理念下的課堂正從目標(biāo)為本的課堂走向觀點（觀念）為本的課堂。本案例將大概念定位于數(shù)學(xué)思想（轉(zhuǎn)化與化歸思想），其設(shè)計或可成為復(fù)習(xí)課落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的一種操作樣式。